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1、第 1 页 共 10 页 指数指数函数 【重点难点解析】 1本单元的知识结构 2指数概念由特殊乘法运算定义，是乘法运算的发展，是人类探索化简运算的过程中， 创造并发展的数学知识；它由正整数指数开始，到负整数指数、零指数，再到分式指数(根 式)，最后到实数指数 3指数运算的特点是强概念性及性质使用而弱计算性，所以指数的运算性质及方根表 示既是重点也是难点 4指数函数的概念及性质是重点，指数函数的值域易被忽视而成为难点 【考点】 1指数运算一般结合其他知识在应用中进行考查 2根式及方根运算与指数函数的图象和性质，几乎每年高考都要涉及 【典型热点考题】 例 1 完成下列计算： (1) 3 3 )3(
2、；(2) 4 4 )2(； (3) 1 )25(；(4) 5 p； (5) 3 2 ) 8 3 3(；(6) 2 3 ) 900 1 ( 思路分析 运算时， 一般将根式化为分指数，运用指数运算性质进行化简计算，但要注意的是分指 数的运算实质是方根的化简，必须依照方根运算的要求进行，即注意根指数(分指数的分母) 的奇偶性来决定结果，一般偶次方根化简时尤须注意 解： 第 2 页 共 10 页 (1) 3 1 3 3 3 )3()3( 3 1 3 3 3 1 3 3 3 (2) 4 1 444 )2()2( 4 1 4 2 2 (3) 25 1 )25( 1 )25)(25( 25 25 (4) 2
3、 1 55 )p(p 2 1 14 )pp( 2 1 2 pp pp 2 (5) 3 2 3 2 ) 8 27 () 8 3 3( 3 2 1 ) 27 8 ( 3 2 ) 27 8 ( 2 3 1 3 ) 3 2 ( 2 ) 3 2 ( 9 4 第 3 页 共 10 页 (6) 2 3 1 2 3 )900() 900 1 ( 2 3 900 2 3 2 )30( 3 30 27000 例 2 化简下列各式： (1) 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )ba()ba2ba(； (2) 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 bbaa ba ba ba
4、 思路分析 多项式的乘法公式，本质上给出的是多项式的次数与它的因式的次数间的关系(当然也 有多项式中的运算及形式的关系)，引入分指数的概念后，这种公式的本质并未改变，只不 过由于指数形式的复杂，使它们指数间的倍比关系较难判断清楚，因此就给如何应用公式分 解因式并化简带来了困难，只要抓住多项式及根式化简的通法、通性， 这些难题不会造成困 难 解： (1) 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )ba()ba2ba( 3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 )ba(ba2)b()a( 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ba)ba( 2 1 2
5、 1 2 1 2 1 ba|ba| 当 ab0 时，ba 2 1 2 1 2 1 2 1 baba原式 )ba(2 2 1 2 1 )ba(2 当 ba0 时，ab 第 4 页 共 10 页 2 1 2 1 2 1 2 1 baab原式 0 (2)解法一： 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 bbaa ba ba ba 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 )b(ba)a( )b()a( ba )b()a( 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3
6、 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 )b(ba)a( )b(ba)a)(ba( ba )ba)(ba( 3 1 3 1 3 1 3 1 baba 3 1 b2 3 b 2 b b 2 32 解法二： 设ma 3 1 ，nb 3 1 133 bnam， 2 3 2 2 2 3 nbma， 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 bbaa ba ba ba 22 3322 nmnm nm nm nm mn (mn) 2n 3 1 b2 第 5 页 共 10 页 b b 2 32 点评不要认为设辅助未知数只是一种可有可无的运算技巧，其实设辅助未知数是对数
7、 学问题的 “层次性” 的深刻认识的表现，是把复杂问题转化为两个或多个基本问题的重要的 分析思维的具体表达 例 3 化简下列各式： (1) 5 2 9 32 3 2 10)10()8( ； (2) 3 5 3 5 5 3 x x x x x x ； (3) 433 34 32 xxx xxx 思路分析 用根式计算时，必须将根式化为同次根式才能进行乘、除、幂的计算，若式子中有重根 式(根号套根号 )的形式，化同次根式更难更容易出错；如果逐层将根号处理为分指数，再用 指数的运算性质运算既简捷又方便 解： (1) 5 2 9 32 3 2 10)10()8( 2 1 5 2 9 3 1 2 3 2
8、2 1 3 )10()10()2( 2 5 2 9 3 1 2) 3 2 ( 2 1 3 10102 2 5 31 10102 2 1 10 2 1 2 10 (2) 3 5 3 5 5 3 x x x x x x 2 1 3 1 5 1 3 1 5 1 2 1 5 1 2 1 3 1 ) x x () x x () x x ( 第 6 页 共 10 页 6 1 10 15 1 6 10 1 15 x x x x x x 1 (3) 433 3 432 xxx xxx 4 3 1 2 1 3 3 4 1 2 3 2 xxx xxx 4 3 1 2 3 3 3 4 1 2 5 2 )x(x )x
9、(x 4 1 2 1 3 3 1 8 5 2 )x( )x( 4 1 2 7 3 1 8 21 x x 8 7 8 7 x x 1 点评重根式化简只需作13 个题，通过具体演算达到了解方法的目的即可 例 4 求下列函数的定义域和值域： (1) 2x 3y； (2) x 1 ) 2 1 (y 思路分析 因为一般指数函数 x ay(a0 且 a 1)的定义域是一切实数，值域是(0， )，所以复 杂的与指数函数有关的定义域、值域问题， 主要考虑与自变量有关的代数式的运算限制和取 值范围，就可以解出定义域；但值域问题一方面考虑指数函数的单调性，同时必须兼顾“指 数函数”的值域是(0， ) 第 7 页
10、共 10 页 解： (1)2x02x 函数 2x 3y的定义域是 2， ) x2， )时， x20 02x 31，以 3 为底数的指数函数是增函数 133y 02x 函数 2x 3y的值域是 1， ) (2) x 1 中 x 0 函数 x 1 ) 2 1 (y的定义域是 x|x 0 且 xR x0 时，0 x 1 1) 2 1 () 2 1 ( 0 x 1 ，而0) 2 1 ( x 1 函数 x 1 ) 2 1 (y的值域是 y|y0 且 y1 例 5 求下列关于x 的不等式的解集 (1)16 2xx2 ； (2)a0 且 a1 时， 22 ax2x ) a 1 (a 思路分析 因为不等式中的变量x 在指数部分，所以这类不等式(称指数不等式)的解法是：利用指 数函数的单调性， 将各不等式先转化为一般的一元一次不等式，一元二次不等式及不等式组 求解，由此看来，函数的单调性是用来处理与函数有关的量大小比较的有力工具 解： 61，则以 6 为底的指数函数是增函数 02xx 616 2 02xx 2 21 时，以 a 为底的指数函数是增函数 22 ax2x 0ax2x 22 0)a1(4a44 22 不等式的解集为R 当 01 时不等式的解集是R， 01 时， f(x) 也不是单调函数(请读者自己给出证明)