高等数学教案ch1函数与极限.pdf

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1、第 I-1 页共 44 页第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数

2、连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。第

3、I-2 页共 44 页 1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集 ): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示 . 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 a M. 集合的表示: 列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来. 例如 A a, b, c, d, e, f, g. 描述法 : 若集合 M 是由元素具有某种性质P 的元素 x 的全体所组成 , 则 M 可表示为 A a1, a2, , an, M x | x 具有性质 P . 例如 M (x, y)| x, y 为实数, x 2 y 2 1. 几个数集 :

4、 N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集 . N 0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R 表示所有实数构成的集合 , 称为实数集 . Z 表示所有整数构成的集合 , 称为整数集 . Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集 . ,|互质与且qpqZp q p NQ 子集: 若 x A, 则必有 x B, 则称 A 是 B 的子集 , 记为 A B(读作 A 包含于 B)或 B A . 如果集合 A 与集合 B 互为子集 , A B 且 B A, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 A B. 若

5、A B 且 A B, 则称 A 是 B 的真子集 , 记作 AB . 例如, NZQR . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集(简称并 ), 记作 AB, 即 AB x|x A 或 x B. 设 A、B 是两个集合 , 由所有既属于A 又属于 B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集(简称交 ), 记作 AB, 即第 I-3 页共 44 页 AB x|x A 且 x B. 设 A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集

6、合称为A 与 B 的差集(简称差 ), 记作 A B, 即 A B x|x A 且 x B. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合 A都是 I 的子集 . 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补集 , 记作 A C. 集合运算的法则 : 设 A、B、C 为任意三个集合 , 则 (1)交换律 A B B A, AB BA; (2)结合律 (AB)C A(B C), (AB)C A(BC); (3)分配律 (AB)C (AC)(BC), (AB)C (AC) (BC); (4)对偶律 (AB) C A C B C, (A B)C A

7、 C B C. (AB) C A C B C 的证明 : x (A B) C x ABx A且 x Bx A C 且 x BCx ACBC, 所以(A B)CAC B C. 直积(笛卡儿乘积 ): 设 A、B 是任意两个集合 , 在集合 A 中任意取一个元素x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对 (x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积 , 记为 A B, 即 A B ( x, y)|x A 且 y B. 例如, R R ( x, y)| x R 且 y R 即为 xOy 面上全体点的集合 , R R 常记作 R 2.

8、 3. 区间和邻域有限区间 : 设 a1 时, y 1 x. 例如 2 2 1 2) 2 1 (f; 212) 1 (f; f(3) 1 3 4. 2. 函数的几种特性 (1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 X D. 如果存在数 K1, 使对任一 x X, 有 f(x) K1, 则称函数 f(x)在 X上有上界 , 而称 K1为函数 f(x)在 X上的一个上界 . 图形特点是 y f(x) 的图形在直线 y K1的下方 . 如果存在数 K2, 使对任一 x X, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界 , 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下

10、它在 (0, 1)内有下界 , 无上界. 这是因为 , 对于任一 M1, 总有 x1:1 1 0 1 M x, 使 M x xf 1 1 1 )(, 所以函数无上界 . 函数 x xf 1 )(在(1, 2)内是有界的 . (2)函数的单调性设函数 yf(x)的定义域为 D, 区间 ID. 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的 . 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例 : 函数 yx 2 在区间 (, 0上是单调增加的 , 在区间 0, )上是单调减少的 , 在（, ）上不是单调的 . (3

11、)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 x D, 则 x D). 如果对于任一 x D, 有 f( x) f(x), 则称 f(x)为偶函数 . 如果对于任一 x D, 有 f( x) f(x), 则称 f(x)为奇函数 . 偶函数的图形关于y轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称, 第 I-9 页共 44 页奇偶函数举例 : y x 2, y cos x 都是偶函数 . y x3, y sin x 都是奇函数 , y sin x cos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一 x D 有

12、(x l)D, 且 f(x l) f(x) 则称 f(x)为周期函数 , l 称为 f(x)的周期 . 周期函数的图形特点 : 在函数的定义域内 , 每个长度为 l 的区间上 , 函数的图形有相同的形状 . 3反函数与复合函数反函数 : 设函数 f : Df(D)是单射 , 则它存在逆映射f 1 : f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数 . 按此定义 , 对每个 y f(D), 有唯一的 x D, 使得 f(x) y, 于是有 f 1(y) x. 这就是说 , 反函数 f 1 的对应法则是完全由函数f 的对应法则所确定的 . 一般地 , y f(x), x D 的反函数记成

13、 y f 1(x), x f(D). 若 f 是定义在 D 上的单调函数 , 则 f : Df(D)是单射 , 于是 f 的反函数 f 1 必定存在, 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数 . 相对于反函数 y f 1(x)来说, 原来的函数 y f(x)称为直接函数 . 把函数 y f(x)和它的反函数 y f 1(x)的图形画在同一坐标平面上 , 这两个图形关于直线y x 是对称的 . 这是因为如果 P(a, b)是 y f(x)图形上的点 , 则有 b f(a). 按反函数的定义 , 有 a f 1(b), 故 Q(b, a) 是 y f 1(x)图形上的点 ; 反之,

14、若 Q(b, a)是 y f1(x)图形上的点 , 则 P(a, b)是 y f(x)图形上的点 . 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直线 y x 对称的 . 复合函数 : 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述 . 设函数 y f(u)的定义域为 D 1, 函数 u g(x)在 D 上有定义且 g(D)D 1, 则由下式确定的函数 y fg(x), x D 称为由函数 u g(x)和函数 y f(u)构成的复合函数 , 它的定义域为D, 变量 u 称为中间变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为gf, 即第 I-10

15、页共 44 页 (gf) fg(x). 与复合映射一样 , g 与 f 构成的复合函数gf的条件是 : 是函数 g 在 D 上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df内, 即 g(D) Df. 否则, 不能构成复合函数 . 例如, y f(u) arcsin u, 的定义域为 1, 1, 2 12)(xxgu在 1, 2 3 2 3 , 1D 上有定义 , 且 g(D) 1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数 2 12a r c s i nxy, x D; 但函数 y arcsin u 和函数 u 2 x 2 不能构成复合函数 , 这是因为对任 x R, u 2 x 2 均不在 y

16、 arcsin u 的定义域 1, 1内. 多个函数的复合 : 4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, D D 1D 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算 : 和(差)fg : (fg)(x) f(x) g(x), x D; 积 f g : (f g)(x) f(x) g(x), x D; 商 g f : )( )( )( xg xf x g f , x Dx|g(x) 0. 例 11 设函数 f(x)的定义域为 ( l, l), 证明必存在 ( l, l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x), 使得 f(x) g(x) h(x). 分析如果

17、 f(x) g(x) h(x), 则 f( x) g(x) h(x), 于是 )()( 2 1 )(xfxfxg, )()( 2 1 )(xfxfxh. 证作)()( 2 1 )(xfxfxg, )()( 2 1 )(xfxfxh, 则 f(x) g(x) h(x), 且)()()( 2 1 )(xgxfxfxg, )()()( 2 1 )()( 2 1 )(xhxfxfxfxfxh. 5. 初等函数基本初等函数 : 幂函数 : y x (R 是常数 ); 指数函数 : y a x(a 0 且 a 1); 第 I-11 页共 44 页对数函数 : y logax (a 0 且 a 1,

18、特别当 a e时, 记为 y ln x); 三角函数 : y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x; 反三角函数 : y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arccot x . 初等函数 : 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 例如 2 1 xy , y sin 2x, 2 cot x y 等都是初等函数 . 双曲函数 : 双曲正弦 : 2 sh xx ee x; 双曲余弦 : 2 ch xx ee x;

19、双曲正切 : xx xx ee ee x x x ch sh th. 双曲函数的性质 : sh(x y) sh x ch y ch x sh y; ch(x y) ch x ch y sh x sh y. ch 2x sh2x 1; sh2x 2sh x ch x; ch2x ch 2x sh2x . 下面证明sh(x y) sh x ch y ch x sh y: 2222 shchchsh yyxxyyxx eeeeeeee yxyx 44 )()(yxyxxyyxyxyxxyyx eeeeeeee )(sh 2 )( yx ee yxyx . 反双曲函数 : 双曲函数 y sh x,

20、y ch x(x 0), y th x 的反函数依次为反双曲正弦 : y arsh x; y=chx y=shx 1 x y O y= e -x1 2 y= ex 1 2 1 -1 Ox y y=th x 第 I-12 页共 44 页反双曲余弦 : y arch x; 反双曲正切 : y arth x . 反双曲函数的表示达式 : y arsh x是 x sh y 的反函数 , 因此, 从 2 yy ee x 中解出 y 来便是 arsh x . 令 u e y, 则由上式有 u 2 2x u 1 0. 这是关于 u 的一个二次方程 , 它的根为 1 2 xxu. 因为 u e y 0,

21、故上式根号前应取正号 , 于是 1 2 xxu. 由于 y ln u, 故得 )1l n (a r sh 2 xxxy. 函数 y arsh x 的定义域为 (, ), 它是奇函数 , 在区间 (, )内为单调增加的. 类似地可得 )1l n (a r c h 2 xxxy, x x xy 1 1 ln 2 1 arth. 第 I-13 页共 44 页第 I 条 1 2 数列的极限一个实际问题如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆首先作内接正四边形它的面积记为 A1；再作内接正八边形它的面积记为 A2；再作内接正十六边形它的面积记为 A3；如此下去每次边数加倍一般把内接正 8

22、2 n1 边形的面积记为 An这样就得到一系列内接正多边形的面积 A1A2A3An 设想 n 无限增大（记为 n读作 n 趋于穷大）即内接正多边形的边数无限增加在这个过程中内接正多边形无限接近于圆同时 An也无限接近于某一确定的数值这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）A1A2A3An当 n时的极限数列的概念如果按照某一法则使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn 则得到一列有次序的数 x1x2x3xn 这一列有次序的数就叫做数列记为xn其中第 n 项 xn叫做数列的一般项数列的例子 1n n 2 1 3 2 4 3 1n n 2 n 2

23、4 8 2 n n 2 1 2 1 4 1 8 1 n 2 1 (1) n1 11 1 ( 1) n1 n n n 1 ) 1( 2 2 1 3 4 n n n 1 ) 1( 它们的一般项依次为 1n n 2n n 2 1 ( 1) n1 n n n 1 ) 1( 数列的几何意义数列 xn可以看作数轴上的一个动点它依次取数轴上的点x1 x2x3xn 数列与函数数列 xn可以看作自变量为正整数n 的函数 xnf (n) 它的定义域是全体正整数数列的极限数列的极限的通俗定义：对于数列 xn如果当 n 无限增大时数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数值a 则称常数 a 是数列 xn 的

24、极限或称数列 xn收敛 a记为axn n lim如果数列没有极限就说数列是发散的第 I-14 页共 44 页例如 1 1 l i m n n n 0 2 1 lim n n 1 ) 1( lim 1 n n n n 而 2 n ( 1) n1 是发散的对无限接近的刻划 xn无限接近于 a 等价于 |xna |无限接近于 0 极限的精确定义定义如果数列 xn与常 a 有下列关系对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数 N使得对于 n N 时的一切 xn不等式 |xna |0要使|xn1|只要 n 1 即 1 n 证明因为0, 1 NN当 n N 时有 |xn1| nn n n 1

25、 | 1 ) 1( | 1 所以1 ) 1( lim 1 n n n n 例 2 证明0 ) 1( ) 1( lim 2 n n n 分析 |xn0|0 ) 1( ) 1( | 2 n n 1 1 ) 1( 1 2 nn 对于0要使|xn0|只要 1 1 n 即1 1 n 第 I-15 页共 44 页证明因为0 1 1 NN当 n N 时有 |xn0| 1 1 ) 1( 1 |0 ) 1( ) 1( | 22 nnn n 所以0 ) 1( ) 1( lim 2 n n n 例 3 设|q |0要使 |xn0| | q n 1 0| |q| n 1log|q|1就可以了故可取 N log|q

26、|1。证明因为对于任意给定的 0存在 N log|q|1 当 n N 时有 | q n 1 0| |q| n 10存在充分大的正整数N 使当 nN 时同时有 |xna|N 时的一切 xn不等式 |xna|N 时 |xn| |(xna) a| | xna| |a|0N N + 当 n N 时有|xna| 第 I-17 页共 44 页取 K N则当 k K 时 nkk K N 于是| k n xa| 这就证明了ax k n k lim 讨论 1 对于某一正数0如果存在正整数 N使得当 n N 时有|xna| 0是否有 xn a (n) 2 如果数列 xn 收敛那么数列 xn一定有界发散的数列

27、是否一定无界? 有界的数列是否收敛 ? 3 数列的子数列如果发散原数列是否发散 ? 数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何 ?发散的数列的子数列都发散吗？ 4如何判断数列11 11 ( 1) N 1 是发散的？第 I-18 页共 44 页 1 3 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0xx0 x 从 x0的左侧 (即小于 x0)无限接近 x0xx0 x 从 x0的右侧 (即大于 x0)无限接近 x0xx0 x 的绝对值 |x|无限增大x x 小于零且绝对值 |x|无限增大x x 大于零且绝对值 |x|无限增大x 1自变量趋于有限

28、值时函数的极限通俗定义如果当 x无限接近于 x0函数 f(x)的值无限接近于常数 A则称当 x趋于 x0时 f(x) 以 A 为极限记作 0 lim xx f(x) A 或 f(x)A(当 x 0 x) 分析在 xx0的过程中f(x)无限接近于 A 就是|f(x) A|能任意小或者说在 x 与 x0接近到一定程度 (比如|x x0|为某一正数 )时 |f(x) A|可以小于任意给定的 (小的)正数即 f(x) A|反之对于任意给定的正数如果 x 与 x0接近到一定程度 (比如|x x0|为某一正数 )就有|f(x) A|则能保证当 xx0时 f(x)无限接近于 A 定义 1 设函数 f(

29、x)在点 x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数 A 对于任意给定的正数 (不论它多么小 )总存在正数使得当 x 满足不等式 0X 时对应的函数数值 f(x)都满足不等式 |f(x) A|0 a1)对于一切实数 x 都有定义且在区间 ()内第 V-41 页共 44 页是单调的和连续的它的值域为 (0) 由定理 4对数函数 logax (a0 a1)作为指数函数 a x 的反函数在区间 (0)内单调且连续幂函数 y x 的定义域随的值而异但无论为何值在区间 (0 )内幂函数总是有定义的可以证明在区间 (0)内幂函数是连续的事实上设 x0 则 y x x a a log 因此幂函

30、数 x 可看作是由 y a u ulogax 复合而成的由此根据定理 6它在(0)内是连续的如果对于取各种不同值加以分别讨论可以证明幂函数在它的定义域内是连续的结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等函数的连续性在求函数极限中的应用如果 f(x)是初等函数且 x0是 f(x)的定义区间内的点则 0 lim xx f(x) f(x0) 例 5 求 2 0 1limx x 解初等函数 f(x) 2 1 x在点0 0 x是有定义

31、的所以111lim 2 0 x x 例 6 求x x sinlnlim 2 解初等函数 f(x) ln sin x 在点 2 0 x是有定义的所以0 2 s i nlnsinlnlim 2 x x 例 7 求 x x x 11 lim 2 0 解 x x x 11 lim 2 0 ) 11( ) 11)(11( lim 2 22 0 xx xx x 0 2 0 11 l i m 2 0 x x x 第 VI-42 页共 44 页例 8 求 x x a x )1 (log lim 0 解 x x a x )1 (log lim 0 x a x x 1 0 )1(loglim a e a

32、ln 1 log 例 9 求 x ax x 1 lim 0 解令 a x 1 t则 x loga(1 t) x0 时 t0 于是 x ax x 1 l i m 0 a t t a t ln )1(log lim 0 第 VI 条 1 10 闭区间上连续函数的性质 (a)一、最大值与最小值最大值与最小值对于在区间 I 上有定义的函数 f(x)如果有 x0I使得对于任一 x I 都有 f(x) f(x0) (f(x) f(x0) 第 VI-43 页共 44 页则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值）例如函数 f(x) 1 sin x 在区间 02 上有最大值2 和最

33、小值0 又如函数 f(x) sgn x 在区间 ()内有最大值1 和最小值1在开区间 (0)内 sgn x 的最大值和最小值都是1 但函数 f(x) x 在开区间 (a b)内既无最大值又无最小值定理 1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值定理 1 说明如果函数 f(x)在闭区间 a b上连续那么至少有一点1a b使 f(1)是 f(x)在a b上的最大值又至少有一点 2a b使 f( 2)是 f(x)在a b上的最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例在开区间 (a b

34、) 考察函数 y x 又如如图所示的函数在闭区间0 2上无最大值和最小值 213 11 101 )( xx x xx xfy 定理 2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明节 6.02二、介值定理零点如果 x0使 f(x0) 0则 x0称为函数 f(x)的零点定理 3（零点定理）设函数 f(x)在闭区间 a b上连续且 f(a)与 f(b)异号那么在开区间 (a b)内至少有一点使 f( ) 0 定理 4（介值定理）设函数 f(x)在闭区间 a b上连续且在这区间的端点取不同的函数值 f(a) A 及 f(b) B 那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C在开区间 (a b)内至少有一点使得 f( ) C 定理 4 （介值定理）设函数 f(x)在闭区间 a b上连续且 f(a) f(b)那么对于 f(a) 与 f(b)之间的任意一个数 C在开区间 (a b)内至少有一点使得 f( ) C 证设 (x) f(x) C 则 (x)在闭区间 ab上连续且 (a) A C 与 (b) B C 异号根据零点定理在开区间 (a b)内至少有一点使得 ( ) 0 (a0f(1)20 根据零点定理在(0 1)内至少有一点使得 f( ) 0即 3 4 2 1 0 (0 1) 这等式说明方程x 34x 21 0 在区间（ 0 1）内至少有一个根是

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