高三数学专题练习平行垂直关系的证明.pdf

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1、高考精品试题 高三数学专题练习平行垂直关系的证明 1平行关系的证明 例 1：如图， ， ，分别是正方体的棱，的中点 求证： （1）平面； （2）平面平面 2垂直关系的证明 例 2： 如图，在三棱柱中， 侧棱底面， 为棱的中点， （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如 果不存 在，请说明理由 一、单选题 1111 ABCDA B C D 1 CC 11 C D EG 11 BB D D BDF 11B D H 111 ABCA B C 1 AAABC=AB BC=2AC 1= 2 AA 1B C1 A BM 1AC1A BM 1AC

2、 N11AAC C 1 BN BB 高考精品试题 1平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： ；与相交与相交或重合；与平行与平 行或重合；其中不正确的命题个数是（） A1 B2 C3 D4 2已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A若，且，则 B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C若，则 D若，则 3给出下列四种说法： 若平面，直线，则； 若直线，直线，直线，则； 若平面，直线，则； 若直线，则其中正确说法的个数为（） A4 个B3 个C2 个D1 个 4已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）

3、（1）， （2）， （3）， 11 mnmn 11 mnmnmm lmlnmn，l mmnn mnnm ab，ab abab aa a a mn mn nmnm m nmn 高考精品试题 （4）， A0 个B1 个C2 个D3 5如图，在正方体中，分别是的中点，则下列 命题正确的是（） AB CD 6已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A若垂直于同一平面，则平行 B若平行于同一平面，则平行 C若不平行，则在内不存在与平行的直线 D若不平行，则不可能垂直于同一平面 7已知是两条不重合的直线， ， ，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若，则； 若，则； 若，则

4、； mmnn 1111ABCDA B C DMNP，1111C DBCA D， MNAP 1 MNBD 11 MNBB D D平面MNBDP平面 mn， ， ，与 mn， mn与 ， mn， mn与 mn， mm， ， mnmn， 高考精品试题 若是异面直线，则其中真命题是（） A和B和C和D和 8如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且；则下列结论错误 的是（） AB C三棱锥的体积为定值D的面积与的面积相等 9如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于的任意一点， 分别为的中点，则下列结论正确的是（） AB与所成的角为 C平面D平面平面 10如图，在三棱柱中，侧棱底面，

5、底面三角形是正三角 形，是中点，则下列叙述正确的是（） mn， mmnn， 11 ACEF，2EF BDCEEFABCD平面 EFBC BEF CEF AB， MN，VAVC， MNABMN OCVACVACVBC 111 ABCA B C 1 AA 111 A B C 111 A B C 高考精品试题 A与是异面直线B平面 C ，为异面直线且D平面 11设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四 个命题： 三棱锥的体积为定值；异面直线与所成的角为；平面； 直线与平面所成的角为其中正确的命题为（） ABCD 12如下图，梯形中，将 沿对角线折起设折起后点的位置为，并且平面平面给出下面四个命题：

6、；三棱锥的体积为；平面； 平面平面其中正确命题的序号是（） 1 CC 1 B EAC 11 ABB A 11 BC 11 AEB C 11 AC 1 AB E EF， 1111 ABCDA B C D21ABEF， 11 DB EF 11 D B 11 D B 1 B EF 11 D B 1 B EF ABCDADBC145ADABADABBCD， ABD A BDBCD A DBCABCD 2 2 CDA BD A BCA DC 高考精品试题 ABCD 二、填空题 13 设是两条不同的直线，是两个不同的平面， 则下列命题正确的是_ (填 序号 ) 若，则；若，则； 若，则；若，则 14一个正

7、方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ；与所成的角为；与是异面直线； 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 15若四面体的三组对棱分别相等，即，给出下列结 论： 四面体每组对棱相互垂直； 四面体每个面的面积相等； 从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大而小于； 连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号） 16如图，一张矩形白纸，分别为的中点， mn， ， m nmnmm mnmnmm ABEFCMMNMNCD ABCDABCDACBDADBC， ABCD ABCD ABCD180 ABCD ABCD10AB102ADEF，ADBC

8、， 高考精品试题 现分别将，沿折起，且在平面同侧，下列命题正确的 是_（写出所有正确命题的序号） 当平面平面时，平面 当平面平面时， 当重合于点时， 当重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题 17如图，四棱锥中，为 正三角形 且 （1）证明：平面平面； （2）若点到底面的距离为2，是线段上一点， 且平面，求四面体 的体积 18 如图，四边形为正方形，平面， ABECDFBEDF，AC、BFDE ABECDFACBFDE ABECDFAECD AC、PGPD AC、PDEF150 PABCD22ABADBCBCADABADPBD 23PA PABPBC ABCDPB ACEACDE A

9、BCDEAABCDEFAB4AB2AE1EF 高考精品试题 （1）求证：； （2）若点在线段上，且满足，求证：平面； （3）求证：平面 答案 1平行关系的证明 例 1：如图， ， ，分别是正方体 1111 ABCDA B C D 的棱， 1 CC ， 11 C D ，的中点 求证： （1） EG 平面 11BB D D ； （2）平面BDF平面 11 B D H 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】证明（1）如图，取 11 B D 的中点，连接， ， BCAF 1 4 CMCAEMFBC AFEBC 高考精品试题 因为 11 1 2 OGB CBE，所以BE OG，所以四边形 BEGO

10、为平行四边形，故OBEG ， 因为 OB平面 11 BB D D ， EG平面 11 BB D D ，所以 EG 平面 11 BB D D （2）由题意可知 11BDB D连接，1D F ， 因为 1 BHD F，所以四边形 1 HBFD 是平行四边形，故 1 HDBF 又 1111 =B DHDDI，=BDBF BI，所以平面BDF平面 11 B D H 2垂直关系的证明 例 2： 如图，在三棱柱中， 侧棱底面， 为棱的中点， （1）求证： 1 B C平面 1 A BM ； （2）求证： 1 AC平面 1 ABM ； （3）在棱上是否存在点，使得平面 1 AC N平面 11 AAC C ？如

11、果存在，求此时 1 BN BB 的值；如 果不存在，请说明理由 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在， 1 2 【解析】（1）证明：连接与 1 A B ，两线交于点，连接OM 111 ABCA B C 1 AAABC=AB BC=2AC 1= 2 AA 高考精品试题 在 1 B AC中，分别为，的中点， 1 OMB C， 又 OM平面 1 A BM ， 1 B C平面 1 ABM ， 1 B C平面 1 ABM （2）证明：侧棱 1AA底面 ABC， BM平面 ABC， 1AABM ， 又为棱的中点，=AB BC ， BMAC 1 =AAAC A ， ， AC平面 11 ACC A

12、，BM平面 11 ACC A ， 1 BMAC =2AC，=1AM又 1= 2 AA，在 1 RtACC和 1 RtA AM中， 11 tantan2AC CA MA， 11 AC CA MA， 即 1111 90AC CC ACA MAC AC， 11 A MAC 1BMAMM ，BM，1AM平面1A BM ，1AC平面1ABM （3）解：当点为的中点，即时，平面 1 AC N平面 11 AA C C 证明如下： 设 1 AC 的中点为，连接DM，DN，分别为1 AC ，的中点， 1 DMCC， 且 1 1 2 DMCC又为的中点，DMBN，且DMBN， 1 1 2 BN BB 高考精品试题

13、 四边形 BNDM 为平行四边形，BMDN， BM平面 11 ACC A ， DN 平面 11 AAC C 又 DN 平面 1 AC N ， 平面 1 AC N平面 11 AAC C 一、单选题 1平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题： 11 mnmn ； 11 mnmn ；与相交m与相交或重合；与平行m与平行 或重合；其中不正确的命题个数是（） A1 B2 C3 D4 【答案】 D 【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D 中： 对于说法：若取平面为ABCD ， ，分别为， mn，分别为 11 ACBD， 满足

14、 11 mn ，但是不满足 mn，该说法错误；对于说法：若取平面为 11 ADD A ， ，分别为 111 ADAD， mn，分别为 111 ACBD，满足 mn，但是不满足 11 mn ， 该说法错误； 对于说法： 若取平面为ABCD ， ，分别为 ACBD，mn，分别为 11 ACBD， 满足与相交，但是与异面，该说法错误；对于说法：若取平面为 11 ADD A， 、分别为 11 A DAD， 、分别为 11 ACBC，满足与平行， 但是与异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4本题选择D 选项 高考精品试题 2已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

15、A若 lm，ln，且 m n，则l B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C若 m ，m n，则n D若 mn ，n，则m 【答案】 D 【解析】对于选项A，若l m，ln，且 m n，则 l 不一定垂直平面，有可能和平 行， 该选项错误； 对于选项 B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，该选项 错误； 对于选项 C，若 mmn，则有可能在平面内，该选项错误； 对于选项 D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，该选项正确，故答 案为 D 3给出下列四种说法： 若平面，直线 ab，则 ab； 若直线 ab，直线 a，直线 b，则； 若平面，直线 a

16、，则 a； 若直线 a， a ，则其中正确说法的个数为（） A4 个B3 个C2 个D1 个 【答案】 D 高考精品试题 【解析】若平面，直线 ab，则 ab，可异面； 若直线 ab，直线 a，直线 b，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线； 若直线 a， a，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线； 若平面，直线 a，则 a与无交点，即a；故选 D 4已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（） （1） m， n， m， n （2） nm ， n m （3）， m ， n mn（4） m， mnn A0 个B1 个C2 个D3 【答案】 B 【解析】由m， n， m

17、， n，若 ab，相交，则可得，若 ab，则与 可能平行也可能相交，故（1）错误； 若 mn ， n 根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（ 2）正确； 若， m ， n ，则 mn 或 mn， 异面，故（ 3）错误； 若 m ， m n ，则 n或 n，故（ 4）错误；故选B 5如图，在正方体 1111 ABCDA B C D 中，M NP， 分别是 1111 C DBCAD，的中点，则下列 命题正确的是（） 高考精品试题 A MNAP B 1 MNBD C 11 MNBB D D平面DMN BDP平面 【答案】 C 【解析】 A： MN 和是异面直线，故选项不正确； B：MN和1BD 是异

18、面直线，故选项不正确； C：记 ACBDOI正方体 1111 ABCDA B C D 中， MN，分别 11 C DBC，是的中点， 1 OND MCD， 1 1 2 OND MCD， 1 MNOD 为平行四边形，1MNOD， MN 平面 1 BD D ， 1 OD平面 1 BD D ， MN平面 1 BD D D：由 C 知11MNBB D D平面，而面11BB D D 和面BDP相交，故选项不正确；故选C 6已知 mn，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A若，垂直于同一平面，则与平行 B若 mn，平行于同一平面，则mn与平行 C若，不平行，则在内不存在与平行的直线

19、 D若 mn，不平行，则mn与不可能垂直于同一平面 【答案】 D 高考精品试题 【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A 不正确； 平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B 不正确； 平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C 不正确； D 为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D 正确故选D 7已知 mn，是两条不重合的直线， ， ，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： 若 mm， ，则； 若，则； 若 mn mn，则； 若 mn， 是异面直线，mmnn， ， ，则其中真命题是（） A和B和C和D和 【答案】 D 【解析】逐一考查所给的命题： 由线面垂

20、直的性质定理可得若mm，则，命题正确； 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D 中，取平面，分别为平面 1111 ABB AADD AABCD， 满足，但是不满足，命题错误； 如图所示的正方体 1111 ABCDA B C D 中，取平面，分别为平面 1111 ABB AADD A， 直线 mn，分别为 11 BBDD，满足 mnmn，但是不满足，命题错误； 高考精品试题 若 mn，是异面直线，mmnn， ， ，由面面平行的性质定理易知， 命题正确； 综上可得，真命题是和，本题选择D 选项 8如图，正方体的棱长为1，线段 11 AC 上有两个动点EF，且2EF；则下列结论错误 的是

21、（） ABD CE BEF ABCD平面 C三棱锥 EFBC的体积为定值 DBEF的面积与 CEF 的面积相等 【答案】 D 【解析】在正方体 1111 ABCDA B C D 中，BD平面 11 A ACC ， 而CE平面11A ACC ，故 BDCE，故 A 正确 又 11 AC 平面 ABCD ，因此EF平面 ABCD ，故 B 正确 当变化时， 三角形 CEF 的面积不变， 点到平面 CEF 的距离就是到平面 11 ACCC 的距离， 它是 高考精品试题 一个定值，故三棱锥EFBC 的体积为定值（此时可看成三棱锥BCEF 的体积），故 C 正 确 在正方体中，点到的距离为 6 2 ，而

22、到的距离为1，D 是错误的，故选D 9如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点是圆周上不同于AB，的任意一点， MN， 分别为 VAVC， 的中点，则下列结论正确的是（） AMN AB BMN与所成的角为 COC平面VACD平面 VAC 平面VBC 【答案】 D 【解析】对于A 项， MN 与异面，故A 项错； 对于 B 项，可证 BC平面 VAC ，故 BCMN ，所成的角为，因此 B 项错； 对于 C 项，与不垂直，不可能垂直平面VAC ，故 C 项错； 对于 D 项，由于BCAC ， VA平面 ABC ， BC平面 ABC ， VABC ， =ACVA AI， BC平面 VAC ，

23、BC平面 VBC ，平面 VAC平面 VBC ，故选 D 10如图，在三棱柱 111 ABCA B C 中，侧棱 1 AA底面 111 A B C ，底面三角形 111 AB C 是正三角 形，是中点，则下列叙述正确的是（） 高考精品试题 A 1 CC 与 1 B E 是异面直线BAC平面 11 ABB A C ，11BC 为异面直线且11AEB CD11AC 平面1AB E 【答案】 C 【解析】对于A 项， 1 CC 与 1 B E在同一个侧面中，故不是异面直线，A 错； 对于 B 项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC平面 11 ABB A 不可能， B 错； 对于 C 项， ， 1

24、1 BC 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，C 正确； 对于 D 项， 11 AC 所在的平面与平面 1 AB E 相交，且 11 AC 与交线有公共点， 故 11AC 平面1AB E 不正确， D 项不正确；故选C 11设E F， 分别是正方体 1111 ABCDA B C D 的棱上两点， 且 21ABEF， ，给出下列四个 命题： 三棱锥 11 DB EF 的体积为定值；异面直线 11 D B 与所成的角为； 11 D B平面 1 B EF ； 直线 11 D B 与平面1B EF 所成的角为其中正确的命题为（ ） ABCD 【答案】 A 【解析】由题意得，如图所示

25、， 高考精品试题 中，三棱锥的体积的为 11111 11 1112 22 3323 DB EFBD EFD EF VVSB CEF ，体 积为定值； 中，在正方体中， 11 EFC D，异面直线 11 D B 与所成的角就是直线 1 1 D B 与 11 C D 所成的 角， 即 111 45B D C，这正确的； 中，由可知，直线 11D B 与不垂直， 11D B面1B EF 不成立， 是错误的； 中，根据斜线与平面所成的角，可知 11 D B 与平面 1 B EF 所成的角，即为 111 45B D C， 不正确 12如下图， 梯形 ABCD 中， ADBC，145ADABADABBCD

26、， ，将ABD沿 对角线折起设折起后点的位置为，并且平面ABD平面 BCD 给出下面四个命题： A DBC ；三棱锥 ABCD 的体积为 2 2 ； CD平面 A BD； 平面 A BC平面 A DC 其中正确命题的序号是（） 高考精品试题 ABCD 【答案】 B 【解析】90BADADAB，45ADBABD， 45ADBCBCD， BDDC ， 平面A BD平面 BCD ，且平面A BD I 平面 BCDBD ， CD平面A BD， AD平面A BD， CDA D ，故 A DBC 不成立，故错误； 棱锥 ABCD 的体积为 1 122 22 3 226 ，故错误； 由知 CD平面 A BD

27、，故正确； 由知 CD平面 A BD，又AB平面A BD， CDA B ， 又ABAD，且A D、 CD平面 A DC ，A DCDD， AB平面 A DC ，又AB平面 A BC ， 平面 A BC平面 A DC ，故正确故选B 二、填空题 13 设 mn，是两条不同的直线，是两个不同的平面， 则下列命题正确的是_ (填 序号 ) 若 m， n，则 mn；若 m ， m，则； 若 mn ， m ，则 n ；若 m， ，则 m 高考精品试题 【答案】 【解析】 m， n ，则 mn ，与可能相交也可能异面，不正确； m ， m，则 ，还有与可能相交，不正确； mn ，m，则n，满足直线与平面垂

28、直的性质定理，故正确； m ，则 m，也可能 m，也可能 mA ，不正确； 故答案为 14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ABEF；与 CM 所成的角为；与MN 是异面直线；MNCD 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 【答案】 【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图： 则ABEF，与 MN 异面， ABCMMNCD，只有正确故答案为 15若四面体 ABCD的三组对棱分别相等，即ABCDACBDADBC， ，给出下列结 论： 高考精品试题 四面体ABCD 每组对棱相互垂直； 四面体ABCD 每个面的面积相等； 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹

29、角之和大而小于180 ； 连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 将四面体ABCD 的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相 等， 平行六面体为长方体 由于长方体的各面不一定为正方形， 同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一 定相互垂直错误； 四面体 ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的正确； 由，四面体ABCD 的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱 两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180 错误； 连接四面体ABCD 每组对棱中点

30、构成菱形，线段互垂直平分正确，故答案为 16如图，一张矩形白纸 ABCD，10AB ，10 2AD，E F， 分别为 ADBC， 的中点， 现分别将，沿折起，且在平面同侧，下列命题正确的 是_（写出所有正确命题的序号） ABECDFBEDF，AC、BFDE 高考精品试题 当平面平面时，平面 当平面平面时， 当重合于点时， 当重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】 【解析】在中，在中， ，由题意，将沿折起， 且在平面同侧， 此时四点在同一平面内，平面平面， 平面平面，当平面平面时，得到， 显然，四边形是平行四边形， 进而得到平面，正确的； 由于折叠后，直线与直线为异面直线，与不平行， 错

31、误的； 折叠后，可得，其中， 和不垂直， 不正确； 当重合于点时，在三棱锥中，和均为直角三角形， ABECDFACBFDE ABECDFAECD AC、PGPD AC、PDEF150 ABE 2 tan 2 ABEACD 2 tan 2 CAD ABEDACABECDF，BEDF， AC，BEDF ACGH，ABE IAGHCAG CDF IAGHCCH ABE CDFAGCH AGCHAGHCACGH ACBFDE 10 3 3 PG10PD10GD 222 PGPDGD ,A CPDEFEFDFCD 高考精品试题 为外接球的直径，即， 则三棱锥的外接球的表面积为，是正确， 综上正确命题的序

32、号为 三、解答题 17如图，四棱锥中，为 正三角形 且 （1）证明：平面平面； （2）若点到底面的距离为2，是线段上一点， 且平面，求四面体 的体积 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：，且， 又为正三角形， ，又， 又， 平面，又 平面， 平面平面 5 6 22 DF R PDEF 2 25 6 44150 2 R PABCD22ABADBCBCADABADPBD 23PA PABPBC ABCDPB ACEACDE 8 9 ABAD2ABAD2 2BD PBD2 2PBPDBD2AB2 3PAABPB ABADBCADABBCPBBCB ABPBCABPAB PABPBC 高

33、考精品试题 （2）如图，连接，交于点， 且，连接， 平面，则， 由（ 1）点到平面的距离为2， 点到平面的距离为， ， 即四面体的体积为 18 如图，四边形为正方形，平面， （1）求证：； （2）若点在线段上，且满足，求证：平面； （3）求证：平面 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 BCAD 2ADBC2ODOB PBACEPBOE2DEPE ABCD ABCD 24 2 33 h 11148 22 33239 A CDEEACDACD VVSh ACDE 8 9 ABCDEAABCDEFAB4AB2AE1EF BCAF 1 4 CMCAEMFBC AFEBC 高考精品试题 【

34、解析】（1），与确定平面， 平面，由已知得且， 平面又平面， （2）过作，垂足为，连接，则 又， 又且， 且， 四边形为平行四边形， 又平面，平面，平面 （3）由（ 1）可知， 在四边形中， ，则 设， 故，则，即 又，平面 EFABEABF EAABCDEABCABBC=EAAB AI BCEABFAFEABFBCAF MNBCMNAB 1 4 CMACMNABEFAB 1 4 EFAB EFMNEFMNEFNMEMFN FNFBC EM FBCEMFBC AFBC ABFE4AB2AE1EF90BAEAEF 1 tantan 2 EBAFAEEBAFAE AFBEPI90PAEPAB 90PBAPAB90APBEBAF EBBCBIAFEBC