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1、2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1证明函数上的单调性 . 证明： 在(0，+)上任取 x1、 x2(x1x2)， 令 x=x2-x10 则 x10， x20， 上式 0 x1f(x2) 上是减函数 . 总结升华： 可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个 函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x 2-3|x|+2； (2) 解： (1)由图象对称性，画出草图 f(x) 在上递减，在上递减，在上递增 . (2)
2、图象为 f(x) 在上递增 . 举一反三： 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 【变式 1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1| ； (2)(3). 解： (1)画出函数图象， 函数的减区间为， 函数的增区间为(-1， +)； (2)定义域为， 其中 u=2x-1 为增函数， 在(-， 0)与 (0，+)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为 (- ， 0)(0，+)，单调增区间为：(-， 0)，单调减区间为(0，+). 总结升华： 1 数形结合利用图象判断函数单调区间； 2 关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. 3 复合函数的单调性分析：
3、先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函 数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为 减函数 . 类型三、单调性的应用( 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数 f(x) 在(0，+)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与 的大小 . 解： 又 f(x) 在(0，+)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)； 1)x 5，10； 2)x(-3， -2)(-2， 1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x -1，1； 2)x-2，2. 思路点拨： (1)可应用函数的单调性；(2)数形结合 .
4、 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 解：(1)2 个单位， 再上移 2 个单位得到， 如 图 1)f(x) 在5， 10上单增，； 2)； (2)画出草图 1)yf(1) ， f(-1) 即2，6； 2). 举一反三： 【变式 1】已知函数. (1)判断函数f(x) 的单调区间； (2)当 x1，3时，求函数f(x) 的值域 . 思路点拨： 这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们 相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域. 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 解： (1) 上单调递增，在上单调递
5、增； (2)故函数 f(x) 在1，3上单调递增 x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-2 x=3 时 f(x) 有最大值 x1，3时 f(x) 的值域为. 5. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5 在区间 上是增函数， 求： (1)实数 a 的取值范围； (2)f(2) 的取值范围 . 解： (1)对称轴是决定 f(x) 单调性的关键，联系图象可知 只需； (2)f(2)=2 2-2(a-1)+5=-2a+11 又 a2， -2a-4 f(2)=-2a+11 -4+11=7 . 举一反三： 【变式 1】 （2011 北京理 13）已知函数，若关于x 的方程有两个 不同的实
6、根，则实数k 的取值范围是_. 解：单调递减且值域(0,1 ，单调递增且值域为， 由图象知，若有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）. 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 类型四、判断函数的奇偶性 6. 判断下列函数的奇偶性： (1)(2) (3)f(x)=x 2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5) (6)(7) 思路点拨： 根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解： (1)f(x) 的定义域为，不关于原点对称，因此f(x) 为非奇非偶函数； (2)x-1 0， f(x) 定义域不关于原点对称，f(x) 为非奇非偶函数； (3)对任意
7、 xR，都有 -xR，且 f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x) ，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数 ； (4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)， f(x) 为奇函数； (5) ， f(x) 为奇函数； (6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x) 为奇函数； (7)， f(x) 为奇函数 . 举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1| ； (3)f(x)=x 2+x+1； (4). 思路点拨： 利用函数奇偶
8、性的定义进行判断. 解： (1)； 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 (2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x) 为奇函数； (3)f(-x)=(-x) 2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x) -f(x) 且 f(-x) f(x) f(x) 为非奇非偶函数； (4)任取 x0 则-x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0 时， f(0)=-f(0) xR 时， f(-x)=-f(x) f(x) 为奇函数 . 举一反三： 【变式 2】已知 f(
9、x) ，g(x) 均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x)为偶函 数 . 证明： 设 F(x)=f(x)+g(x) ，G(x)=f(x) g(x) 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x) 为偶函数 . 类型五、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合) 7已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10 ，求 f(2). 解： 法一：
10、f(-2)=(-2) 5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 举一反三： 【变式 1】 （2011 湖南文 12）已知为奇函数，则为： 解：， 又为奇函数，所以 8. f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当x0 时， -y=(-x) 2 -(-x) 即 y=-x 2 -x 又 f(0)=0 ，
11、如图 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 9设定义在 -3 ，3上的偶函数f(x) 在0，3上是单调递增，当f(a-1)b0，给出下列不等式，其中成立的是_. f(b)-f(-a)g(a)-g(-b) ； f(b)-f(-a)g(b)-g(-a) ； f(a)-f(-b)1 时，如图3， g(a)=f(1)=a 2-2a ，如图 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 13. 已知函数f(x) 在定义域 (0， +)上为增函数，f(2)=1 ，且定义域上任意x、 y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式： f(x)+f(x-2) 3.
12、 解： 令 x=2，y=2， f(2 2)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4， y=2， f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2) 3 可转化为： fx(x-2) f(8) . 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明： 任取 00 (1)当时 00 即 f(x1)f(x2) 上是减函数 . (2)当 x1，x2(1，+)时， 上是增函数 . 难点： x1x2-1 的符号的确定，如何分段. 15. 设 a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x) 的奇偶性，并求f(x) 的最小值 . 解： 当 a=0时， f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当 a0 时， f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数 . (1)当 xa 时， 2011 高一数学试题 :1.3函数的单调性和奇偶性经典例题 1 且 2上单调递增， 上的最小值为f(a)=a 2 +1. (2)当 xa 时， 1上单调递减， 上的最小值为f(a)=a 2 +1 2上的最小值为 综上： .