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1、第 1 页 共 6 页 数学中考专题复习 : 圆的综合题 1如图， ABC 中，以 BC 为直径的圆交AB 于点 D， ACD=ABC （1）求证： CA 是圆的切线； （2）若点 E 是 BC 上一点，已知BE=6， tanABC= 3 2 ，tanAEC= 3 5 ，求圆的直径 2. 如图右，已知直线PA交 0 于 A、B两点， AE是 0 的直径点C为 0 上一点，且AC 平分 PAE ，过 C作 CD PA ，垂足为D 。 (1) 求证： CD为 0 的切线； (2) 若 DC+DA=6 ， 0 的直径为l0 ，求 AB的长度 . 1. (1)证明：连接OC, 点 C在 0 上， 0A
2、=OC, OCA= OAC ， CD PA ， CDA=90 ， 有 CAD+ DCA=90 ， AC平分 PAE ， DAC= CAO 。 DC0= DCA+ ACO= DCA+ CAO= DCA+ DAC=90 。 又点 C在 O上， OC为 0 的半径， CD为 0 的切线 (2) 解：过 0 作 0FAB ，垂足为F， OCA= CDA= OFD=90 ， 四边形OCDF 为矩形， 0C=FD ， OF=CD. DC+DA=6 ，设 AD=x ，则 OF=CD=6-x ， O的直 径为 10， DF=OC=5 ， AF=5-x， 在Rt AOF 中 ， 由 勾 股 定 理 得 222
3、AF +OF =OA. 即 22 (5)(6)25xx， 化 简 得 ： 2 11180xx 解得2x或9x。由 ADDF ，知05x，故2x。 从而 AD=2, AF=5-2=3. OF AB ，由垂径定理知，F 为 AB的中点， AB=2AF=6. 3 （已知四边形ABCD 是边长为4 的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上 的动点（不与点A、B 重合） ，连接 PA、PB、PC、PD (1)如图，当PA 的长度等于时， PAB60； 当 PA的长度等于时， PAD 是等腰三角形； (2)如图，以AB 边所在直线为x 轴、 AD 边所在直线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标
4、系（点A 即为原点O） ，把 PAD、 PAB、PBC 的面积分别记为S1、S2、S3坐标为 （ a，b） ， 第 2 页 共 6 页 试求 2 S1 S3S2 2 的最大值，并求出此时a，b 的值 4、 第 3 页 共 6 页 5 如图， BD 是 O 的直径， OA OB，M 是劣弧 AB 上一点，过点M 点作 O 的切线 MP 交 OA 的延长线于P 点， MD 与 OA 交于 N 点 （1）求证： PMPN； （2）若 BD4，PA 3 2 AO，过点 B 作 BCMP 交 O 于 C 点，求 BC 的长 第 4 页 共 6 页 6 （如图，点P为 ABC的内心，延长AP交 ABC的外
5、接圆于D，在 AC延长线上有一点E， 满足 AD 2 AB AE ，求证： DE是 O的切线 . （证明：连结DO ， AD 2 AB AE， BAD DAE ， BAD DAE ， ADB E. 又 ADB ACB ， ACB E，BC DE ， 又 OD BC ， OD DE ，故 DE是 O的切线） 7如图， 以线段AB为直径的O交线段AC于点E，点M是 AE 的中点，OM交AC于 点D，60BOE， 1 cos 2 C，2 3BC （1）求A的度数； （2）求证：BC是O的切线； （3）求MD的长度 （解： （ 1）BOE=60A 1 2 BOE 30 （2）在ABC中 1 cos 2
6、 CC=60 1 分又A 30 ABC=90ABBC 2 分BC是O的切线 （ 3）点M是 AE 的中点OMAE在Rt ABC中23BC AB=tan602 33BC6 OA= 3 2 AB OD= 1 2 OA 3 2 MD= 3 2 ） 8. 如图，已知 AB是 O的直径，点 C在 O上， 过点 C的直线与AB的延长线交于点P， AC=PC ， COB=2 PCB. （1）求证： PC是 O的切线；（2）求证： BC=2 1 AB ； O BA C E M D 第 5 页 共 6 页 （3）点 M是弧 AB的中点， CM交 AB于点 N，若 AB=4 ，求 MN MC 的值 . 解： （1
7、） OA=OC, A=ACO COB=2 A , COB=2 PCB A=ACO= PCB AB是 O的直径 ACO+ OCB=90 PCB+ OCB=90 , 即 OC CP OC是 O的半径PC是 O的切线 （2） PC=AC A= P A=ACO= PCB= P COB= A+ ACO, CBO= P+PCB CBO= COB BC=OC BC=2 1 AB (3)连接 MA,MB 点 M是弧 AB的中点弧 AM= 弧 BM ACM= BCM ACM= ABM BCM= ABM BMC= BMN MBN MCB BM MN MC BM BM 2=MC MN AB是 O的直径，弧AM= 弧
8、 BM AMB=90 ,AM=BM AB=4 BM= 22 MC MN=BM 2 =8 9. （本小题满分10 分）如图， O 是 RtABC 的外接圆， AB为直径，ABC=30，CD 是O 的切线， EDAB 于 F， (1)判断 DCE 的形状； (2)设 O 的半径为 1，且 OF= 2 13 ，求证 DCE OCB 解： (1) ABC=30 ， BAC=60 又 OA=OC, AOC 是正三角形 又 CD 是切线，OCD=90 ， DCE=180 -60 -90 =30 而 EDAB 于 F， CED=90 -BAC=30 故 CDE 为等腰三角形 (2)证明：在 ABC 中， A
9、B=2，AC=AO=1， BC= 22 12=3 OF= 2 13 ,AF=AO+OF= 2 13 又 AEF=30 ,A E=2AF=3+1 CE=AE-AC=3=BC 而OCB =ACB - ACO =90- 60=30= ABC , 故CDE COB . 10、如图 14，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于 ED，连接ECCD， （1）求证：直线AB是O的切线； （2）试猜想BCBDBE，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若 1 tan 2 CED，O的半径为3，求OA的长 （1）证明：如图3，连接OCOAOB，CACB，OCAB AB是O的切线 （2） 2 BCBD BEED是直径，90ECD90EEDC 第 6 题图 A B D E O F C