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1、第 1 页 共 11 页 中考数学压轴题专项训练 1. （本题满分12 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分4 分，第（ 3）小题满分5 分） 如图，已知抛物线 2 yxbxc经过01A，、43B，两点 . （1）求抛物线的解析式； （2 求tanABO的值； （3）过点B 作 BCx轴，垂足为点C，点 M 是抛物线上一点， 直线 MN 平行于y轴交直线 AB于点 N，如果 M、N、B、C为顶点 的四边形是平行四边形，求点N 的坐标 . 1.解： （1）将 A（0，-1） 、B（4，-3）分别代入 2 yxbxc 得 1, 1643 c bc ， （1 分） 解，得 9 ,1 2
2、bc (1 分) 所以抛物线的解析式为 2 9 1 2 yxx （1 分） （2）过点 B 作 BCx轴，垂足为C，过点 A 作 AHOB，垂足为点H （ 1 分） 在Rt AOH中，OA=1， 4 sinsin, 5 AOHOBC（1 分） 4 sin 5 AHOAAOH， 322 , 55 OHBHOBOH， （1 分） 在Rt ABH中， 4222 tan 5511 AH ABO BH （1 分） (3)直线 AB 的解析式为 1 1 2 yx，（1 分） 设点 M 的坐标为 29 (,1) 2 m mm，点 N 坐标为 1 (,1) 2 mm 那么 MN= 22 91 (1)(1)4
3、22 mmmmm；（1 分） M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=3 解方程 2 4mm=3 得27m；（1 分） 解方程 2 43mm得1m或3m；（1 分） A B x y o （第 24 题图） 第 2 页 共 11 页 所以符合题意的点N 有 4 个 7735 (27,2),(27,2),(1,),(3,) 2222 （1 分） 2. （本题满分14 分，第（ 1）小题满分4 分，第（ 2）小题满分5 分，第（ 3）小题满分5 分） 在 RtABC中， ACB = 90 ，经过点B的直线 l（l 不与直线AB重合）与直线BC的夹 角等于 ABC ，分别过点C、点 A
4、作直线 l 的垂线，垂足分别为点D、点 E （1）如图 1，当点 E与点 B 重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直 线 AB的位置关系并说明理由； （2）如图 2，当点 E在 DB 延长线上时，求证：AE=2CD； （3）记直线CE与直线 AB 相交于点F，若 5 6 CF EF ，CD = 4，求 BD 的长 2.解： （1）过点 C作 CF AB，垂足为点F. （1 分） AED=90， ABC=CBD， ABC=CBD =45， ACB =90， ABC=45， AE=4， CF=2， BC=2 2，（1 分） 又 CBD =ABC=45， CDl， CD=2， （
5、1 分） CD=CF=2，圆 C与直线 AB 相切 .（1 分） （2）证明：延长AC交直线 l 于点 G（1 分） ACB = 90 ， ABC =GBC ， BAC =BGC AB = GB（1 分） AC = GC （1 分） AEl，CDl， AE CD A C D B(E) l （第 25题图 1） （第 25 题图 2） A C D E l B 第 3 页 共 11 页 1 2 CDGC AEGA （1 分） AE = 2CD （1 分） （3） （I）如图 1，当点 E在 DB 延长线上时： 过点 C作 CGl 交 AB于点 H，交 AE于点 G，则 CBD =HCB ABC =
6、CBD， ABC =HCB CH = BH（ 1 分） ACB = 90 ， ABC +BAC =HCB +HCA = 90 BAC =HCA CH = AH = BH CGl， 5 6 CHCF BEEF 设 CH = 5x，则 BE = 6x，AB = 10x 在 RtABE中， 22 8AEABBEx 由（ 2）知 AE = 2CD = 8，88x，得1x CH = 5， BE = 6， AB = 10 CGl， 1 2 HGAH BEAB ， HG=3（1 分） CG = CH + HG = 8 易证四边形CDEG是矩形， DE = CG = 8 2BDDEBE（1 分） （II）如图
7、 2，当点 E在 DB 上时： 同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3（1 分） 2DECGCHHG BD=DE + BE = 8（1 分） 综上所述， BD 的长为 2 或 8 3已知点A（2， 2）和点 B（ 4，n）在抛物线 y=ax 2（a 0）上 （1）求 a的值及点B 的坐标； （2）点 P在y轴上，且 ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标； （3）将抛物线y=ax 2（a 0）向右并向下平移，记平移后点 A 的对应点为A，点 B 的对应 点为 B，若四边形ABB A 为正方形，求此时抛物线的表达式 （第 25 题图 1） A C D E l G B H F B
8、（第 25题图 2） A C D l G E H F 第 4 页 共 11 页 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移 【分析】（1）把点 A（2， 2）代入 y=ax 2，得到 a，再把点 B 代入抛物线解析式即可解决 问题 （2）求出直线AB 解析式，再分别求出过点A 垂直于 AB 的直线的解析式，过点B 垂直于 直线 AB 的解析式即可解决问题 （3）先求出点A 坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题 【解答】解： （1）把点 A（2， 2）代入 y=ax2，得到 a=， 抛物线为y=x2， x=4 时， y=8， 点 B 坐标（ 4， 8） ， a
9、=，点 B 坐标（ 4， 8） （2）设直线AB 为 y=kx+b ，则有，解得， 直线 AB 为 y=x 4， 过点 B 垂直 AB 的直线为 y=x 12，与 y 轴交于点P（0， 12） ， 过点 A 垂直 AB 的直线为 y=x，与 y 轴交于点P（ 0，0） ， 点 P 在 y 轴上，且 ABP 是以 AB 为直角边的三角形时点P 坐标为（ 0，0） ，或（ 0， 12） （3）如图四边形ABB A是正方形，过点A 作 y 轴的垂线，过点B、点 A作 x 轴的垂线得 到点 E、F 直线 AB 解析式为y=x12， ABF ，AA E 都是等腰直角三角形， AB=AA =6 ， AE=
10、A E=6， 点 A坐标为（ 8， 8） ， 点 A 到点 A 是向右平移6 个单位，向下平移6 个单位得到， 抛物线y= x2的顶点（ 0，0） ，向右平移6 个单位，向下平移6 个单位得到（ 6， 6） ， 此时抛物线为y=（ x6） 26 第 5 页 共 11 页 4已知， AB=5 ，tanABM= ，点 C、D、 E 为动点，其中点C、D 在射线 BM 上（点 C 在 点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线BA 的两侧， 且 AC=AD ，AB=AE ，CAD= BAE （1）当点 C 与点 B 重合时（如图1） ，联结 ED，求 ED 的长； （2）当 EABM 时（如图2
11、） ，求四边形AEBD 的面积； （3）联结 CE，当 ACE 是等腰三角形时，求点B、C 间的距离 【考点】三角形综合题 【分析】 （1）如图 1 中，延长 BA 交 DE 于 F，作 AH BD 于 H，先证明 BFDE，EF=DF ， 再利用 ABHDBF，得 = ，求出 DF即可解决问题 （2）先证明四边形ADBE 是平行四边形，根据S 平行四边形ADBE=BD ?AH ，计算即可 （3）由题意 AC AE，EC AC，只有 EA=EC ，利用四点共圆先证明四边形ADBE 是平行四 边形，求出DH 、CH 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，延长BA 交 DE 于 F，作 AH BD 于 H