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1、第 1 页 共 12 页 专题10综合型问题 题型特征：综合型试题是将所学的知识在一定的背景下进行优化组合，找到解决问题 的方案， 在解决问题的时候所用到的知识不再是单一的知识点，而是相关的知识，可能同时 用到方程、 函数，也有可能是三角形与多边形，也有可能是相关学科的知识，这类题目对学 生综合能力的要求较高，同时这类题目有相对新颖的背静环境，数学综合题是初中数学中覆 盖面最广、综合性最强的题型 解题思路： 解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学综合题中所隐含的重 要的转化思想、 数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等， 要结合实际问题加以领会 与掌握，这是学习解综合题
2、的关键 具体策略： 类型之一代数类型的综合题 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题主要包括方程、 函 数、不等式等内容， 用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、 数形结合思想以及代人法、 待定系数法等 解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活 运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破 类型之二几何类型的综合题 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的 能力， 对数学知识、 数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力解决 几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机
3、融合起来，进行分 析、推理，从而达到解决问题的目的 类型之三几何与代数相结合的综合题 几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型. 它可以包含初中阶段 所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关 问题； 它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方 程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等. 它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知 识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联 系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查 学生知识网络化、
4、创新意识和实践能力. 代数综合题 【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有 一定难度的题目. 数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题; 以几何知识为主体的 综合题 ; 代数、几何知识相结合的综合题. 以代数知识为主体的综合题, 简称代数综合题, 是指以代数知识为主的或以代数变形技 巧为主的一类综合题. “分析探求思路, 优化实施解答 , 反思验证结论”是解代数综合题的基 本过程 , 在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想. 代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我 , 我中有你” , 因此不易将它们作十分明显的 分类 . 为了
5、复习方便, 我们将其分为: 方程不等式型、函数型. 【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合. 解题时一般用分析综合法 解, 认真读题找准突破口, 仔细分析各个已知条件, 进行转化 , 发挥条件整体作用进行解题. 解 题时 , 计算不能出差错, 思维要宽 , 考虑问题要全面. 类型一方程不等式型 第 2 页 共 12 页 x 2-x-1=0, x2=x+1. 则原式 =1. 【提醒】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简, 由已知一元二次方程解出x 的值 , 再把 x 的值代入进行计算即可. 举一反三 1. 已知 m,n,k 为非负实数 , 且 m-k+1=2k+n=1, 则代数
6、式2k 2-8k+6 的最小值为 ( ). A. -2 B. 0 C. 2 D. 2.5 2. 若 -2x m-ny2 与 3x 4y2m+n是同类项 , 则 m-3n的立方根是 . 类型二函数型 典例 2如图 , 矩形 OABC 的顶点 A(2,0),C(0,2). 将矩形 OABC 绕点 O逆时针旋转30, 得 矩形 OEFG, 线段 GE,FO相交于点H,平行于 y 轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO和 x 轴于点 M,P,N,D, 连接 MH. (1) 若抛物线l:y=ax 2+bx+c 经过 G,O,E 三点 , 则它的表达式为 : ; (2) 如果四边形OHMN 为平行四边形,
7、求点 D的坐标 ; (3) 在(1)(2)的条件下 , 直线 MN与抛物线l 交于点 R,动点 Q在抛物线l 上且在 R,E 两点之间 ( 不含点 R,E) 运动 , 设 PQH的面积为S,当时, 确定点 Q的横坐标的取值范围. (1) 【全解】 (1)如图 (1), 过点 G作 GICO于点 I, 过点 E作 EJ CO于点 J, A(2,0),C(0,2), OE=OA=2,OG=OC=2. GOI=30 ,JOE=90 - GOI=90 - 30=60, G(-,3),E(,1). 设抛物线表达式为y=ax 2+bx+c, 经过 G,O,E 三点 , 第 3 页 共 12 页 (2)(3
8、) 第 4 页 共 12 页 【技法梳理】 (1) 求表达式一般采用待定系数法, 通过函数上的点满足方程求出. (2) 平行四边形对边平行且相等, 恰得 MN 为 OF,即为中位线 , 进而横坐标易得,D 为 x轴上 的点 , 所以纵坐标为0. (3) 已知 S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键 . 由 PH不为平行于x 轴或 y 轴的线段 , 所 以考虑利用过动点的平行于y 轴的直线切三角形为2 个三角形的常规方法来解题, 此法底为 两点纵坐标得差, 高为横坐标的差, 进而可表示出S,但要注意 , 当 Q在 O点右边时 , 所求三角 形为两三角形的差. 得表达式再代入, 求解不等式即可.
9、另要注意求解出结果后 要考虑 Q本身在 R,E 之间的限制 . 举一反三 类型二 3. 现有 A,B 两种商品 ,买 2 件 A商品和 1 件 B商品用了90 元, 买 3 件 A商品和 2 件 B商品用 了 160 元. (1) 求 A,B 两种商品每件各是多少元? (2) 如果小亮准备购买A,B 两种商品共10 件, 总费用不超过350 元, 但不低于 300 元,问有几 种购买方案 , 哪种方案费用最低? 4. 如图 , 抛物线与 x 轴交于 A,B 两点 ( 点 A在点 B的左侧 ), 与 y 轴交于点C, 顶点为 D. (1) 求点 A,B,D 的坐标 ; (2) 连接 CD,过原点
10、 O作 OE CD,垂足为点 H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接 AE,AD,求证 : AEO= ADC; (3) 以(2) 中的点 E为圆心 ,1 为半径画圆 , 在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点 P作 E 的切线 , 切点为 Q,当 PQ的长最小时 , 求点 P的坐标 , 并直接写出点Q的坐标 . 【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象, 直角三角形及坐标系中三角形 面积的表示等知识点. 注意其中“利用过动点的平行于y 轴的直线切三角形为2 个三角形的 第 5 页 共 12 页 常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点, 需要加强理解运用. 课后精练： 类型一 1.
11、若, 则(x+y) 2015 等于 ( ). A. -1 B. 1 C. 3 2015 D. -3 2015 2. 若 a+b=2,ab=2, 则的值为 ( ).A. 6 B. 1 C. 3 D. 2 3. 若 -2a m b 4 与 5a n+2 可以合并成一项, 则 m n 的值是 ( ). A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 4. 先化简, 再从不等式2x-37的正整数解中选一个使原式有意义的数代 入求值 . 5. 先化简 ,再求值 :, 其中 x 满足 x 2-4x+3=0. 类型二 6. 如图 , ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数 在第一象限内的图象与ABC有交点 , 则 k 的取值范围是( ). ( 第 6 题) 当 AOC=90 时 ,|k 1|=|k2|; 若 OABC 是菱形 , 则两双曲线既关于x 轴对称 , 也关于 y 轴对称 . 其中正确的结论是( 把所有正确的结论的序号都填上). ( 第 8 题)