中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案).pdf

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1、第 1 页 共 21 页 B y C xAO D B O C A 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例 1：在坐标系中，点A的坐标为 (3，0) ，点 B为 y 轴正半轴上的一点，点C是第一象限 内一点，且AC=2 设 tan BOC=m ，则 m的取值范围是 _ 引例 2：如图， 在边长为1 的等边 OAB中，以边 AB为直径作 D，以 O为圆心 OA长为半径 作 O ，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线 AC交 O于点 E， BC=a，AC=b ，求 ab 的最大值 . 引例 3：如图， BAC=60 ，半径长为1 的圆 O与 BAC的两边相切， P 为圆 O上一动点，

2、 以 P为圆心， PA长为半径的圆P交射线 AB 、AC于 D、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A3 B6 C 3 3 2 D3 3 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本 技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C 与两个定点O 、A 构成夹角的 变化规律， 转化为特殊位置 （相切） 进行线段、 角度有关计算， 同时对三角函数值的变化（增 减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率 ”的直接运用； 2引例 2： 通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A 、

3、B构成三角形的不变条件， 结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式 ”的直接运用； 3引例 3：本例动点的个数由引例1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质 运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E 与一个定点A 构成三角形的不变条件（DAE=60 ） ，构造弦 DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦 DE与半径 AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理 ”的直接运用； 综合比较、 回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的 套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策

4、略 1直观感觉，画出图形； 2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量） 之间的关系，建立等式，进行转化. 第 2 页 共 21 页 B A C M D D O P C B A 三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 1. 如图， A 点的坐标为（2，1） ，以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B，P（m，n）为 A 上 的一个动点，请探索n+m 的最大值 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点 1如图，在RtABC中， ACB=90 ， AC=4，BC=3 ，点 D是平面内的一个动点，且AD=2 ， M为 BD的中点，在D点运动过程中，线段

5、CM长度的取值范围是 . 2 如图，O的直径为4， C为 O上一个定点， ABC=30 ，动点 P从 A点出发沿半圆弧AB 向 B点运动（点P与点 C在直径 AB的异侧 ) ，当 P点到达 B点时运动停止，在运动过程中， 过点 C作 CP的垂线 CD交 PB的延长线于D点 （1）在点 P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为； （2）在点 P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 . 例三、正弦定理 1如图， ABC 中， BAC=60 ， ABC=45 ，AB=2 2，D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径作O分别交 AB ，AC于 E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值 为 2.

6、如图，定长弦CD在以 AB为直径的 O上滑动（点C、D与点 A、B不重合），M是 CD的中 点，过点C作 CPAB于点 P，若 CD=3 ，AB=8，则 PM长度的最大值是 第 3 页 共 21 页 O A B C E B A C O D OD C E AB 例四、柯西不等式、配方法 1如图，已知半径为2 的O 与直线 l 相切于点A，点 P是直径 AB左侧半圆上的动点，过 点 P作直线 l 的垂线，垂足为C ，PC与O 交于点 D，连接 PA 、PB ，设 PC的长为 x（2x 4） ，则当 x= 时，PD?CD的值最大，且最大值是为 . 2如图， 线段 AB=4 ，C为线段 AB上的一个动

7、点， 以 AC 、BC为边作等边ACD和等边 BCE ， O外接于 CDE ，则 O半径的最小值为( ). A.4 B. 2 3 3 C. 3 2 2 D. 2 3在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心， 2 为半径画 O ， P 是 O上一动点，且P 在第一象限内，过点P作 O的切线与x轴相交于点A ，与y轴相交于点B ，线段 AB长度的 最小值是 . 例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 1如图，在RtABC中， C=90 ， AC=6 ，BC=8 ，D 为 AB边上一点，过点D作 CD的垂线 交直线 BC于点 E，则线段CE长度的最小值是 . 2如图， RtABC 中， C=90

8、， A=30， AB=4 ，以 AC上的一点O为圆心 OA为半径作 O，若 O与边 BC始终有交点（包括B 、 C两点） ，则线段AO的取值范围是 . 第 4 页 共 21 页 3如图， O 的半径为2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切 O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（） ABC3 D2 例五、其他知识的综合运用 1. （ 2015?济南）抛物线y=ax 2+bx+4（ a0）过点 A（ 1， 1） ，B（ 5， 1） ，与 y 轴交于 点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，连接 CB，以 CB 为边作 ?CBPQ，若点 P 在直

9、线 BC 上方的抛物线上，Q 为坐 标平面内的一点，且?CBPQ 的面积为 30，求点 P 的坐标； （3）如图 2， O1过点 A、B、 C 三点， AE 为直径，点M 为 上的一动点（不与点A，E 重合） ， MBN 为直角，边BN 与 ME 的延长线交于N，求线段BN 长度的最大值 2. （ 2013 秋?相城区校级期末）如图，已知A、B 是 O 与 x 轴的两个交点，O 的半径为 1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB 分别交直线x=2 于 C、D 两点， E 为线 段 CD 的中点 （1）判断直线PE 与 O 的位置关系并说明理由； （2）求线段CD 长的最小值； （3）

10、若 E 点的纵坐标为m，则 m 的范围为 第 5 页 共 21 页 l Q P NM O A DBC E F C ADB Q P O A B D C P 【题型训练】 1如图，已知直线l 与 O相离， OA l 于点 A，OA=5 ，OA与 O相交于点P，AB与 O相 切于点 B，BP的延长线交直线l 于点 C，若在 O上存在点Q ，使 QAC 是以 AC为底边的等 腰三角形，则O的半径 r 的取值范围为 . 2已知：如图，RtABC中， B=90o， A=30o，BC=6cm ，点 O从 A点出发，沿AB以每秒 3cm的速度向 B点方向运动，当点O运动了 t 秒 (t 0)时，以 O点为圆心

11、的圆与边AC相 切于点 D，与边 AB相交于 E、F 两点，过E作 EG DE交射线 BC于 G. （1）若点 G在线段 BC上，则 t 的取值范围是； （2）若点 G在线段 BC的延长线上，则t 的取值范围是 . 3如图， M ， N 的半径分别为2cm，4cm ，圆心距MN=10cm P 为 M 上的任意一点，Q 为 N上的任意一点，直线PQ与连心线 l 所夹的锐角度数为，当 P、 Q在两圆上任意运动 时， tan的最大值为 ( ).(A) 6 12 ； (B) 4 3 ； (C) 3 3 ； (D) 3 4 4如图， 在矩形 ABCD 中，AB=3 ，BC=4 ，O 为矩形 ABCD 的

12、中心， 以 D为圆心 1 为半径作 D， P为 D上的一个动点，连接AP 、OP ，则 AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B) 21 5 (C) 35 8 (D) 17 4 5如图，在RtABC中， C=90 ，AC=8 ，BC=6 ，经过点 C且与边 AB相切 的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q ，则线段PQ长度的最小值是( ). A 19 4 B 24 5 C5 D4 2 6如图，在等腰RtABC中， C=90 ，AC=BC=4 ，D是 AB的中点，点E在 AB边上运动（点 E不与点 A重合），过 A、D、E三点作 O， O交 AC于另一点F，在此运动变化的过程中， 线段 EF

13、长度的最小值为 7如图， A、B两点的坐标分别为(2 ，0)、(0 ，2) ，C的圆心的坐标为(-1 ，0)，半径为 1， 若 D是 C上的一个动点，线段DA与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最小值是( ). A2 B1 C. 2 2 2 D.22 第 6 页 共 21 页 A Q C P B OA B x y P OAx y P 8如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2 ， 0)、(0，1) ， C的圆心坐标为 (0 ，-1) ，半径 为 1，D是 C上的一个动点，射线AD与 y 轴交于点E，则 ABE面积的最大值是( ). A3 B 11 3 C 10 3 D4 9如图，等腰RtABC中

14、， ACB=90 ， AC=BC=4 ， C的半径为1，点 P在斜边 AB上， PQ 切 O于点 Q，则切线长PQ长度的最小值为( ). A.7 B.22 C. 3 D.4 10如图 BAC 60，半径长1 的 O与 BAC的两边相切， P为 O上一动点，以P为圆 心， PA 长为半径的P 交射线AB、AC 于 D、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的范围 为 . 11在直角坐标系中，点A的坐标为（ 3， 0） ，点 P（mn，）是第一象限内一点，且AB=2 ， 则mn的范围为 . 12在坐标系中， 点 A的坐标为 （3，0） ，点 P是 y 轴右侧一点， 且 AP=2 ，点 B上直线 y

15、=x+1 上一动点，且PBAP于点 P，则tanABPm，则m的取值范围是 . 13在平面直角坐标系中，M （3， 4） ，P是以 M为圆心， 2 为半径的 M上一动点， A（ -1， 0） 、 B（1，0） ，连接 PA 、PB ，则 PA 2+PB2 最大值是 . 蔡老师点评： 与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点 与定点之间不变的维系条件，构建关系， 将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能 找到解决问题的突破口！几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持 不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方

16、 法是： 分清问题的定量及变量，运用特殊位置、 极端位置， 直接计算等方法，先探求出定值， 再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量( 如线段长度、角 度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法；2几何定理 ( 公理 ) 法； 3数形结合法等 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点这是由于这类问题 具有很强的探索性(目标不明确 ) ， 解题时需要运用动态思维、数形结合、 特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法 第 7 页 共 21 页 参考答案： 引例 1.解： C 在以

17、 A 为圆心，以2 为半径作圆周上，只有当OC 与圆 A 相切（即到C 点） 时， BOC 最小， AC=2 ，OA=3 ，由勾股定理得：OC=， BOA= ACO=90 ， BOC+AOC=90 ， CAO+ AOC=90 ， BOC= OAC ，tanBOC=tan OAC=， 随着 C 的移动， BOC 越来越大， C 在第一象限，C 不到 x 轴点，即 BOC 90 ， tanBOC，故答案为： m 引例 1 图引例 2 图 引例 2.2ab； 原题： （2013?武汉模拟）如图，在边长为1 的等边 OAB 中，以边 AB 为直径作 D，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆O，C 为半圆

18、 AB 上不与 A、B 重合的一动点，射线AC 交 O 于 点 E， BC=a，AC=b （1）求证： AE=b+a； （2）求 a+b 的最大值； （3）若 m 是关于 x 的方程： x 2+ ax=b 2+ ab 的一个根，求m 的取值范围 【考点】圆的综合题 【分析】（1）首先连接BE，由 OAB 为等边三角形，可得AOB=60 ，又由圆周角定理， 可求得 E 的度数，又由AB 为 D 的直径，可求得CE 的长，继而求得AE=b+a； （2）首先过点C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中，BC=a，AC=b ，AB=1 ，可得（a+b） 2= a 2+b2+2ab=1+2ab=1+

19、2CH ?AB=1+2CH 1+2AD=1+AB=2 ，即可求得答案； （3）由 x2+ ax=b 2+ ab，可得（ xb） （ x+b+a）=0，则可求得x 的值，继而可求得 m 的取值范围 【解答】解： （1）连接 BE， OAB 为等边三角形，AOB=60 ， AEB=30 ， AB 为直径， ACB= BCE=90 ， BC=a， BE=2a， CE=a， AC=b ， AE=b+a； 第 8 页 共 21 页 （2）过点 C 作 CHAB 于 H，在 RtABC 中， BC=a，AC=b， AB=1 ， a 2+b2=1， SABC= AC ?BC=AB ?CH， AC ?BC=A

20、B ?CH， （ a+b） 2 =a 2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH 1+2AD=1+AB=2 ， a+b ， 故 a+b 的最大值为， （3） x 2+ ax=b 2+ ab， x 2b2+ axab=0，（ x+b） （xb）+a（xb） =0， （ xb） （ x+b+a）=0， x=b 或 x=（ b+a） ， 当 m=b 时， m=b=AC AB=1 ， 0m1， 当 m=（ b+a）时，由（ 1）知 AE= m，又 AB AE 2AO=2 ， 1 m 2， 2 m 1， m 的取值范围为0m1 或 2 m 1 【点评】 此题考查了圆周角定理、等边三角形

21、的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方 程的解法此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 引例 3.解：连接EP，DP，过 P点作 PM 垂直 DE 于点 M，过 O 做 OFAC 与 F，连接 AO，如图，BAC=60 ， DPE=120 PE=PD， PMDE， EPM=60 ， ED=2EM=2EP ?sin60 =EP=PA当 P 与 A、O 共线时，且在O 点右侧时， P 直径 最大 O 与 BAC 两边均相切，且BAC=60 ， OAF=30 ，OF=1， AO=2，AP=2+1=3 ， DE=PA=3故答案为：D。 【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解

22、题的关键是找出DE 与 AP 之间的关 系，再解决切线的性质来解决问题本题属于中等难度题，难点在于找到DE 与半径 AP 之 间的关系，只有找到DE 与 AP 之间的关系，才能说明当A、O、P 三点共线时DE 最大 引例 3 图 例一、斜率运用 【考点】切线的性质；坐标与图形性质【专题】探究型 【分析】设m+n=k ，则点 P（m，n）在直线x+y=k 上，易得直线y=x+k 与 y 轴的交点坐 标为（ 0，k） ，于是可判断当直线y=x+k 与 A 在上方相切时，k 的值最大； 直线 y=x+k 与 x 轴交于点 C，切 A 于 P，作 PDx 轴于 D，AEPD 于 E，连接 AB，如图，

23、则 C（ k， 0） ，利用直线y=x+k 的性质易得PCD=45 ，则 PCD 为等腰直角三角形，接着根据切 线长定理和切线的性质得AB OB，APPC，AP=AB=1 ，CP=CB=k+2 ，所以四边形ABDE 为矩形，APE=45 ， 则 DE=AB=1 ， PE=AP=， 所以 PD=PE+DE=+1， 然后在 RtPCD 中，利用 PC=PD 得到 2+k=（+1） ，解得 k=1，从而得到n+m 的最大值为 1 【解答】解：设m+n=k ，则点 P（m，n）在直线x+y=k 上，当 x=0 时， y=k，即直线y= x+k 与 y 轴的交点坐标为（0， k） ，所以当直线y=x+k

24、 与 A 在上方相切时，k 的值最大， 第 9 页 共 21 页 直线 y=x+k 与 x 轴交于点C，切 A 于 P，作 PDx 轴于 D， AEPD 于 E，连接 AB， 如图， 当 y=0 时， x+k=0 ，解得 x=k ，则 C（k，0） ，直线y=x+k 为直线 y=x 向上平移k 个单位得到，PCD=45 ， PCD 为等腰直角三角形，CP 和 OB 为 A 的切线， AB OB，APPC，AP=AB=1 ，CP=CB=k+2 ，四边形ABDE 为矩形， APE=45 ， DE=AB=1 ， APE 为等腰直角三角形，PE=AP=， PD=PE+DE=+1，在 RtPCD 中，

25、PC=PD， 2+k=（+1） ，解得 k=1， n+m 的最大值为1 【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径运用切线的性质来进行 计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题解 决本题的关键是确定直线y= x+k 与 A 相切时 n+m 的最大值 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点 1.解：作 AB 的中点 E，连接 EM、CE在直角 ABC 中，AB=5， E 是直角 ABC 斜边 AB 上的中点， CE=AB= M 是 BD 的中点， E 是 AB 的中 点， ME=AD=1 在 CEM 中，1 CM +1，即 CM 故答案是： C

26、M 2. （1）2 34 3CD； （2）22 13； 变式题： （2011?邯郸一模） 如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中， O 的直径 AB=5 ， AB 的不同侧有定点C 和动点 P，tan CAB=其运动过程是：点P 在弧 AB 上滑动，过 点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q （1）当 PC=时， CQ 与 O 相切；此时CQ= （2）当点 P 运动到与点C 关于 AB 对称时，求CQ 的长； （3）当点 P 运动到弧AB 的中点时，求CQ 的长 第 10 页 共 21 页 【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形 【专题】计算题 【分析】（1）当 CQ 为圆

27、O 的切线时， CQ 为圆 O 的切线，此时CP 为圆的直径，由CQ 垂 直于直径 CP，得到 CQ 为切线，即可得到CP 的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角 相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ 中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ 的 长； （2）当点 P 运动到与点C 关于 AB 对称时，如图1 所示，此时CPAB 于 D，由 AB 为圆 O 的直径，得到ACB 为直角，在直角三角形ACB 中，由 tanCAB 与 AB 的长，利用锐 角三角函数定义求出AC 与 BC 的长，再由三角形ABC 的面积由两直角边乘积的一半来求， 也利用由斜边乘以斜边上的高CD 的一半来求，求出CD

28、 的长，得到CP 的长，同弧所对的 圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tanCPB 的值，由 CP 的长即可求 出 CQ； （3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时， 如图 2 所示， 过点 B 作 BEPC 于点 E，由 P是弧 AB 的中点，得到PCB=45 ，得到三角形EBC 为等腰直角三角形，由CB 的长，求出CE 与 BE 的长，在直角三角形EBP 中，由 CPB=CAB ，得到 tanCPB=tan CAB ，利用三角 函数定义求出PE 的长，由CP+PE 求出 CP 的长，即可求出CQ 的长 【解答】解： （1）当 CP 过圆心 O，即 CP 为圆 O 的直径时，

29、CQ 与 O 相切，理由为： PCCQ，PC 为圆 O 的直径， CQ 为圆 O 的切线，此时PC=5； CAB= CPQ， tanCAB=tan CPQ= ， tanCPQ=，则 CQ=；故答案为：5； （2）当点 P 运动到与点C 关于 AB 对称时，如图1 所示，此时CPAB 于 D， 图 1图 2 又 AB 为 O 的直径， ACB=90 ， AB=5 ， tanCAB=， BC=4，AC=3 ， 又 SABC= AC ?BC=AB?CD， AC?BC=AB ?CD，即 3 4=5CD ， CD=， PC=2CD=， 在 RtPCQ 中，PCQ=90 ，CPQ=CAB ， CQ=PCt

30、anCPQ= PC，CQ=； 第 11 页 共 21 页 （3）当点 P 运动到弧AB 的中点时，如图2 所示，过点B 作 BEPC 于点 E， P 是弧 AB 的中点， PCB=45 ， CE=BE=2，又 CPB=CAB ， tanCPB=tanCAB=， PE=BE=， PC=CE+PE=2+=， 由（ 2）得， CQ=PC= 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直 角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 再变式： 如图 3 时， CQ最长。 图 3 例三、正弦定理 1.解：由垂线段的性质可知，当AD 为ABC 的边 BC 上的高

31、时，直径AD 最短， 如图，连接 OE， OF， 过 O 点作 OHEF， 垂足为 H， 在 RtADB 中， ABC=45 ， AB=2 AD=BD=2 ，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60 ，在 Rt EOH 中，EH=OE ?sinEOH=1=， 由垂径定理可知EF=2EH=， 故答案为： 例三 1 答图例三 2 答图 2.【考点】垂径定理；三角形中位线定理 【分析】当CDAB 时，PM 长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出 PM=OC，求 出 OC 长即可 【解答】解：法 ：如图：当CD AB 时， PM 长最大，连接OM，OC， CDAB ，C

32、P CD， CPAB ， M 为 CD 中点， OM 过 O， OMCD， OMC= PCD=CPO=90 ，四边形CPOM 是矩形， PM=OC ， O 直径 AB=8 ，半径OC=4，即 PM=4 ，故答案为：4 法 ：连接 CO，MO，根据 CPO=CM0=90 ，所以 C，M，O，P，四点共圆，且CO 为 直径 连接 PM，则 PM 为 E的一条弦， 当 PM 为直径时 PM 最大， 所以 PM=CO=4 时 PM 最大即 PMmax=4 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合 条件的 CD 的位置，题目比较好，但是有一定的难度 第 12 页

33、共 21 页 例四、柯西不等式、配方法 1.过 O 作 OEPD，垂足为E， PD 是 O 的弦， OEPD， PE=ED ， 又 CEO=ECA= OAC=90 ，四边形OACE 为矩形， CE=OA=2 ，又 PC=x， PE=ED=PC CE=x2， PD=2（ x2） ， CD=PC PD=x2（x2）=x2x+4=4 x， PD?CD=2（x2）?（4x）=2x2+12x 16=2（x3）2+2，2x4，当 x=3 时， PD?CD 的值最大，最大值是2 第 1 题答图第 2 题答图 2.解：如图，分别作A 与 B 角平分线，交点为P ACD 和 BCE 都是等边三角形，AP 与 B

34、P 为 CD、CE 垂直平分线 又圆心 O 在 CD、CE 垂直平分线上，则交点P与圆心 O 重合，即圆心O 是一个定点 连接 OC若半径OC 最短，则OCAB又 OAC= OBC=30 ，AB=4 ， OA=OB ， AC=BC=2 ，在直角 AOC 中， OC=AC ?tanOAC=2 tan30 =故选： B 3. 解： （ 1）线段 AB 长度的最小值为4，理由如下：连接OP， AB 切 O 于 P， OPAB，取 AB 的中点 C， AB=2OC ；当 OC=OP 时， OC 最短， 即 AB 最短，此时AB=4故答案为：4 （ 3 题答图） 例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹

35、角） 1. 求 CE 最小值，就是求半径OD 的最小值。 2. 4 33 3 OA； 3. 【考点】切线的性质 【专题】压轴题 【分析】因为PQ 为切线，所以OPQ 是 Rt又 OQ 为定值，所以当OP 最小时， PQ 最 小根据垂线段最短，知OP=3 时 PQ 最小根据勾股定理得出结论即可 第 13 页 共 21 页 【解答】 解：PQ 切 O 于点 Q， OQP=90 ，PQ 2=OP2OQ2，而 OQ=2，PQ2=OP2 4，即 PQ=，当 OP 最小时， PQ 最小，点O 到直线 l 的距离为3， OP 的最 小值为 3， PQ 的最小值为=故选 B 【点评】 此题综合考查了切线的性质

36、及垂线段最短等知识点，如何确定 PQ 最小时点 P 的位 置是解题的关键，难度中等偏上 例五、其他几何知识的运用 1. 解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式得：，解得： 抛物线得解析式为y=x 26x+4 （2）如图所示： 设点 P 的坐标为P（m，m26m+4） ，平行四边形的面积为30， SCBP=15，即： SCBP=S梯形CEDPSCEBSPBD m（5+m 26m+4+1） 5 5（m5） （m26m+5）=15 化简得： m25m6=0，解得： m=6，或 m=1 m 0，点 P 的坐标为（ 6，4） （3）连接 AB、EB AE 是圆的直径，ABE=90 ABE=

37、MBN 又 EAB= EMB ， EAB NMB A（1，1） ，B（5， 1） ，点 O1的横坐标 为 3， 将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4，点 C 的坐标为（ 0，4） 设点 O1的坐标为（ 3，m） ， O1C=O1A， ，解得： m=2，点 O1的坐标为（ 3， 2） ， O1A= ，在 RtABE 中，由勾股定理得： BE=6，点 E 的坐标为（ 5，5） AB=4 ，BE=6 EAB NMB ， NB= 当 MB 为直径时， MB 最大，此时 NB 最大 MB=AE=2，NB=3 2. 【考点】圆的综合题 【专题】综合题 【分析】（1）连接 OP，设 CD 与 x 轴交于

38、点F要证 PE 与 O 相切，只需证OPE=90 ， 只需证 OPB+EPD=90 ，由 OP=OB 可得 OPB=OBP=FBD，只需证 EPD=EDP， 只需证 EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题 第 14 页 共 21 页 （2） 连接 OE， 由于 PE=CD， 要求线段 CD 长的最小值， 只需求 PE长的最小值， 在 RtOPE 中， OP 已知，只需求出OE 的最小值就可 （3）设 O 与 y 轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点 E 的纵坐标越来越小，而点P 在点 Q 时，点 E 的纵坐标为1，由此就可得到

39、m 的范围 【解答】解： （1）直线 PE 与 O 相切 证明：连接OP，设 CD 与 x 轴交于点 F AB 是 O 的直径，APB= CPD=90 E 为 CD 的中点， PE=CE=DE=CD， EPD=EDP OP=OB， OPB=OBP=DBF DBF+ EDB=90 ， OPB+EPD= OPE=90 ， EPOP OP 为 O 的半径， PE 是 O 的切线 （2） 连接 OE， OPE=90 ， OP=1， PE2=OE 2OP2=OE21 当 OECD 时， OE=OF=2 ， 此时 OE 最短， PE2最小值为3，即 PE 最小值为， PE=CD，线段CD 长的最小 值为

40、2 （3）设 O 与 y 轴的正半轴的交点为Q， 由图可知：点P 从点 Q 向点 B 运动的过程中，点E 的纵坐标越来越小，当点P 在点 Q 时， 由 PEOP 可得点 E 的纵坐标为1点 P 是圆上第一象限内的一个动点，m 的范围为m 1 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、 勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE 的最小值转化为求OE 的最小值是解决第（2）小题 的关键 【题型训练】 1. 解：连接OB如图 1， AB 切 O 于 B，OA AC ， OBA= OAC=90 ， OBP+ABP=90 ， ACP+ APC=90 ， OP=OB， O

41、BP=OPB， OPB=APC， ACP=ABC ， AB=AC ，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作 OE MN ，如图 2， OE=AC=AB=，又圆O 与直线 MN 有交点， OE= r， 2r，即： 100r 2 4r2， r2 20， r 2 OA=10， 直线 l 与 O 相离， r10， 2 r10故答案为： 2 r10 第 15 页 共 21 页 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾 股定理， 直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能 力本题综合性比较强，有一定的难度 2.原题：（2004?无锡）已知

42、：如图，RtABC 中， B=90 ， A=30 ，BC=6cm 点 O 从 A 点出发，沿AB 以每秒cm 的速度向B 点方向运动，当点O 运动了 t 秒（ t0）时，以 O 点为圆心的圆与边AC 相切于点 D，与边 AB 相交于 E、 F 两点过E 作 EGDE 交射线 BC 于 G （1）若 E 与 B 不重合，问t 为何值时， BEG 与 DEG 相似？ （2）问：当 t 在什么范围内时，点G 在线段 BC 上？当 t 在什么范围内时，点G 在线段 BC 的延长线上？ （3）当点 G 在线段 BC 上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG 的面积 S（cm2）关于 时间 t（秒）的函

43、数关系式，并问点O 运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？ 【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定 【专题】综合题；压轴题；分类讨论 【分析】 （1）连接 OD，DF 那么 ODAC ，则 AOD=60 ，AED=30 由于 DEG=90 ， 因此 BEG=60 ，因此本题可分两种情况进行讨论： 当 EDG=60 ，DGE=30 时，BGD= BGE+EGD=60 这样 BGD 和 ACB 相等， 那么 G 和 C 重合 当 DGE=60 时，可在直角 AOD 中，根据 A 的度数和AO 的长表示出AD 的长， 也就 能表示出 CD 的长，由于 A= AED=30 ，那么 A

44、D=DE ，可在直角 DEG 中，用 AD 的长 表示出 DG，进而根据DG AB 得出的关于CD，AD ，DG，AB 的比例关系式即可求出此 时 t 的值 （2）本题可先求出BG 的表达式，然后令BGBC，即可得出G 在 BC 延长线上时t 的取 值范围 （3）由于四边形CGED 不是规则的四边形，因此其面积可用ABC 的面积 ADE 的面积 BEG 的面积来求得在前两问中已经求得AD ，AE，BE，BG 的表达式，那么就不难得 第 16 页 共 21 页 出这三个三角形的面积据此可求出S，t 的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值 范围即可求出S 的最大值及对应的t 的值 【解答】 解：

45、 （1） 连接 OD， DFAC 切 O 于点 D， ODAC在 RtOAD 中，A=30 ， OA=t， OD=OF=t，AD=OA ?cosA=又 FOD=90 30 =60 ， AED=30 ， AD=ED= DEEG， BEG=60 ， BEG 与 DEG 相似 B=GED=90 ， 当 EGD=30 ，CE=2BE=2 （6t）则 BGD=60 =ACB ，此时 G 与 C 重合， DE=AD ，CD=12 ， BE=6t， BEG DEC，=， =，t=； 当 EGD=60 DGBC， DGAB 在 Rt DEG 中，DEG=90 ，DE=，DG=t 在 RtABC 中， A=30 ，BC=6 ， AC=12，AB=6， CD=12 DGAB ， 解得 t=答：当t 为或时， BEG 与 EGD 相似； （2）AC 切 O 于点 D，ODAC在 Rt OAD 中，A=30 ，OA=t， AED=30 ， DEEG， BEG=60 在 Rt ABC 中， B=90 ， A=30 ， BC=6， AB=6， BE=6tRt BEG 中， BEG=60 ， BG=BE ?tan60 =18t当 0 18t 6， 即 t 4 时，点 G 在线段 BC 上；当 18t6，即 0t时，点 G 在线段