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1、1 对数与对数函数 最新考纲 1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画 底数为 2,10，1 2的对数函数的图象； 3体会对数函数是一类重要的函数模型； 4了解指数函数 ya x(a0，且 a1)与对数函数 ylog ax(a0，且 a1)互为 反函数 . 知 识 梳 理 1对数的概念 如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN， 其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数
2、的性质 几个恒等式 (M，N，a，b 都是正数，且 a，b1) N；logaaNN；logbN logaN logab； n m logab；logab 1 logba，推广 logab logbc logcdlogad. (2)对数的运算法则 (a0，且 a1，M0，N0) loga(M N)logaMlogaN； logaM N logaMlogaN； logaM nnlog aM(nR)； loga n M1 nlogaM. 3对数函数的图象与性质 a10a1 2 图象 性质 (1)定义域： (0， ) (2)值域： R (3)过点(1,0)，即 x1 时，y0 (4)当 x1 时，y0
3、 当 0x1 时，y0 (5)当 x1 时，y0 当 0x1 时，y0 (6)在(0， )上是增函数 (7)在(0，)上是减函 数 辨 析 感 悟 1对数运算的辨析 (1)( 浙江卷改编 )已知 x，y 为正实数， 2 lg xlg y2lg x2lg y，2lg(xy)2lg x 2lg y， 2 lg x lg y2lg x2lg y，2lg(xy)2lg x 2lg y，以上四个式子错误的是 .() (2)( 中山调研改编 )若 log4log3(log2x)0，则 2 4 .() 2对数函数的理解 (3)( 吉林调研改编 )函数 ylog3(2 x4)的定义域为 (2， )() (4)
4、对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点 (1,0)，且过点 (a,1)， 1 a，1 ， 函数图象只在第一、四象限() (5)( 长沙模拟改编 )函数 ylogax(a0，且 a1)在2,4上的最大值与最小值的差 是 1，则 a2.() (6)log2x 22log 2x.() 感悟 提升 三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不 等于 1； 二是对公式要熟记，防止混用； 三是对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0a1 和 a1 分类 3 讨论，否则易出错 . 考点一对数的运算 例 1 (1) 1log63 2log 62 log618 l
5、og64 的值是 _ (2)已知函数 f(x)满足：当 x4 时，f(x) 1 2 x；当 x4 时，f(x)f(x1)则 f(2 log23)() A. 1 24 B. 1 12 C.1 8 D.3 8 (1)解析原式 12log63 log63 2log 6 6 3 log6 63 log64 12log63 log63 2 1log 63 1log63 log64 12log63 log63 21 log 63 2 log64 2 1log63 2log62 log 66log63 log62 log 62 log621. 答案(1)1(2)A 规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运算
6、把底数或真数进行变形，化成分数 指数幂的形式， 使幂的底数最简， 然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中 要注意化同底或指数与对数互化 (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、 4 证明常用的技巧 训练 1 (1)已知 loga2m，loga3n，则 a2m n_. (2)lg 25lg 2 lg 50(lg 2) 2_. 解析(1)am2，an3， a 2mn ()a m 2 an22312. (2)原式 (lg 2) 2(1lg 5)lg 2lg 52 (lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 5 2(lg 2lg 5)2. 答案(
7、1)12(2)2 考点二对数函数的图象及其应用 例 2 ( 新课标全国卷 )当 0x 1 2时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是 () A. 0， 2 2 B. 2 2 ，1C(1，2) D(2，2) 审题路线在同一坐标系下作出两个函数y4x与 ylogax 的图象 ? 画函数 y logax 的图象可考虑两种情况： a1 和 0a1? 观察图象，当 a1 时不符合题 意舍去，所以只画出 0a1 的情形 ? 观察图象的交点 1 2，2 满足条件：loga 1 2 2 即可 解析由题意得，当 0a1 时，要使得 4xlogax 0x 1 2 ，即当 0x1 2时， 函数 y4 x 的图象
8、 在函数 ylogax图象的下方 又当 x1 2时， 2，即函数 y4x的图象过点 1 2，2 ，把点 1 2，2 代入函数 ylogax， 得 a 2 2 ，若函数 y4 x 的图象在函数 ylogax 图象的下方，则需 2 2 a1(如 图所示 ) 当 a1 时，不符合题意，舍去 5 所以实数 a 的取值范围是 2 2 ，1. 答案B 规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数 形结合法求解 训练 2 ( 石家庄二模 )设方程 10x|lg(x)|的两个根分别为 x1，x2，则() Ax1x20 Bx1x21 Cx1x21 D0x1x21 解析构造函数 y10x与
9、 y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示 答案D 考点三对数函数的性质及其应用 例 3 (1)( 新课标全国卷 )设 alog36，blog510，clog714，则() AcbaBbca CacbDabc (2)设函数 f(x) log2x，x0， log 1 2 x ，x0. 若 f(a)f(a)， 则实数 a的取值范围是 () A(1,0)(0,1) B (， 1)(1， ) C(1,0)(1， ) D(， 1) 6 (0,1) 解析(1)alog361log32，blog5101log52，clog7141log72，则只 要比较 log32，log52，log72 的大小即可，
10、在同一坐标系中作出函数ylog3x，y log5x，ylog7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知abc. (2)由题意可得 a0， log2alog2a 或 a0， log 1 2 a log2a ， 解得 a1 或1a0. 答案(1)D(2)C 规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利 用对数函数的单调性来求解 在利用单调性时， 一定要明确底数a 的取值对函数 增减性的影响，及真数必须为正的限制条件 【训练 3】 (1)( 郑州模拟 )若 x( 1 e ，1)，aln x，b 1 2 ln x，c eln x，则 a， b，c 的大小关系为 () Acba
11、Bbca CabcDbac (2)函数 f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则 a 的取值范围是 () A(1， ) B(0,1) C. 0，1 3 解析(1)依题意得 aln x(1,0)，b 1 2 ln x(1,2)，cx(e1,1)，因此 bc a. (2)由于 a0，且 a1，uax3 为增函数， 若函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau 必为增函数，因此a1，又 uax3 在 1,3上恒为正， a30，即 a3. 答案(1)B(2)D (1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、 7 伸缩、对称变换得到 特别地，要注意底数 a1 和
12、0a1 的两种不同情况 有 些复杂的问题， 借助于函数图象来解决， 就变得简单了， 这是数形结合思想的重 要体现 (2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同 底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决 教你审题 2巧用对数函数图象解题 审题一审条件 ? ：转化函数 y|log2x|为 y log2x，x1， log2x，0x1. 得到图象，如图 二审条件 ? ：见上图 三审条件 ? ：转化为 a 是 A，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是 B，D 两点横坐 标之差的绝对值 A，B 的横坐标即是方程 |log2x|m的解， C，D 的横坐标即是
13、 方程|log2x| 8 2m1的解，求出 A，B，C，D 点的横坐标 四审问题 ? ：把 b a转化为关于 m 的函数，利用导数或不等式求解即可 解析数形结合可知A，C 点的横坐标在区间 (0,1)上，B，D 点的横坐标在区间 8 (1， )上， 而且 xC x A与 xB x D同号， 所以 b a |xBxD| |xC x A| xBxD xC x A.根据已知 |log2xA| m， 即log2xAm， 所以 xA2 m.同理可得 x C， xB2 m， x D， 所以 b a . 只要求出 8 2m1m 的最小值即可 法一构造函数 g(m) 8 2m1m， 则 g(m) 16 2m1
14、 21 2m5 2m3 2m1 2， 由于 m0，显然可得 g(m)在(0，)上有唯一的极小值点，也是最小值点m 3 2，故 g(m)min g 3 2 7 2，即 b a的最小值为 8 2. 法二 8 2m1m 4 m 1 2 m 4 m1 2 m1 2 1 24 1 2 7 2，当且仅当 4 m1 2 m 1 2，即 m 3 2时等号成立，故 b a的最小值为 8 2. 答案B 反思感悟 (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变 换的应用； (2)本题是以函数图象为载体，AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度用坐标表示是解决 问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难
15、度稍大 【自主体验】 已知函数 f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线 ya(a0)与这三个函数的交 点的横坐标分别是x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是 _ 解析分别作出三个函数的图象，如图所示： 由图可知， x2x3x1. 9 答案x2x3x1 基础巩固题组 (建议用时： 40 分钟) 一、选择题 1如果 1 2 log x 1 2 log y0，那么() Ayx1 Bxy1 C1xyD1yx 解析 1 2 log x 1 2 log ylog1 21，又 y 1 2 log x 是(0，)上的减函数， x y1. 答案D 2( 深圳调研 )设 f(x)
16、为定义在 R 上的奇函数，当x0时，f(x)log3(1 x)，则 f(2)() A1 B3 C1 D3 解析f(2)f(2) log331. 答案A 3( 宣城二模 )若 aln 26 4 ，bln 2ln 3，cln 2 4 ，则 a，b，c 的大小关 系是() AabcBcab CcbaDbac 10 解析ln 6ln 1，ac，排除 B，C；bln 2 ln 3 ln 2ln 3 2 2ln 26 4 a，排除 D. 答案A 4若函数 g(x)log3(ax 22x1)有最大值 1，则实数 a 的值等于 () A. 1 2 B.1 4 C 1 4 D4 解析令 h(x)ax22x1，由
17、于函数 g(x)log3h(x)是递增函数，所以要使函数 g(x)log3(ax 22x1)有最大值 1，应使 h(x)ax22x1 有最大值 3，因此有 a0， 44a0， 4a4 4a 3， 解得 a 1 4，此即为实数 a 的值 答案C 5已知 f(x)loga(3a)xa是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是 () A(0,1) B(1,3) C(0,1)(1,3) D(3， ) 解析记 u(3a)xa， 当 1a3 时，ylogau在(0，)上为增函数， u(3a)xa 在其定义域内为增函数， 此时 f(x)在其定义域内为增函数，符合要求 当 a3 时，ylogau 在其定义域内
18、为增函数， 而 u(3a)xa 在其定义域内为减函数， 此时 f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求 当 0a1 时，同理可知 f(x)在其定义域内是减函数，不符合题目要求故选B. 答案B 二、填空题 6函数 y1 2 log (3xa)的定义域是 2 3， ，则 a_. 11 解析要使函数有意义，则3xa0，即 x a 3， a 3 2 3，a2. 答案2 7已知 f(x) 2a 2，x2， logax 21 ，x2， 且 f(2)1，则 f(1)_. 解析f(2)loga(221)loga31， a3，f(1)23 218. 答案18 8( 深圳中学模拟 )定义在 R 上的奇函数 f(x
19、)，当 x(0，)时，f(x)log2x， 则不等式 f(x)1 的解集是 _ 解析当 x(，0)时，则 x(0，)， 所以 f(x)f(x)log2(x) f(x) log2x，x0， 0，0， log2x ，x0， 由 f(x)1，得 x0， log2x1 或 x0， 01 或 x0， log2x 1， 解得 0x1 2或 x2. 答案x|0x1 2，或x2 三、解答题 9已知 f(x)log4(4 x1) (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)求 f(x)在区间 1 2，2 上的值域 解(1)由 4 x10 解得 x0， 因此 f(x)的定义域为 (0， )
20、 (2)设 0x1x2，则 04x114x21， 12 因此 log4(4x11)log4(4x21)，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(0， )上递增 (3)f(x)在区间 1 2，2 上递增，又 f 1 2 0，f(2)log415， 因此 f(x)在 1 2，2 上的值域为 0，log415 10已知函数 f(x)log1 2 ax2 x1 (a 为常数 ) (1)若常数 a0，当 02 a；当 a 2 a ； 当 a0 时，f(x)的定义域为 x 2 ax1 . (2)令 uax2 x1 ，因为 f(x) 1 2 log u 为减函数， 故要使 f(x)在(2,4)上是减函数， 只
21、 需 u(x)ax2 x1 aa2 x1在(2,4)上单调递增且为正 故由 a20， u 2 2a2 21 0， 得 1a2.故 a1,2) 能力提升题组 (建议用时： 25 分钟) 一、选择题 1( 河南洛阳二模 )如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交 点，那么称这个点为“好点”下列四个点P1(1,1)，P2(1,2)，P3 1 2， 1 2 ，P4(2,2) 中，“好点”的个数为() A1 B2 13 C3 D4 解析设指数函数和对数函数分别为yax(a0， a1)， ylogbx(b0， b1) 若 为“好点”， 则 P1(1,1)在 yax的图象上， 得 a1 与 a0，且
22、 a1 矛盾； P2(1,2)显然不在 ylogbx 的图象上； P3 1 2， 1 2 在 yax，ylogbx 的图象上时， a 1 4，b 1 4； 易得 P4(2,2)也为“好点” 答案B 2定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且 x(1,0)时， f(x)2 x1 5，则 f(log220) () A1 B.4 5 C1 D 4 5 解析由 f(x2)f(x2)，得 f(x)f(x4)，因为 4log2205，所以 f(log220) f(log2204)f(4log220)f(log24 5)( 1 5)1. 答案C 二、填空题 3 如果函数
23、 yf(x)图象上任意一点的坐标 (x， y)都满足方程 lg(xy)lg xlg y， 那么 yf(x)在2,4上的最小值是 _ 解析由 lg(xy)lg xlg y， 得 x0，y0， xyxy， 由 xyxy得 yf(x) x x1 x11 x1 1 1 x1(x1)则函数 f(x)在(1，)上单调递减，所以 yf(x)在2,4 上的最小值是 f(4)1 1 41 4 3. 答案 4 3 14 三、解答题 4已知函数 f(x)xlog21x 1x. (1)求 f 1 2 014 f 1 2 014 的值； (2)当 x(a，a，其中 a(0,1)，a 是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存 在，求出 f(x)的最小值；若不存在，请说明理由 解(1)由 f(x)f(x)log21x 1xlog 21x 1x log210. f 1 2 014 f 1 2 014 0. (2)f(x)的定义域为 (1,1)， f(x)xlog2(1 2 x1)， 当 x1x2且 x1，x2(1,1)时，f(x)为减函数， 当 a(0,1)，x(a，a时 f(x)单调递减， 当 xa 时，f(x)minalog21a 1a.