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1、精心整理 赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点. 对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为 抽象函数 . 解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法. 赋值 主要从以下方面考虑： 令 x=、2、1、0、1、2等特殊值求抽象函数的函数值；令 x=x2， y=x1或 y=， 且 x10、y0时，恒有 f(xy)=f(x)+f(y) . (1)求证：当 x0时， f()=f(x)；(2)若 x1时恒有 f(x)0时，f()=f(x)； (2)设 x10、x20 且 x11，f()0时， f(x)0.试判断 f(x)的 奇偶性和单
2、调性 . 解：在 f(x+y)=f(x)+f(y) 中，令 x=y=0，得 f(0)+f(0)=0，f(0)=0， 又令 y=x，f(x)+f(- x)=f(x- x)=f(0)=0，即 f(- x)=- f(x)，f(x)是奇函数， 再设 x1、x2R，且 x10，f(x2- x1)0，从而 f(x2)f(x1)，f(x)在(-.+) 上是增函数 . 例 5 设 f(x) 是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x=1 对称，对任意 x,y 0,都有 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(1)=a0，(1)求 f()、f()；(2)证明：f(x)是周期函数； (3)记 an=f(2n+)，求
3、(lnan). 解析： ：(1) 在 f(x+y)=f(x)f(y)中，将 x、y均换为， f(+)= f()f()=f 2() 0， 即 f(x)=f 2() 0，x0,1 ，又 x、y 均换为， f(+)= f()f()=f 2()， 由已知 f2()=f(1)=a，所以， f()=a,) ，同理f()=a,). (2) 由于函数 f(x) 的图象关于直线x=1 对称， f(1 x)=f(x+1)， f(x) 是定义在 R上的偶函数， f(x 1)=f(x+1)，将 x 换为 x+1 得，f(x)=f(x+2)， f(x)是以 2 为周期的周期函数； (3) 略. 抽象函数是指没有给出函数
4、的具体解析式，只 给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于 精心整理 抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函 数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解 法评析如下： 一、定义域问题 例 1.已知函数 )( 2 xf 的定义域是 1，2 ，求 f（x） 的定义域。 解： )( 2 xf 的定义域是 1，2 ，是指 21x ，所以 )( 2 xf 中的 2 x 满足 41 2 x 从而函数 f（x）的定义域是 1，4 评析：一般地， 已知函数 )(xf的定义域是 A，求 f（x）的定义域问题，相当于已知 )(xf 中 x 的取值 范围为 A，据此求 )(x的值域问题。 例 2.已知函
5、数 )(xf的定义域是21， 求函数)3(log 2 1 xf 的定义域。 解： )(xf的定义域是21，意思是凡被 f 作用的对 象都在 21，中，由此可得 4 11 1) 2 1 (3) 2 1 (2)3(log1 12 2 1 xxx 所以函数 )3(log 2 1 xf 的定义域是 4 11 1 ， 评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f（x） 精心整理 的定义域是 A，求函数 )(xf的定义域。正确理解函 数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。 这类问题实质上相当于已知 )(x的值域 B，且AB，据 此求 x 的取值范围。例2 和例 1 形式上正相反。 二、求值问题 例 3.
6、已知定义域为R的函数 f（x） ，同时满足下 列条件： 5 1 )6(1)2(ff， ； )()()(yfxfyxf，求 f（3） ，f （9）的值。 解：取 32yx，得)3()2()6(fff 因为 5 1 )6(1)2(ff，所以 5 4 )3(f 又取 3yx 得 5 8 )3()3()9(fff 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋 值，取 32yx， ，这样便把已知条件 5 1 )6(1)2(ff， 与欲求 的 f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用 技巧。 三、值域问题 例 4.设函数 f（x）定义于实数集上，对于任意 实数 x、y， )()()(yfxfyxf总成立，
7、且存在 21 xx ，使得 精心整理 )()( 21 xfxf ，求函数 )(xf的值域。 解：令 0yx，得 2 )0()0(ff ，即有 0)0(f 或 1)0(f 。 若 0)0(f，则0)0()()0()(fxfxfxf，对任意Rx均成立， 这与存在实数 21 xx ，使得 )()( 21 xfxf 成立矛盾，故 0)0(f ， 必有 1)0(f。 由于 )()()(yfxfyxf对任意Ryx、均成立，因此，对任 意 Rx，有 下面来证明，对任意 0)(xfRx， 设存在 Rx0，使得0)( 0 xf ，则 0)()()()0( 0000 xfxfxxff 这与上面已证的 0)0(f矛
8、盾，因此，对任意 0)(xfRx， 所以 0)(xf 评析： 在处理抽象函数的问题时，往往需要对 某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的 必要手段。 四、解析式问题 例 5.设对满足 10xx， 的所有实数 x，函数 )(xf 满足 x x x fxf1) 1 ()( ，求 f（x）的解析式。 解：在 )1(1) 1 ()(x x x fxf 中以 x x1代换其中 x， 精心整理 得： 再在（ 1）中以 1 1 x 代换 x，得 )3()2()1 ( 化简得： ) 1(2 1 )( 23 xx xx xf 评析： 如果把 x 和 x x1分别看作两个变量，怎样 实现由两个变量向一个变量
9、的转化是解题关键。通 常情况下，给某些变量适当赋值， 使之在关系中 “消 失” ，进而保留一个变量， 是实现这种转化的重要策 略。 五、单调性问题 例 6.设 f（x）定义于实数集上，当 0x时，1)(xf， 且对于任意实数x、y，有 )()()(yfxfyxf，求证：)(xf在 R 上为增函数。 证明： 在 )()()(yfxfyxf中取0yx，得 2 )0()0(ff 若 0)0(f，令00yx，则0)(xf，与1)(xf矛盾 所以0)0(f，即有1)0(f 当 0x时，01)(xf；当0x时，01)(0xfx， 而 1)0()()(fxfxf 所以 0 )( 1 )( xf xf 精心整
10、理 又当0x时， 01)0(f 所以对任意 Rx，恒有0)(xf 设 21 xx ，则 1)(0 1212 xxfxx， 所以 )()()()()( 11211212 xfxxfxfxxxfxf 所以 )(xfy在 R 上为增函数。 评析： 一般地，抽象函数所满足的关系式，应 看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值 的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所 求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例 7.已知函数 )0)(xRxxf，对任意不等于零的实数 21 xx 、 都有 )()()( 2121 xfxfxxf ，试判断函数 f（x）的奇偶性。 解：取11 21 xx，得：)1()1(
11、) 1(fff，所以0)1(f 又取 1 21 xx 得： ) 1()1() 1(fff ，所以 0)1(f 再取 1 21 xxx，则)()1()(xffxf，即)()(xfxf 因为 )(xf为非零函数，所以)(xf为偶函数。 七、对称性问题 例 8.已知函数 )(xfy满足2002)()(xfxf，求 )2002()( 11 xfxf的值。 精心整理 解：已知式即在对称关系式 bxafxaf2)()(中取 20020ba， ，所以函数 )(xfy 的图象关于点（ 0，2002） 对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 )( 1 xfy 的图象关于点（ 2002，0）对称。 所以 0)1
12、001()1001( 11 xfxf 将上式中的 x 用 1001x代换，得0)2002()( 11 xfxf 评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称 问题，在解题中使用了下述命题： 设 a、 b均为常数， 函数 )(xfy对一切实数 x 都满足bxafxaf2)()(，则函数 )(xfy 的图象关于点（ a，b）成中心对称图形。 八、网络综合问题 例 9.定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意实 数 m，n，总有 )()()(nfmfnmf，且当 x0 时，00 的 结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象 精心整理 函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类 比思维都有助于问
13、题的思考和解决。 1判断函数的奇偶性 例 1、若 ()( )( )f xyf xf y对于实数x、y都成立，且( )fx 不恒为零，判断函数( )f x的奇偶性。 解：在()( )( )f xyf xfy中令0xy，得(0)0f 又在 ()( )( )f xyfxf y中令yx，得()( )()f xxf xfx 即 (0)( )()ff xfx，因为(0)0f，所以()( )fxf x 由于 ( )f x不恒为零，所以函数( )f x是奇函数 例 2、已知不恒为零的函数 ( ) (,0)f xxR x对任意不 等于零的实数 x、y都有()( )( )f xyfxf y，试判断函数( )f x
14、的 奇偶性。 解：取 1,1xy得( 1)( 1)(1)fff(1)0f 又取 1xy得( 1)( 1)( 1)fff( 1)0f 再取 1y得()( )( 1)fxf xf()( )fxf x 由于 ( )f x不恒为零，所以函数( )f x是偶函数 2、讨论函数的单调性 精心整理 例 3、设 ( )f x定义于实数集上，当0x时，( )1f x， 且对于任意实数 x、y都有()( )( )f xyfxfy，求证：( )f x在 R 上为增函数。 证明：由 ()( )( )f xyfxfy中取0xy，得 2 (0)(0)ff 若(0)0f，令0x，0y，则得( )0f x，与( )1f x矛
15、盾 所以，(0)0f，即有(0)1f 当 0x时，( )10f x 当 0x时，0x，()10fx，而( )()()(0)1f x fxf xxf 所以， 1 ( )0 () f x fx 当 0x时，(0)10f 设 12 xx ，则21 0xx ，21 ()1f xx 所以， ( )f x在 R 上为增函数。 3、求函数的值域 例 4、已知函数 ( )f x在定义域R上是增函数， 且满 足 ()( )( )f xyf xf y，求( )f x的值域。 解：当 1xy时，(1)2(1)ff，即(1)0f 又因为，函数 ( )f x在定义域R上是增函数，所以 精心整理 当120xx时，可设 1
16、2 (1)xmxm 则 122222 ()()()()()()()()0f xf xf mxf xf mf xf xf m 所以对于 1x时有( )0f x 当120xx时，可设12(01)xmxm 则122222()()()()()()()()0f xf xf mxf xf mf xf xf m 所以对于01x时有( )0fx 综上所述，当 xR 时， ( )f x 的值域为全体实数。 4、判断函数的周期性 例 5、函数 ( )f x的定义域为全体实数，对任意实 数 a、b，有 ()()2 ( )( )f abf abf af b，且存在 0c，使得 ( )0 2 c f ， 求证： ( )
17、f x是周期函数。 证明：令 , 22 cc axb ，代入 ()()2 ( )( )f abf abf af b 可得 ()( )f xcf x 所以 (2 )()()( )f xcfxccf xcfx 即 ( )f x是以 2c为周期的周期函数。 精心整理 例 6、若对于常数m和任意实数 x，等式 1( ) () 1( ) f x f xm f x 恒成立，求证： ( )f x是周期函数。 证明：将已知恒等式中的x 换成 x+m得 又将上式中的x 换成 x+2m得 故 ( )f x是以 4m为周期的周期函数。 5、解不等式 例 7、已知函数 ( )f x满足(1) 1 ( )1 2 f ；
18、(2) 函数的值 域是 -1 ，1 ；(3) 在其定义域上单调递减；(4) 对于 任意实数数 x、y恒有()()f xyf xy 解不等式： 11 11 ( )() 12 fx f x 解：由已知条件 (2)(3)知，函数 ( )f x的反函数存 在，且 1 1 (1) 2 f ， 又因为函数 ( )f x在定义域 -1 ，1 上单调递减， 设 11 1122 (),()yfxyfx ，则有 1122 (),()xf yxf y ， 即121212()()()xxfyfyfy y，即有 111 121212 ()()()y yfxfxfxx 精心整理 于是原不等式等价于： 111 ()(1)
19、1 1 11 1 11 1 11 1 fxf x x x x x 1 1 1 1 11 1 11 1 11 1 x x x x x x 0x 故原不等式的解集为0 。 6、求函数的解析式 例 8、设对于满足 1x的所有实数x，函数( )f x满 足 33 ()() 11 xx ffx xx ，求 ( )f x的解析式。 解：将 x取为 3 1 x x 代入原等式，有 33 ()( ) 11 xx ff x xx (1) 又将 x取为 3 1 x x 代入原等式，有 33 ( )() 11 xx fxf xx (2) (1)+(2) 得， 3 2 7 ( )(1) 22 xx f xx x 例 9、 设对于满足 0,1xx的所有实数x， 函数( )f x满 足 1 ( )()1 x f xfx x ，求 ( )f x 的解析式。 解：因为， 1 ( )()1 x f xfx x (1) 将x取为 1x x 代入原等式，有 1121 ()() 1 xx ff xxx (2) 精心整理 又将 x取为 1 1x 代入原等式，有 12 ()( ) 11 x ffx xx (3) (1)-(2)+(3)化简得， 32 1 ( ) 2 (1) xx f x x x