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1、2020 届高三理科数学测试题（二） 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1设复数 z 满足26izz(i是虚数
2、单位 )，则复数 z 在复平面内所对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 2 已知全集 UR ， 1 21 8 x Nx，ln1Mx yx， 则图中阴影部分表示的集合是（） A31xxB30xx C10xxD3x x 3设等差数列 na的前n项和为nS ，点10081010,aa在直线20xy上，则2017S（） A4034 B2017 C1008 D1010 4设 3 log 2a，ln2b， 1 2 5c，则（） A abcB bcaC cabD cba 5为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4 名男教师和5 名女教师中，选取3 人，组成创文 明志愿者小组，若男女至
3、少各有一人，则不同的选法共有（） A140 种B70 种C35 种D84 种 6已知平面向量a， b的夹角为 3 ，且1a， 1 2 b，则2ab（） A1 B3C2 D 3 2 7 如图给出的是计算 111 1 352017 的值的一个程序框图， 则判断框内可以填入的条件是（） A1008?iB1009?iC1010?iD1011?i 8如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥 的最长棱长为（） A 2 3 B 4C6D 4 2 9若实数x，y满足不等式组 10 10 240 xy xy xy ，则目标函数 2 4 xy z x 的最大值是（） A
4、1 B 1 4 C 5 4 D 5 4 10已知 sin 2019cos 2019 63 fxxx 的最大值为A，若存在实数 1 x 、 2 x ，使得对任意 实数x总有 12fxfxfx成立， 则12A xx的最小值为（） A 2019 B 4 2019 C 2 2019 D 4038 11已知双曲线 22 22 1,0 xy a b ab ，过其右焦点F且平行于一条渐近线的直线 l与另一条渐近线交 于点A， l 与双曲线交于点B，若2BFAB ，则双曲线的离心率为（） A 23 3 B3C2D 2 12在正方体 1111ABCDAB C D 中，边长为6 ，面1ADB 与面11A DC 的
5、重心分别为E、F，求正方 体外接球被EF所在直线截的弦长为（） A 35 4 B 35 2 C 70 4 D 70 2 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上 13若a， b 为正实数，且1ab，则 12 2ab 的最小值为 _ 14等差数列 n a的前n项和为 n S ， 3 3a， 4 10S，则 1 1 n k k S _ 15已知AB为圆 22 :1O xy的直径，点P为椭圆 22 1 43 xy 上一动点，则PA PB 的最小值为 _ 16 已知ABC的三边分别为a，b ，c， 所对的角分别为A，B， C ， 且满足 113 abbcabc
6、 ， 且ABC的外接圆的面积为3 ，则cos24sin1fxxacx的最大值的取值范围为 _ 三、解答题：本大题共6 大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知等差数列na中， 235 220aaa，且前 10 项和 10 100S （ 1）求数列 na的通项公式； （ 2）若 1 1 n nn b a a ，求数列 nb的前n项和 18 （12 分）某市举行 “ 中学生诗词大赛” ，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90 分 的具有复赛资格，某校有800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150 内，其频率分 布直方图如图 （1）求
7、获得复赛资格的人数； （2）从初赛得分在区间110,150 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7 人参加学校座谈交 流，那么从得分在区间110,130 与 130,150 各抽取多少人？ （3）从（ 2）抽取的7 人中，选出3 人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间130,150 中参加全 市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E X 19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面ADNM平面 ABCD ，60DAB，2AD，1AM，E是AB中 点 （1）求证： AN 平面 MEC ； （2）在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD 的大小为
8、 6 ？若存在，求出AP的长 h ； 若不存在，请说明理由 20（12 分）在平面直角坐标系xOy 中， 椭圆 C ： 22 22 10 xy ab ab 的短轴长为2 2 ， 离心率 6 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知A为椭圆 C 的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线 AN 与椭圆 C 交 于另一点N ，若60AMN，求点M的坐标 21 （12 分）已知函数 2 lnfxaxbxxx在 1,1f处的切线方程为320xy （ 1）求实数a， b 的值； （ 2）设 2 g xx x ，若 k Z ，且2k x fxg x 对任意的2x恒成立，求k 的最大值 请考生在
9、22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是 3 xt yt （ t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为 极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为 2222 cossin2sin30 （ 1）求直线 l 的极坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于A、B两点，求AB 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 3fxxx （1）解不等式20fxx； （2）若关于x的不等式 2 2fxaa在R上的解集为R，求实数a的取值范围 高三理科数学答案
10、一、选择题 1 【答案】 D 2 【答案】 C 3 【答案】 B 4 【答案】 C 5 【答案】 B 6 【答案】 A 7 【答案】 B 8 【答案】 C 9 【答案】 B 10 【答案】 C 11 【答案】 B 12 【答案】 D 二、填空题 13 【答案】 9 2 14 【答案】 2 1 n n 15 【答案】 2 16 【答案】12,24 三、解答题 17 【答案】（1）21 n an； （2） 21 n n T n 【解析】（1）设等差数列 n a的首项为 1 a ，公差为 d 由已知得 2351 11 24820 109 101045100 2 aaaad adad ，解得 1 1
11、2 a d ， 所以数列 na的通项公式为12121nann （2） 1111 212122121 n b nnnn ， 所以 11111111 11 2335212122121 n n T nnnn 18 【答案】（1）520 人； （2）5 人， 2 人； （3） 6 7 E X 【解析】（1）由题意知90,110 之间的频率为： 1200.00250.0050.007520.01250.3 ， 0.30.01250.0050200.65 ，获得参赛资格的人数为8000.65520 人 （2）在区间110,130 与 130,150 ， 0.0125:0.00505: 2 ， 在区间110
12、,150 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7 人， 分在区间110,130 与 130,150 各抽取 5 人， 2 人结果是5 人， 2 人 （3）X的可能取值为0，1，2，则： 30 52 3 7 C C2 0 C7 P X； 21 52 3 7 C C4 1 C7 P X； 12 52 3 7 C C1 2 C7 P X； 故X的分布列为： X0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 2416 012 7777 E X 19 【答案】 （1）见解析；（ 2）存在， 7 7 h 【解析】 （1）证明：设 CM 与 BN 交于F，连接EF 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F是
13、 BN 的中点 因为E是AB的中点，所以ANEF又EF平面 MEC ， AN平面 MEC ， 所以 AN 平面 MEC （2）由于四边形ABCD 是菱形，E是AB中点，可得DEAB 又四边形ADNM 是矩形，面ADNM面 ABCD ， DN面 ABCD ， 如图建立空间直角坐标系Dxyz， 则0,0,0D， 3,0,0E，0,2,0C，3, 1,Ph ，3,2,0CE，0, 1,EPh ，设 平面 PEC 的法向量为 1 , ,x y zn，则 1 1 0 0 CE EP n n ， 320 0 xy yhz ， 令3y h ， 1 2 ,3 ,3hhn，又平面 ECD 的法向量 2 0,0,
14、1n， 12 12 2 12 33 cos, 2 73h nn n n nn ，解得 7 1 7 h， 在线段AM上存在点P，当 7 7 h时使二面角PECD 的大小为 6 20 【答案】 （1）椭圆 22 1 62 : x C y ； （2） 6 ,0 3 M 【解析】 （1）因为椭圆 C的短轴长为 2 2 ，离心率为 6 3 ， 所以 222 22 2 6 3 b c a abc 解得 6 2 2 a b c ，所以椭圆 C 的方程为 22 1 62 xy （2）因为A为椭圆 C 的上顶点，所以 0,2A 设,00Mmm，则 2 AMk m 又 AMAN ，所以 2 AN m k， 所以直
15、线 AN 的方程为2 2 m yx 由 22 2 2 1 62 m yx xy 消去y整理得 22 23120mxmx，所以 2 12 32 N m x m ， 所以 2 2 2 212 1 3222 NA mmm ANxx m ， 在直角AMN中，由60AMN，得3ANAM ， 所以 2 2 2 212 32 322 mm m m ，解得 6 3 m，所以点M的坐标为 6 ,0 3 21 【答案】 （1）1a，0b； （2）4 【解析】 （1） 21lnfxaxbx， 所以 21 3ab且1ab，解得1a，0b （2）由（ 1）与题意知 ln 22 fxg x xxx k xx 对任意的2x
16、恒成立， 设 ln 2 2 xxx h xx x ，则 2 42ln 2 xx hx x ，令 42ln2m xxx x ， 则 22 10 x mx xx ，所以函数m x 为 2,上的增函数 因为 2 842ln842ln e440m， 3 1062ln1062ln e660m， 所以函数 m x 在 8,10 上有唯一零点 0 x ，即有 00 42ln0xx成立， 所以 00 42ln0xx， 故当 0 2xx 时，0m x，即0hx； 当 0 xx 时，0m x，即0hx， 所以函数 h x 在 0 2,x上单调递减，在 0, x上单调递增， 所以 0 0 0000 0 min 00
17、 4 1 ln2 222 x x xxxx h xh x xx ，所以 0 2 x k，因为 0 8,10x， 所以 0 4,5 2 x ，又因 kZ 所以 k 最大值为 4 请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 【答案】（1）直线 l 极坐标： 3 R ； （2）15AB 【解析】（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：3y x ， 由 cos sin x y 代入得 sin3cos 3 R也可以是： 3 或 4 0 3 （2） 2222 cossin2sin30 3 得 2 33 0， 设 1 , 3 A ， 2 , 3 B ，则 2 121212415AB （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 23 【答案】 （1）313xxx或；（ 2）1a或3a 【解析】 （1）不等式20fxx可化为21xxx， 当1x时，21xxx，解得3x，即31x； 当12x时，21xxx，解得1x，即11x； 当2x时，21xxx，解得3x，即3x， 综上所述，不等式20fxx的解集为 313xxx或 （2）由不等式 2 2fxaa 可得 2 32xxa a ， 333xxxx， 2 23aa，即 2 230aa， 解得1a或3a， 故实数a的取值范围是1a或3a