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1、第 1 页 全等三角形判定二（SSS ） （基础） 【学习目标】 1理解和掌握全等三角形判定方法“边边边”； 2能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 3. 探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 【要点梳理】 要点一、全等三角形判定“边边边” 全等三角形判定“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等. （可以简写成“边边边”或“SSS ” ） . 要点诠释： 如图，如果A BAB ，A CAC ，B CBC ，则 ABC A B C. 要点二、判定方法的选择 1. 选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件可
2、选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS 要点三、如何选择三角形证全等 1. 可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等 的三角形中，可以证这两个三角形全等； 2. 可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 3. 由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4. 如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、 相似图形、圆等图形性质的有力工具，是
3、解决与线段、角相关问题的一个出发点. 运用全等 三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何 问题 . 可以适当总结证明方法. 1 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质 . 2 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等 . 3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全
4、等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4 辅助线的添加: (1) 作公共边可构造全等三角形； 第 2 页 (2) 倍长中线法； (3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4) 利用截长 ( 或补短 ) 法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （ 1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （ 2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （ 3）如果现有图形中的任何两个
5、三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定“边边边” 1、 （2019?武汉模拟） 如图， 在 ABC和 DCB中，AB=DC ，AC=DB ，求证： ABC DCB 【思路点拨】直接利用全等三角形的判定方法：SSS可证明 【答案与解析】 证明：在 ABC和 DCB中， ABC DCB （SSS ） 【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、 对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所 在的两个三角形全等，综合应
6、用全等三角形的性质和判定. 举一反三： 【高清课堂：379109 全等三角形的判定（一）同步练习6】 【变式】已知：如图，AD BC ，ACBD.试证明： CAD DBC. 【答案】 证明：连接DC ， 在ACD与BDC中 ACD BDC （ SSS ） CAD DBC （全等三角形对应角相等） 类型二、全等三角形性质和判定综合应用 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置， 图 2 是由它抽象出的几何 图形， B，C，E在同一条直线上，连结DC (1) 请找出图2 中的全等三角形，并给予证明 （说明： 结论中不得含有未标识的字母）； (2) 证明： DC BE . 【思路点拨】
7、 ABE与 ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明 ABE 第 3 页 ACD ；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直. 【答案与解析】 解： （1） ABE ACD 证明：BAC EAD 90 BAC CAE EAD CAE 即 BAE CAD 又AB AC ，AE AD ， ABE ACD （SAS ） （2）由（ 1）得 BEA CDA, 又COE AOD BEA COE CDA AOD 90 则有 DCE 180 90 90， 所以 DC BE. 【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待ABE 与 ACD ，后一个三角形是前一个三角 形绕着 A点逆时针旋转90得到的
8、，对应边的夹角等于旋转的角度90，即 DC BE. 3、如图， AE 、CP分别是钝角三角形ABC （ ABC 90）的高，在CP上截取 CD=AB ， 在 AE的延长线上截取AQ=BC ，连接 BD 、BQ （1）写出图中BD 、BQ所在的三角形； （2）结合条件CD=AB ，通过一组三角形全等，证明BD=BQ ； （3）求证： BD BQ 【思路点拨】（1） 写也含有BD 、BQ的三角形即可；（2） 根据已知利用SAS判定 ABQ CDB ， 根据全等三角形的对应边相等，即可求得BD=BQ ； （3）根据全等三角形的对应角相等，可得 到 1=2， 3=4，又因为CP是 ABC的高，可推出B
9、Q BD 【答案与解析】 解： （1） BDC ， BDP ， QBE ， QAB ； （2）AE 、CP分别是 ABC的高 ABE= CBP 1=2 在 ABQ和 CDB中 ABQ CDB （ SAS ） BD=BQ （3） ABQ CDB ， 1=2， 3=4， 第 4 页 5=6 QBD= 6+PBD= 5+PBD= PBD+ 4+2 CPAB PBD+ 4+2=90 BQ BD 【总结升华】 此题考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用本题考查三角形全等 的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SAS、ASA 、AAS 、SSS 举一反三： 【变式】如图，已知：AE AB ，
10、ADAC ，AB AC ， B C ，求证： BD CE. 【答案】 证明： AE AB ， AD AC ， EAB DAC 90 EAB DAE DAC DAE ，即 DAB EAC. 在 DAB与 EAC中， DAB EAC （ASA ） BD CE. 类型三、全等三角形判定的实际应用 4、 “三月三，放风筝” 下图是小明制作的风筝，他根据DE DF，EH FH，不用度量， 就知道 DEH DFH 请你用所学的知识证明 【答案与解析】 证明：在 DEH和 DFH中， DEH DFH(SSS) DEH DFH 【总结升华】 证明 DEH DFH ，就可以得到DEH DFH ，我们要善于从实际问题中抽离 出来数学模型，这道题用“SSS ”定理就能解决问题. 举一反三： 【变式】（2019 秋?兰州期末）如图，点D为码头， A， B两个灯塔与码头的距离相等，DA ， DB为海岸线一轮船离开码头，计划沿 ADB的角平分线航行，在航行途中C点处， 测得轮 船与灯塔A和灯塔 B的距离相等试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由 【答案】 解：此时轮船没有偏离航线 理由：由题意知：DA=DB ，AC=BC ， 在 ADC和 BDC中， ADC BDC （SSS ） ， ADC= BDC ， 即 DC为 ADB的角平分线， 此时轮船没有偏离航线