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1、第 1 页共 5 页 专题复习三二次函数图象与方程、不等式 数形结合是用二次函数解方程及不等式的重要思想方法，其关键在于读懂图象，由图象的交 点坐标来解方程，由图象的上下关系来确定不等式的解. 1.二次函数y=ax 2+bx+c(a0)的图象如图所示，则当函数值 y 0 时， x 的取值范围是 (D). A.x -1 B.x 3 C.-1x3 D.x-1 或 x3 (第 1 题) (第 2题) (第 3 题) 2.二次函数y=ax 2+bx+c(a0，a，b，c 为常数 )的图象如图所示，则 ax 2+bx+c=m 有实数根的 条件是 (A). A.m-2 B.m5 C.m0 D.m4 3.一
2、组二次函数y=x 2+3x-5 的自变量 x 与函数值y 的对应值如下表所示： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x 2+3x-5=0 的一个近似根是 (C). A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 4.借助于二次函数y=(x+2)(x-3) 的图象，我们知道不等式(x+2)(x-3) 0 的实数解是 -2x3. 请类比反向分析：当不等式ax2+bx+c0(a0)对于任意实数 x 都成立时，其对应二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象可能是下图中的 (D). A. B. C. D. 5.若直线y=m(m 为常数 )与函数
3、y= 2 4 2 2 x x xx 的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取 值范围是0m2 ( 第 6 题) 6. 根据如图所示的函数图象， 可得不等式 ax 2+bx+c x k 的解为 x -3 或 0x 2或 x3 7. 在平面直角坐标系中，二次函数y1=ax 2+bx+c(a0) 与一次函数 y2=ax+c 的图象交于A,B 两 第 2 页共 5 页 点， 已知点 B的横坐标为2，当 y1y2时 ，自变量 x 的取值范围是 0 x2 8. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b，c 是常数 ，a0)， 给出下列说法 ： 若 b 2-4ac=0 ，则抛物线 的顶点一定在x 轴上 ；
4、若 a-b+c=0 ， 则抛物线必过点(-1 ，0) ； 若 a0，且一元二次方 程 ax 2+bx+c=0 有两根 x1，x2(x1 x2) ，则 ax2+bx+c0 的解集为 x1x x2； 若 b=3a+c3， 则方程 ax 2+bx+c=0 有一根为 3其中正确的是 ( 填序号 ) ( 第 9 题) 9. 如图所示 ，抛物线 y=3 (x+1) 2 的顶点为点C ，与 y 轴的交点为点A，过点 A作 y 轴的垂 线， 交抛物线于另一点B (1) 求直线 AC的函数表达式 . (2) 求ABC的面积 . (3) 当自变量x 满足什么条件时，抛物线对应的函数值大于直线AC对应的函数值 ？
5、【答案 】(1)y=3x+3. (2) 顶点坐标为 （-1 ，0） ， 对称轴为直线x=- 1. AB y轴， 点 A，B关于对称轴对称， 点 B的坐标为 （ -2，3）. AB=2.S ABC= 2 1 23=3. (3)x -1 或 x0. 10. 抛物线 y=ax 2 与直线 x=1， x=2，y=1，y=2 围成的正方形有公共点， 则 a 的取值范围是 ( D). A. 4 1 a1 B. 2 1 a2 C. 2 1 a1 D. 4 1 a 2 11. 如图所示 ，直线 y=x 与抛物线y=x 2-x-3 交于 A ，B 两点 ，点 P是抛物线上的一个动点， 过点 P作直线 PQ x轴
6、交直线y=x 于点 Q ，设点 P的横坐标为m ，则线段 PQ的长度随m的增 大而减小时m的取值范围是( D). A.m-1 或 m 2 1 B.m-1 或 2 1 m 3 C.m-1 或 m 3 D.m-1 或 1m 3 第 3 页共 5 页 ( 第 11 题) ( 第 12 题) ( 第 13题) 12. 如图所示为函数y=x 2+bx-1 的图象 ，根据图象提供的信息 ，确定使 -1y2 的自变量x 的取值范围是2x3 或-1 x0 13. 如图所示 ，已知抛物线y1=-x 2+1，直线 y 2=-x+1 ，当 x 任取一值时 ，x 对应的函数值分别 为 y1， y2. 若 y1y2，
7、取 y1， y2中的较小值记为M ；若 y1=y2，记 M=y1=y2. 例如 ：当 x=2 时， y1=-3 ， y2=-1，y1y2，此时 M=-3. 下列判断 ：当 x0 时，M=y1； 当 x0 时，M随 x 的增大而增 大； 使得 M1的 x 值不存在 ； 使得 M= 2 1 的 x 值是 - 2 2 或 2 1 . 其中正确的是 ( 填 序号 ). 14. 对于满足0 p4 的一切实数 ， 不等式 x 2+px4x+p-3 恒成立 ， 则实数 x 的取值范围是 x 3 或 x-1 15. 已知二次函数y1=a(x-2) 2+k 中，函数 y 1与自变量 x 的部分对应值如下表所示：
8、 x 1 2 3 4 y 2 1 2 5 (1) 求该二次函数的表达式. (2) 将该函数的图象向左平移2 个单位 ，得到二次函数y2的图象 ，分别在 y1，y2的图象上取 点 A(m， n1),B(m+1 ，n2) ，试比较 n1与 n2的大小 . 【答案 】(1) 从表格看 ，二次函数的顶点为(2 ，1) ，则 k=1，把 (1 ，2)代入 y1=a(x-2) 2+1 得 2=a(1-2) 2+1，解得 a=1. 二次函数的表达式为 y1=(x-2) 2+1. (2) 由题意得y2=(x-2+2) 2+1=x2 +1，把 A(m ， n1) ，B(m+1，n2) 分别代入y1，y2的表达式
9、得 ， n1=(m-2) 2+1=m2-4m+5，n2=(m+1)2+1=m2+2m+2 ，n1-n2=(m2-4m+5)-(m2 +2m+2)=-6m+3，若-6m+3 0，则 m 2 1 ；若-6m+30，则 m 2 1 . 当 m 2 1 时，n1-n20，即 n1n2；当 m= 2 1 时 ， n1-n2=0，即 n1=n2；当 m 2 1 时， n1-n20，即 n1n2. 16. 已知抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A(-2 ，0). (1) 填空 ：c= 2b-4 ( 用含 b 的式子表示 ). (2)b 4. 第 4 页共 5 页 求证 ：抛物线与x 轴有两个交点
10、. 设抛物线与x 轴的另一个交点为B，线段 AB上恰有 5 个整点 ( 横坐标 、纵坐标都是整数的 点) ，直接写出b 的取值范围 ： -1 b0 . (3) 直线 y=x-4 经过抛物线y=x 2+bx+c 的顶点 P，求抛物线的函数表达式 . 【答案 】(1)2b-4 (2) 当 b4 时，=b 2- 41c=b2-4(2b-4)=(b-4)2，b 4， =(b -4)2 0. 当 b4 时， 抛物线与x 轴有两个交点. 由题意得 - 2 9 - 2 b -4 或 0- 2 b 2 1 ，解得 8 b9 或-1 b0. b 4， -1b0. 故答案为 -1b0. (3) 由 y=x 2+b
11、x+c=x2+bx+2b-4=(x+ 2 b ) 2-( 2 b -2) 2， 顶点 P- 2 b ，-( 2 b -2 ) 2. 将其代入 y=x-4 中，得 -（ 2 b -2 ） 2=- 2 b -4 ，解得 b=0 或 10. 抛物线的函数表达式为y=x 2-4 或 y=x2+10x+16. 17. 【朝阳 】 若函数 y=(m-1)x 2-6x+ 2 3 m的图象与x 轴有且只有一个交点，则 m的值为 ( C). A.-2 或 3 B.-2或-3 C.1或-2 或 3 D.1或-2 或-3 18. 【武汉 】 已知关于 x 的二次函数y=ax 2+(a2-1)x-a 的图象与x 轴的
12、一个交点的坐标为(m， 0). 若 2m 3， 则 a 的取值范围是 3 1 a 2 1 或 -3a -2 . 【解析 】y=ax 2+(a2-1)x-a=(ax-1)(x+a) ， 当 y=0 时，x1= a 1 ，x2=- a. 抛物线与x 轴的 交点为（ a 1 ，0）和 (-a ，0). 抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(m， 0) 且 2m 3， 当 a0 时，2 a 1 3，解得 3 1 a 2 1 ；当 a0 时，2-a 3，解得 -3 a-2. 19. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b，c 为实数且 a0) 满足条件 ：对任意实数x 都有 y2x, 且当 0 x2
13、时， 总有 y 2 1 (x+1) 2 成立 求 ： (1)a+b+c 的值 . (2)a-b+c的取值范围 【答案 】(1) 对任意实数x 都有 y2x， 当 x=1 时，y2. 当 0x2 时，总有 y 2 1 第 5 页共 5 页 (x+1) 2 成立 ，当 x=1 时，y2. 当 x=1 时 ，y=2. a+b+c=2. (2) ax 2+bx+c 2x 对任意实数 x 都成立 ， ax 2+（ b-2 ） x+c 0 对任意实数 x 都成 立. =(b -2) 2-4ac 0，且 a0.a+b+c=2,=(a+c)2-4ac=(a-c)20. a=c,b=2 -2a. ax 2+bx+c 2 1 （x+1） 2，把 c=a，b=2-2a 代入可得 （a- 2 1 ）x 2-2 （a- 2 1 ） x+a- 2 1 0. （a- 2 1 ） （ x-1 ） 20. a 2 1 . a的取值范围是0 a 2 1 . a -b+c=4a-2 ， -2 a-b+c 0.