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1、角平分线、垂直平分线 精典例题 +跟踪训练 +参考答案 知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题： 【 例题】如图，已知在ABC 中， ABAC， B300，AB 的垂直平分线EF 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，求 证： CF2BF。 分析一：要证明CF2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF，则 BFAF。问题转化为证CF2AF ，又 B C30 0，这就等价于要证 CAF 900，则根据含300角的直角三角形 的性质可得CF 2AF2BF。 分析二： 要证明 CF2BF，联想 B300
2、，EF 是 AB 的中垂线， 可过点 A 作 AGEF 交 FC 于 G 后，得到含 300 角的 RtABG ，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明AG GC，即有 BFFG GC。 例题图 1 F E CB A 例题图 2 GF E CB A 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD BC 于 D，则 BD CD，考虑 到 B300，不妨设 EF 1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 例题图 3 DF E CB A 问题图 3 2 1 E DC B A 探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线
3、性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图， ABC 中， AD 是角平分线。求证： AC AB DC BD 。 分析：要证 AC AB DC BD ，一般只要证BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角形相似，现在B、D、 C 在同一条直线上，ABD与 ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 AC AB DC BD 中， AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作 CEAD 交 BA 的延长线于E，从而得到BD 、CD、AB 的第 四比例项AE，这样，证明 AC AB DC BD 就可以转化
4、为证AEAC 。 21世纪教育网 证明：过C 作 CEAD 交 BA 的延长线于E CEAD E1 32 21 E 3AEAC CEAD AE AB DC BD AC AB DC BD （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）； （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（） 数形结合思想转化思想分类讨论思想 答案：转化思想 来源 :21 世纪教育网 （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线， AB5 cm，AC 4 cm， BC 7 cm，求 BD 的长。 答案： 9 35 cm 评注：
5、本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。 跟踪训练： 一、填空题： 1、如图， A52 0，O 是 AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么 OCB。 2、如图，已知ABAC ， A44 0，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则 DBC 。 第 1 题图 O CB A 第 2 题图 N M D CB A 第 3 题图 E D C B A 第 4 题 图 E A B C D 3、 如图， 在 ABC 中， C90 0， B150， AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点， E 为垂足，若 BD8， 则 AC。 4、如图，在ABC 中， AB AC ，DE 是 AB 的垂直平分线，
6、BCE 的周长为 24，BC10，则 AB 。 5、如图， EG、FG 分别是 MEF 和 NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是 MBC 和 NCB 的角平分线， 交点是 P， F、C 在 AN 上， B、E 在 AM 上，若 G680，那么 P。 填 空 第 5 题 图 G P M EB N C F A 选择第 1 题图 F E D CB A 选择第 2 题图 4 3 2 1 D C BA 二、选择题： 21 世纪教育网 1、如图， ABC 的角平分线CD、 BE 相交于点F，且 A 60 0，则 BFC 等于（ ） A、80 0 B、100 0 C、120 0 D、140 0
7、 2、如图， ABC 中， 1 2， 3 4，若 D36 0，则 C 的度数为（ ） A、82 0 B、72 0 C、62 0 D、52 0 3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为23 两部分，若这个三角 形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（） A、8 cm、 8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、 8 cm、14c m 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图， RtABC 中， C90 0，CD 是 AB 边上的高， CE 是中线，CF 是 ACB 的平 分线，图中相等的锐角为一组，则
8、共有（） A、0 组B、2 组 C、3 组D、4 组 选择第 4 题图 EF D C BA 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（） A、锐角 三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定 三、解答题： 1、如图， RtABC 的 A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D，求证： MA MD 。 第 1 题图 M D C B A 第 2 题图 E F DCB A 第 3 题图 E F DCB A 2、在 ABC 中， AB AC，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DFBA 交 AE 于点 F，DFAC，求证： AE 平分 BAC 。 3、如图，在
9、ABC 中， B22.5 0， C600，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD 26，AEBC 于点 E， 求 EC 的长。 4、如图，在RtABC 中， ACB 90 0，AC BC，D 为 BC 的中点， CEAD ，垂足为 E，BFAC 交 CE 的延 长线于点F，求证 AB 垂直平分DF。21 世纪教育网 第 4 题图 E F D C B A 21 世纪教育网 参考答案 一、填空题： 1、38 0；2、240；3、4；4、14；5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题： 1、过 A 作 AN BC 于 N，证 D DAM ； 2、延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，证 DEF CEG 3、连结 AD ，DF 为 AB 的垂直平分线，AD BD 26， B DAB 22.5 0 ADE 45 0，AE 2 2 AD 26 2 2 6 又 C60 0 EC32 3 6 3 AE 4、证 ACD CBF