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1、荆州市 2011年初中升学考试 数学试题 （满分 120 分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本题共10 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3 分，共 30 分） 1 （ 2011 湖北荆州， 1，3 分）如有理数 2 1 的倒数是 A 2B2C 2 1 D 2 1 【答案】 A 2 （ 2011 湖北荆州， 2，3 分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是 A1B 2C3D4 第 2 题图 【答案】 C 3 （ 2011 湖北荆州， 3，3 分）将代数式14 2 xx化成qpx 2 )(的形式为 A3)2( 2 xB4)2( 2 xC5)2( 2 xD4)2( 2 x 【答案】 C 4
2、（ 2011 湖北荆州， 4， 3 分）如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成， 相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角尺的对应边长为 A8cm B20cmC3.2 cmD10cm 【答案】 B 5 （ 2011 湖北荆州， 5，3 分）有 13 位同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的 分数互不相同，共设7 个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否得 奖，在下列13 名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是 A众数B方差C中位数D平均数 【答案】 C 6 （ 2011 湖北荆州，6， 3 分）对于非零的两个实数a、b，规定 ab ba 11 ，
3、若 1) 1(1x，则x的值为 A 2 3 B 3 1 C 2 1 D 2 1 【答案】 D 7 （ 2011 湖北荆州， 7， 3分）如图， P 为线段 AB 上一点， AD 与 BC 交于 E， CPD A B，BC 交 PD 于 F， AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有 A1 对B2 对C3 对D4 对 G E A D B C P F 第 7 题图 【答案】 C 8 （ 2011 湖北荆州， 8， 3 分）在 ABC 中， A120， AB 4，AC2，则Bsin的值 是 A 14 75 B 5 3 C 7 21 D 14 21 【答案】 D 9 （2011 湖北荆州， 9，3
4、分）关于x的方程0) 1(2) 13( 2 axaax有两个不相等的 实根 1 x、 2 x，且有axxxx1 2211 ，则a的值是 A1B 1C1 或 1D2 【答案】 B 10 （2011 湖北荆州， 10，3 分）图是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图铺成了 一个 2 2的近似正方形，其中完整菱形共有5 个；若铺成3 3 的近似正方形图案， 其中完整菱形有13 个；铺成44 的近似正方形图案，其中完整的菱形有25 个；如 此下去，可铺成一个nn的近似正方形图案. 当得到完整的菱形共有181 个时，n的值 为 A7B8C9D10 【答案】 D 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分
5、，共 24 分） 11 （2011 湖北荆州， 11，4 分）已知xA2，B是多项式，在计算AB时，小马虎同学 把AB看成了AB，结果得xx 2 12 ，则AB. 【答案】xxx22 23 12 （2011 湖北荆州， 12，4 分）如图， O 是 ABC 的外接圆， CD 是直径， B40， 则 ACD 的度数是. O D A B C 第 12 题图 【答案】 50 13 （2011 湖北荆州， 13，4 分）若等式1)2 3 ( 0 x 成立，则x的取值范围是. 【答案】0x且12x 14（ 2011 湖北荆州， 14，4 分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm ，高为 5cm，
6、 若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm. 第 14 题图 【答案】 13 15 （2011 湖北荆州， 15，4 分）请将含60顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积 相等的六部分，用实线画出分割后的图形. 【答案】 答案不唯一，如 16（ 2011 湖北荆州， 16，4 分）如图，双曲线)0( 2 x x y经过四边形OABC 的顶点 A、 C， ABC 90， OC 平分 OA 与x轴正半轴的夹角，ABx轴，将 ABC 沿 AC 翻折后 得到 ABC，B点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是. 【答案】 2 三、解答题（共66 分） 17
7、（2011 湖北荆州， 17，6 分） （本题满分6 分）计算：|322| 2 1 12 1 【答案】 解：原式0)232(232 18 （2011 湖北荆州， 18，6 分） （本题满分6 分）解不等式组， 并把解集在数轴上表示出来. xx x x 8) 1(31 13 2 3 【答案】. 8)1(31 13 2 3 xx x x 由得：1x； 由得：2x 所以此不等式组的解集为12x， 在数轴上表示为 19 （2011 湖北荆州， 19，7 分） （本题满分7 分）如图， P是矩形 ABCD 下方一点，将PCD 绕 P点顺时针旋转60后恰好D 点与 A 点重合，得到PEA，连接 EB，问
8、ABE 是什么 特殊三角形？请说明理由. D C B A P E 【答案】 ABE 是等边三角形，理由如下： 因为 PEA 是将 PCD 绕 P 点顺时针旋转60 后得到的 所以 PEA PCD，且 AE 与 DC 所夹的锐角为60 所以 AE DC 又因为四边形ABCD 是矩形 所以 DC AB 且 DCAB 所以 AE AB 且 EAB 60 所以 ABE 是等边三角形 . 20 （2011 湖北荆州， 20，8 分） （本题满分8 分） 2011 年国家对“酒后驾车”加大了处罚 力度，出台了不准酒后驾车的禁令.某记者在一停车场对开车的司机进行了相关的调查，本 次调查结果有四种情况：偶尔喝
9、点酒后开车；已戒酒或从来不喝酒；喝酒后不开车或 请专业司机代驾；平时喝酒，但开车当天不喝酒. 将这次调查情况整理并绘制了如下尚不 完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题. （1）该记者本次一共调查了名司机 . （2）求图甲中所在扇形的圆心角，并补全图乙. （3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名司机，求他属于第种情况的概率. （4）请估计开车的10 万名司机中，不违反“酒驾”禁令的人数. 【答案】（1）200 （2） 0 126360 200 70 （3）20021870110，则他属于第种情况的概率P 20 11 200 110 （4）设不违反“酒驾”禁令的人数为x 人，则 10000
10、0200 198x ，解得99000x 即不违反“酒驾”禁令的人数为99000 人. 21 （2011 湖北荆州， 21，8 分） （本题满分8 分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑 有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示. 已知上、下桥的坡面线ME 、NF与半圆相切， 上、下桥斜面的坡度i 1：3.7 ，桥下水深OP 5 米，水面宽度CD 24 米. 设半圆的圆心为 O ，直径AB在直角顶点M 、N 的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N 点的最短路径长. （参考数据：3，7. 13， 32 1 15tan 0 ） 【答案】解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD 1 2 CD12
11、（m） 在 RtOPD 中，13125 2222 OPPDOD（m） ， OEOD13m tanEMO=i= 1 ： 3.7 ， 32 1 15tan 0 1 ：3.7 EMO15 由切线性质知OEM 90 EOM=75 同理得 NOF75 EOF180 -75 230 在 RtOEM 中， tan15 EM OE EM 3.7 1348.1（m） 又 EF 的弧长 3013180 6.5（m） 48.1 2+6.5102.7（m） 即从 M 点上坡、过桥、再下坡到N 点的最短路径长为102.7 米. 22 （2011 湖北荆州， 22，9 分） （本题满分9 分）如图， 等腰梯形ABCD 的
12、底边 AD在 x 轴上， 顶点 C 在 y 轴正半轴是， B（4,2 ） ，一次函数1kxy的图象平分它的面积，关于x 的函 数 kmxkmmxy2)3( 2 的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值 . 第 22 题图 【答案】解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 OB、CE 交于 点 P， P 为矩形 OCBE 的对称中心，则过P 点的直线平分矩形OCBE 的面积 . P 为 OB 的中点，而B（4，2）P 点坐标为（ 2，1） 在 RtODC 与 RtEAB 中， OCBE， ABCD RtODCRt EAB（HL） ， SODCSEBA 过点（ 0， -1）与 P（2， 1）的直线即可平
13、分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1 2k-1=1 ， k=1 又kmxkmmxy2)3( 2 的图象与坐标轴只有两个交点，故 当 m0 时， y-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1） ， （1， 0） 当 m 0时，函数kmxkmmxy2)3( 2 的图象为抛物线，且与y 轴总有一个交 点（ 0，2m+1） 若抛物线过原点时，2m+1=0，即 m= 2 1 ，此时（3m+1） 2-4m(2m+1)= 4 1 0 抛物线与x 轴有两个交点且过原点，符合题意. 若抛物线不过原点，且与x 轴只有一个交点，也合题意， 此时 （ 3m+1） 2-4m(2m+1)=0 解之得： m1=m2=-1
14、 综上所述， m 的值为 m=0 或 2 1 或-1. 23 （2011 湖北荆州， 23，10 分） （本题满分10 分） 2011 年长江中下游地区发生了特大旱 情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买型、 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 型 号 金 额 型设备型设备 投资金额x （万元）x 5 x 2 4 补贴金额y （万元）y1=kx (k0) 2 y2=ax 2+bx (a0) 2.4 3.2 （1）分别求出 1 y和 2 y的函数解析式； （2）有一农户同时对型、型两种设备共投资10 万元购买， 请你设计一个能获得
15、最大补 贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【答案】 解： （1）由题意得：5k=2 ，k= 5 2 xy 5 2 1 2.3416 4. 224 ba ba ，解之得： 5 8 5 1 b a ，xxy 5 8 5 1 2 2 （2）设购型设备投资t 万元，购型设备投资（10-t）万元，共获补贴Q 万元 tty 5 2 4)10( 5 2 1 ，tty 5 8 5 1 2 2 5 29 )3( 5 1 5 8 5 1 5 2 4 22 21 ttttyyQ 当 t=3 时， Q 有最大值为 5 29 ，此时 10-t=7(万元 ) 即投资 7 万元购型设备，投资3 万元购型设
16、备，共获最大补贴5.8 万元 . 24 （2011 湖北荆州， 24，12 分） （本题满分12 分）如图甲，分别以两个彼此相信的正方形 OABC 与 CDEF的边 OC 、OA所在直线不x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系（O 、C、F 三点在 x 轴 正半轴上） . 若 P 过 A、B、E 三点（圆心在x 轴上） ，抛物线cbxxy 2 4 1 经过 A、C 两点，与x 轴的另一交点为G，M是 FG的中点，正方形CDEF的面积为1. （1）求 B点的坐标； （2）求证： ME是 P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，求 ACQ 周长的最小值；
17、若FQ t ，SS ACQ ，直接写出s 与 t 之间的函数关系式. 图甲图乙 【答案】 解： （1）如图甲，连接PE、PB，设 PC n 正方形 CDEF 面积为 1CDCF1 根据圆和正方形的对称性知OPPC n BC2PC2n 而 PBPE，PB2=BC 2+PC2=4n2+n2=5n2 又 PE2=PF2+EF 2=(n+1)2+1 5n 2=(n+1)2+1 解得 n1=1， 2 1 2 n(舍去 ) BCOC2 B 点坐标为（ 2，2） （2）如图甲，由（1）知 A（0，2） ，C（2，0） A，C 在抛物线上 cbo c 22 4 1 2 2 ，解之得： 2 2 3 c b 抛物
18、线的解析式为2 2 3 4 1 2 xxy 抛物线的对称轴为x=3，即 EF 所在直线 C 与 G 关于直线x=3 对称， CFFG1 MF 2 1 FG 2 1 在 RtPEF 与 RtEMF 中 1 2 EF PF ， 1 2 2 1 1 FM EF FM EF EF PF ，而 PFE FEM 90 PEF EMF EPF FEM PEM PEF+FEM PEF+EPF90 ME 与 P 相切 （3）如图乙，延长AB 交抛物线于A ，连 CA 交对称轴x=3 于 Q，连 AQ 则有 AQ AQ， ACQ 周长的最小值为（AC+A C ）的长 A 与 A 关于直线x=3 对称 A（0，2） ，A （ 6，2） AC522)26( 22 ， 而 AC=2222 22 ACQ 周长的最小值为 2252 当 Q 点在 F点上方时， St+1 当 Q 点在线段FN 上时， S1-t 当 Q 点在 N 点下方时， St-1. 图乙