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1、第 1 页 共 27 页 第 21 章不定方程 21.1 二元一次不定方程 21.1.1求不定方程2xy的正整数解 解析因为 312，422， 532 ，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 2, , xn yn 其中 n可以取一切正整数 21.1.2求 11157xy的整数解 解析 1将方程变形得 715 11 y x 因为 x是整数，所以715y 应是 11 的倍数由观察得 0 2x， 0 1y是这个方程的一组整 数解， 所以方程的解为 215 , 111 , xt yt t为整数 解析 2先考察 11151xy，通过观察易得 1141531， 所以 11471537 7 ， 可取 0
2、28x， 0 21y从而 2815 , 2111 , xt yt t为整数 评注如果 a 、 b 是互质的整数，c 是整数，且方程 axbyc 有一组整数解 0 x 、 0 y 则此方程的一切整数解可以表示为 0 0 , , xxbt yyat 其中0t， 1， 2， 3， 21.1.3求方程 62290xy的非负整数解 解析因为 (6，22)=2，所以方程两边同除以2得 31145xy 由观察知， 1 4x， 1 1y是方程 第 2 页 共 27 页 3111xy 的一组整数解，从而方程的一组整数解为 0 0 454180, 45145, x y 所以方程的一切整数解为 18011 , 45
3、3. xt yt 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 180110, 4530. t t 由于t是整数，由、得15t16，所以只有t15，t16 两种可能 当t15 时， x15，0y；当t16 时， x4，y3所以原方程的非负整数解是 15, 0, x y 4, 3. x y 21.1.4求方程 719213xy 的所有正整数解 解析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步 缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解 用方程 719213xy 的最小系数7 除方程的各项，并移项得 213 1935 302 77 yy xy 因为 x、y是整数，故 3
4、5 7 y u也是整数，于是有573yu再用 5 除此式的两边得 3732 55 uu yu 令 32 5 u v(整数 )，由此得 253uv 由观察知1u，1v是方程的一组解 将1u代入得2y2y代入得x =25 于 是方程有一组解 0 25x， 0 2y，所以它的一切解为 2519 , 27 . xt yt 0, 1, 2,t 由于要求方程的正整数解，所以 25190, 270. t t 第 3 页 共 27 页 解不等式，得t只能取 0，1因此得原方程的正整数解为 25, 2, x y 6, 9. x y 21.1.5求方程 3710725xy的整数解 解析因为 10723733 ，
5、371334 ， 33841 为用 37 和 107 表示 1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33-8 4=37-4-8 4=37-9 4 =37-9(37-33)=9 33-837 =9 (107-237)-8 37=9107-2637 =37(-26)+107 9, 由此可知 1 26x， 1 9y是方程 371071xy的一组整数解于是 02526650x , 0 259225y 是方程 3710725xy的一组整数解所以原方程的一切整数解为 650107 , 22537 , xt yt t是整数 21.1.6求方程 92451000xyz的整数解 解析设 9243xyt ，即 3
6、8xyt ，于是 351000tz原方程可化为 38, 351000. xyt tz 用前面的方法可以求得的解为 38 , 3 , xtu ytu u 是整数 的解为 20005 , 10003 , tv zv v 是整数 消去t，得 6000815 , 200035 , 10003 , xuv yuv zv ,u v是整数 21.1.7求方程 23723xyz 的整数解 解析设 23xyt ，则 23, 723. xyt tz 对于， 0 x t ， 0 yt 是一组特解，从而的整数解为 第 4 页 共 27 页 3 , 2 , xtu ytu u是整数 又 0 2t， 0 3z是方程的一组
7、特解，于是的整数解为 3, 27 , zv tv v 是整数 所以，原方程的整数解为 273 , 272 , 3. xvu yvu zv u 、 v 是整数 21.1.8求方程组 57952, 35736 xyz xyz 的正整数解 解析消去 z ，得210zy 易知 0 4x， 0 2y是它的一组特解，从而的整数解为 4, 22 , xt yt t是整数 代入原方程组，得所有整数解为 4, 22 , 2. xt yt zt t是整数 由0x，0y，0z得 12t， 所以t0，1，故原方程组的正整数解为 4, 2, 2; x y z 3, 4, 1. x y z 21.1.9求方程 35130
8、6xy的正整数解的组数 解析因为 1306 51 4352 33 yy xy，所以 0 x437 ， 0 1y是一组特解于是方程 的整数 解为 4375 , 13 . xt yt t是整数 由 43750, 130. t t 第 5 页 共 27 页 得 1437 35 t. 所以t1，2， 87故原不定方程有87 组正整数解 21.1.10某国硬币有5 分和 7分两种， 问用这两种硬币支付142 分货款， 有多少种不同的 方法 ? 解析设需 x 枚 7 分，y枚 5 分恰好支付142 分，于是 75142xy 所以 142722 28 55 xx yx 由于 7x 142，所以 x 20，并
9、且由上式知5| 21x因为 (5， 2)=1，所以 5|1x，从而 x1，6， 11，16的非负整数解为 1,6,11,16, 27;20;13;6. xxxx yyyy 所以，共有4 种不同的支付方式 评注当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往 往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程 21.1.11今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100 个钱买100 只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只? 解析设公鸡、母鸡、小鸡各买x、y、 z 只，由题意列方程组 1 53100, 3 100. xyz xyz 化简得 159300xyz. -得 148200,xy 即 74100.xy 解 7 41xy得 1, 2. x y 于是 74100xy 的一个特解为 0 0 100, 200. x y 所以 74100xy 的所 有整 数解为 1004 , 2007 , xt yt t是整数 由题意知，0x ，y，100z，所以， 01004100, 02007100. t t 解得 2550, 24 1428. 77 t t