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1、第 1 页 共 11 页 高二下学期期中考试数学理试题(有答案 ) 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分,共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题意要求的。） 1、复数 z 满足 z(2+i)=2i1, 则复数 z 的实部与虚部之和为 A、1 B、-1 C、2 D、 3 2、设集合 30,0 1 xxB x x xA，那么“Am”是“Bm”的 A、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3、设随机变量X服从正态分布N（0，1） ，P(
2、X1)= p,则 P(X1)= A、p B、 1 p C、12p D、 2p 4、函数)23ln( xy上过点（ 1，0）的切线方程 A、1xy B 、33xy C 、1xy D 、13xy 5、若双曲线 1 16 3 2 22 p yx 的左焦 点在抛物线 pxy2 2 的准线上，则P的值为 A、 2 B、3 C、4 D、24 6、下列命题错误的是 （ A）命题“若lnx 0，则 x1”的逆否命题为“若x1，则 lnx 0” （ B） “x2”是“ 1 x 1 ，则p：xR，均有 sinx 1 （ D）若 pq 为假命题，则p，q 均为假命题 7、从 5 男 4 女中选 4 位代表，其中至少
3、有2 位男生，且至少有1 位女生，分别到四个不同的工厂调查，不 同的分派方法有 A 、100 种 B、400 种 C、4800 种 D、2400 种 8、椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的两顶点为( ,0),(0,)A aBb，且左焦点为F，FAB是以角 B为直角的 直角三角形，则椭圆的离心率e为（） A、 31 2 B、 51 2 C、 15 4 D、 31 4 9、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 左、右焦点分别为 21 FF 、，过点2F作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且 6 21F PF，则双曲线的渐近线方程为 第 2 页 共 11 页 A、xy 2
4、 2 B、xy2 C、xy 2 1 D、xy、 10、如图，一圆形纸片的圆心为O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把 纸片折叠使M与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设 CD与 OM交于点 P，则 点 P的轨迹是（） A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、圆 11、如图是函数 32 ( )f xxbxcxd的大致图象，则 22 12 xx等于 A、 2 3 B 、 4 3 C 、 8 3 D 、 16 9 12、定义在 R上函数 y=f(x)是减函数，且函数y=f(x-1)的图像关于（ 1，0）成中心对称，若s,t满足不等 式 f(s 2-2s) -f(2t-t2), 则当 1s4
5、 时， s t 的取值范围是（） A、 1 , 4 1 B、 1 , 4 1 C、 1 , 2 1 D、 1 , 2 1 二、填空题（ 本大题共4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分, 请把答 案填在题中横线上） 13、 dxxe x )2( 0 1 14、设随机变量的分布列为P(k)= k c 2 ,(k=1,2,3), 其中 c 为常数， 则 E. 15、若 1 (3) n x x 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含 3 x的项的系数为 16、已知 P是直线 3x+4y+8=0 上的动点， PA 、PB是圆 122 22 yxyx=0 的两切线， A、B是切点， C是圆心，那
6、么四边形PACB面积的最小值为. 三、解答题 ( 本大题共6 小题 , 共 70 分 , 解答题应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17、 （本小题满分10 分） 已 知0 ,1aa， 命 题:p函 数l og (1) a yx在(0,)上 单 调 递 减 ， 命 题:q曲 线 2 ( 23)1yxax与x轴交于不同的两点，若pq为假命题，pq为真命题， 求实数a的取值范 围。 18、 （本小题满分12 分） 若 n x x) 2 1 ( 4 的展开式中前三项系数成等差数列， 来源: 求： （1）展开式中含的一次幂的项；（ 2）展开式中所有的有理项 po M D c F -1 O x1 x
7、2 2 x y 第 3 页 共 11 页 （3）展开式中系数最大的项 19、 （本小题满分12 分） 如图，三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为2 的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3， D是 AC的中 点 （）求证：B1C平面 A1BD ； （）求二面角A1BD A的大小； （）求直线AB1与平面 A1BD所成的角的正弦值 20、 （本小题满分12 分） 高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 1 2 ， 该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （1）第 1 组做了 5 次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少
8、有3 次成功 的概率； （2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实 验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5 次，求第 二小组所做种子发芽实验的次数 X 的概率分布列和期望. 21、 （本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的离心率为 2 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线20xy相切 （）求椭圆 C的方程； （）若过点M(2 ， 0)的直线与椭圆C相交于两点,A B， 设P为椭圆上一点， 且满足OPtOBOA （O为坐标原点） ，当PBPA 2 5
9、3 时，求实数t取值范围 22、( 本小题满分12 分） 已知函数 1,ln 1, )( 23 xxa xcbxxx xf的图象过坐标原点O,且在点)1(, 1(f处的切线的 斜率是5. （）求实数cb、的值 ； （）求)(xf在区间2, 1上的最大值； ( ) 对任意给定的正实数a，曲线)(xfy上是否存在两点P 、Q ，使得POQ是以 O为直角顶点的直角三 角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？说明理由。 第 4 页 共 11 页 高二数学答案 一、 AABBC DDBBA DD 二、 13、e 14、 7 11 15、-405 16、22 17解：p为真：01a；,2 分；q为真： 5 2
10、 a 或 1 0 2 a,4 分 因为pq为假命题，pq为真命题，所以,p q命题一真一假 ,5 分 （1）当p真q假 01 1 1 15 2 22 a a a ,7 分 （2）当p假q真 1 5 15 20 22 a a aa或 ,9 分 综上，a的取值范围是 15 ,1)(,) 22 ,10 分 18 （ 1） 8 35x （2）T1 4 x；T5 8 35x ；T9 2 256 1 x （ 3） 4 7 2 5 74;73xTxT 199991919 3 )2.(19 19 20、解： （ 1）至少有 3 次发芽成功，即有3 次、 4 次、 5次发芽成功，所以所求概率 354555 55
11、5 1111 ()()( ) 2222 PCCC （2）X的概率分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 2 1 4 1 8 1 16 1 16 第 5 页 共 11 页 所以 1111131 ()12345 248161616 E X 21、解：（）由题意知 2 2 c e a ， 所以 222 2 22 1 2 cab e aa 即 22 2ab 2 分 又因为 2 1 1 1 b ，所以 2 2a， 2 1b 故椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （）由题意知直线 AB的斜率存在 . 设AB：(2)yk x， 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，( , )P x y
12、， 由 2 2 (2), 1. 2 yk x x y 得 2222 (1 2)8820kxk xk. 422 644(21)(82)0kkk， 2 1 2 k. 6 分 2 122 8 12 k xx k ， 2 122 82 12 k x x k . OPtOBOA， 1212 (,)( , )xxyyt x y， 2 12 2 8 (1 2) xxk x ttk ， 12 122 14 ()4 (12) yyk yk xxk tttk . 点P在椭圆上， 222 222222 (8)( 4 ) 22 (1 2)(1 2) kk tktk ， 222 16(1 2)ktk. 8 分 PBPA
13、 2 5 3 ， 2 12 2 5 1 3 kxx， 22 1212 20 (1)()4 9 kxxx x 42 2 222 648220 (1)4 (1 2)129 kk k kk ， 22 (41)(1413)0kk， 21 4 k. 10 分 211 42 k， 222 16(1 2)ktk， 2 2 22 168 8 1212 k t kk ， 2 6 2 3 t或 2 6 2 3 t， 22解：（）当 1x 时，cbxxxxf 23 )(，则bxxxf23)( 2 。 依题意得： 5) 1( 0)0( f f ，即 523 0 b c 解得0cb （）由（）知， 1,ln 1, )(
14、 23 xxa xxx xf 第 6 页 共 11 页 当11x时，) 3 2 (323)( 2 xxxxxf， 令0)(xf得 3 2 0xx或 当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表： x)0 ,1(0 ) 3 2 ,0( 3 2 )1 , 3 2 ( )(xf0 + 0 )(xf单调递减极小值单调递增极大值单调递减 又2)1(f， 27 4 ) 3 2 (f，0)0(f。)(xf在)1 ,1上的最大值为2. 当21x时, xaxfln)(.当0a时 , 0)(xf,)(xf最大值为0； 当0a时, )(xf在2 ,1 上单调递增。)(xf在2, 1最大值为2lna。 综上，当22
15、lna时，即 2ln 2 a时，)(xf在区间 2, 1 上的最大值为2； 当22lna时，即 2ln 2 a时，)(xf在区间2, 1上的最大值为2lna。 ()假设曲线)(xfy上存在两点P、Q 满足题设要求，则点P、Q 只能在 y 轴两侧。 不妨设)0)(,(ttftP，则),( 23 tttQ，显然1t POQ是以 O 为直角顶点的直角三角形，0OQOP 即0)( 232 tttft（ *） 若方程（ *）有解，存在满足题设要求的两点P、Q； 若方程（ *）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q. 若10t，则 23 )(tttf代入（ *）式得：0)( 23232 ttttt 即01
16、24 tt，而此方程无解，因此1t。此时tatfln)(， 代入（ * ）式得：0)(ln( 232 tttat即tt a ln)1( 1 （* ） 令xxxhln)1()()1(x，则01 1 ln)( x xxh )(xh在),1 上单调递增，1t0) 1()(hth,)(th的取值范围是),0(。 对于0a，方程（ * ）总有解，即方程（* ）总有解。 因此，对任意给定的正实数a，曲线)(xfy上存在两点P、Q，使得POQ是以 O 为直角顶点的直角 三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上。 第 7 页 共 11 页 第 8 页 共 11 页 （2）当 p假q真 1 5 15 20 22 a a aa或 ,9 分 综上，a的取值范围是 15 ,1)(,) 22 ,10 分