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1、1 2012 年重庆中考数学第24 题专题训练（含答案）（5 月 22 日） 1、如图，在直角梯形ABCD中， AD BC ， ABC=90 ， E为 AB延长线上一点，连接ED ，与 BC交于 点 H过 E作 CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与 BC交于点 G已知 G为 CH的中点，且 BEH= HEG （1）若 HE=HG ，求证： EBH GFC ； （2）若 CD=4 ， BH=1 ，求 AD的长 （1）证明： HE=HG ， HEG= HGE ， HGE= FGC ， BEH= HEG ， BEH= FGC ， G是 HC的中点， HG=GC ， HE=GC ， HBE= CFG
2、=90 EBH GFC ； （2）解：过点H作 HIEG于 I ， G为 CH的中点， HG=GC ， EFDC ， HIEF， HIG=GFC=90 ， FGC= HGI， GIH GFC ， EBH EIH（AAS ）， FC=HI=BH=1 ， AD=4-1=3 2、已知， RtABC中， ACB=90 ， CAB=30 分别以AB、AC为边，向形外作等边ABD和等 边 ACE （1）如图 1，连接线段BE 、CD 求证： BE=CD ； （2）如图 2，连接 DE交 AB于点 F求证： F 为 DE中点 证明：（ 1） ABD和 ACE是等边三角形， 2 AB=AD ，AC=AE ，
3、DAB= EAC=60 ， DAB+ BAC= EAC+ BAC ，即 DAC= BAE ， 在 DAC和 BAE中， AC=AE DAC= BAE AD=AB ， DAC BAE （SAS ）， DC=BE ； （2）如图，作DG AE ，交 AB于点 G ， 由 EAC=60 ， CAB=30 得： FAE= EAC+ CAB=90 ， DGF= FAE=90 ， 又 ACB=90 ， CAB=30 ， ABC=60 ， 又 ABD为等边三角形，DBG=60 ， DB=AB ， DBG= ABC=60 ， 在 DGB和 ACB中， DGB= ACB DBG= ABC DB=AB ， DGB
4、 ACB （AAS ）， DG=AC ， 又 AEC为等边三角形，AE=AC ， DG=AE ， 在 DGF和 EAF中， DGF= EAF DFG= EFA DG=EA ， DGF EAF （AAS ）， DF=EF ，即 F为 DE中点 3、如图，在梯形ABCD 中， ADBC ， C=90， E为 CD的中点， EF AB交 BC于点 F （1）求证： BF=AD+CF ； （2）当 AD=1 ，BC=7，且 BE平分 ABC时，求 EF的长 （1）证明：如图（ 1），延长 AD 交 FE 的延长线于N NDE= FCE=90 DEN= FEC DE=EC NDE FCE DN=CF A
5、BFN，AN BF四边形 ABFN 是平行四边形 BF=AD+DN=AD+FC （2）解： ABEF， ABN= EFC ，即 1+2=3， 3 又 2+BEF= 3， 1=BEF ， BF=EF ， 1=2， BEF= 2， EF=BF ， 又 BC+AD=7+1 BF+CF+AD=8 而由（ 1）知 CF+AD=BF BF+BF=8 2BF=8 ， BF=4， BF=EF=4 4、在等腰梯形ABCD 中， ADBC ，AB=AD=CD, ABC=60 , 延长 AD到 E,使 DE=AD, 延长 DC到 F，使 DC=CF, 连接 BE 、BF和 EF. 求证： ABE CFB; 如果 A
6、D=6,tan EBC的值 . 解： （ 1）证明：连结CE， 在 BAE与 FCB中， BA=FC， A=BCF ， ， AE=BC， BAE FCB ； （2）延长 BC交 EF于点 G ，作 AH BG于 H，作 AM BG ， BAE FCB ， AEB= FBG ，BE=BF ， BEF为等腰三角形， 又 AE BC ， AEB= EBG ， EBG= FBG ， BG EF， AMG= EGM= AEG=90 ， 四边形AMGE 为矩形， A B D E C F 4 AM=EG ， 在 RtABM 中， AM=AB ?sin60 =6 2 3 =33， EG=AM=33， BG=B
7、M+MG=6 2+6cos60=15， tan EBC= 5 3 15 33 BG EG 5、已知： AC 是矩形 ABCD 的对角线，延长 CB至E，使CE=CA ，F是 AE 的中点，连接 DF、 CF 分别交 AB 于 G、 H 点（ 1）求证： FG=FH ；（ 2）若 E=60，且 AE=8 时，求梯形AECD 的 面积 （1）证明：连接BF ABCD 为矩形 AB BC AB AD AD=BC ABE 为直角三角形 F 是 AE 的中点 AF=BF=BE FAB= FBA DAF= CBF AD=BC, DAF= CBF ,AF=BF , DAF CBF ADF= BCF FDC=
8、 FCD FGH=FHG FG=FH； （2）解： AC=CE E=60 ACE 为等边三角形 CE=AE=8 AB BC BC=BE=CE 2 1 =4 根据勾股定理AB=34 梯形 AECD 的面积 = 2 1 (AD+CE) CD= 2 1 (4+8)34=324 5 6、如图，直角梯形ABCD 中，AD BC， BCD=90 ，且 CD=2AD ，tanABC=2 ，过点 D 作 DE AB ，交 BCD 的平分线于点E，连接 BE （1）求证： BC=CD ； （2）将 BCE 绕点 C，顺时针旋转90得到 DCG，连接 EG求证： CD 垂直平分EG； （3）延长 BE 交 CD
9、于点 P求证： P 是 CD 的中点 证明：（1）延长 DE 交 BC 于 F， AD BC，AB DF， AD=BF ， ABC= DFC 在 RtDCF 中， tanDFC=tan ABC=2 ， CF CD =2， 即 CD=2CF ， CD=2AD=2BF ， BF=CF， BC=BF+CF= 2 1 CD+ 2 1 CD=CD 即 BC=CD （2） CE 平分 BCD， BCE=DCE， 由（ 1）知 BC=CD ， CE=CE， BCE DCE， BE=DE ， 由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG ， DE=DG ， C，D 都在 EG 的垂直平分线上， CD 垂直平分EG
10、 （3）连接 BD ， 由（ 2）知 BE=DE ， 1=2 AB DE， 3=2 1=3 AD BC， 4=DBC 由（ 1）知 BC=CD ， DBC= BDC ， 4=BDP 又 BD=BD ， BAD BPD(ASA) DP=AD AD= 2 1 CD， DP= 2 1 CD P 是 CD 的中点 6 7、如图，直角梯形ABCD 中， DAB=90 ， ABCD ，AB=AD ， ABC=60 度以AD 为边在 直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF ，点 E 是直角梯形ABCD 内一点，且EAD= EDA=15 ， 连接 EB、EF （ 1）求证： EB=EF ； （ 2）延长 FE
11、 交 BC 于点 G，点 G 恰好是 BC 的中点，若AB=6 ，求 BC 的长 （1）证明：ADF 为等边三角形， AF=AD ， FAD=60 DAB=90 ， EAD=15 ， AD=AB FAE= BAE=75 ， AB=AF ， AE 为公共边 FAE BAE EF=EB （2）过 C 作 CQAB 于 Q， CQ=AB=AD=6 ， ABC=60 ， BC=6 2 3 =34 8、已知，矩形ABCD中，延长BC至 E，使 BE=BD ，F 为 DE的中点，连结AF、CF.求证： (1) ADF= BCF ； (2) AF CF. 证明：（1）在矩形 ABCD 中， ADC= BCD
12、=90 ， DCE=90， 在 RtDCE 中， F 为 DE 中点， DF=CF， FDC= DCF， ADC+ CDF=BCD+ DCF ， 即 ADF= BCF； （2）连接 BF， BE=BD ， F 为 DE 的中点， BFDE， BFD=90 ，即 BFA+ AFD=90 ， 在 AFD 和 BFC 中 AD=BC ADF= BCF CF=DF ， ADF BCF， AFD= BFC， AFD+ BFA=90 ， BFC+ BFA=90 ， 即 AFC=90 ， AFFC 7 9、如图，在直角梯形ABCD中， AD DC ，AB DC，AB=BC ， AD 与 BC 延长线交于点F
13、，G 是 DC 延长线上一点，AG BC 于 E （1）求证： CF=CG ； （2）连接 DE ，若 BE=4CE ，CD=2 ，求 DE 的长 解答：（1）证明：连接AC， DCAB，AB=BC ， 1=CAB ， CAB= 2， 1=2； ADC= AEC=90 ， AC=AC ， ADC AEC ， CD=CE ； FDC=GEC=90， 3=4， FDC GEC， CF=CG （2）解：由（ 1）知， CE=CD=2 ， BE=4CE=8 ， AB=BC=CE+BE=10 ， 在 RtABE 中， AE= AB 2-BE2 =6， 在 RtACE 中， AC= AE 2+CE2 =
14、102 由（ 1）知， ADC AEC ， CD=CE ，AD=AE ， C、A 分别是 DE 垂直平分线上的点， DE AC，DE=2EH ； （8 分） 在 RtAEC 中， SAEC= 2 1 AE?CE= 2 1 AC?EH， EH= AC CEAE = 102 26 = 5 103 DE=2EH=2 5 103 = 5 106 10、如图，在正方形ABCD 中， E、F 分别为 BC、AB 上两点，且BE=BF ，过点 B 作 AE 的垂线 交 AC 于点 G，过点 G 作 CF 的垂线交BC 于点 H 延长线段AE 、GH 交于点 M （1）求证： BFC= BEA ； （2）求证
15、： AM=BG+GM 证明：（1）在正方形ABCD 中， AB=BC ， ABC=90 ， 在 ABE 和 CBF 中， AB=BC ABC= ABC BE=BF ， ABE CBF（SAS） ， BFC=BEA ； （2）连接 DG，在 ABG 和 ADG 中， AB=AD DAC= BAC=45 AG=AG ， ABG ADG （SAS） ， 8 BG=DG ， 2=3， BG AE， BAE+ 2=90， BAD= BAE+ 4=90， 2=3=4， GM CF， BCF+ 1=90， 又 BCF+ BFC=90， 1=BFC=2， 1=3， 在 ADG 中， DGC= 3+45， DG
16、C 也是 CGH 的外角， D、G、M 三点共线， 3=4（已证）， AM=DM ， DM=DG+GM=BG+GM， AM=BG+GM 11、直角梯形ABCD 中， AB CD， C=90，AB=BC ，M 为 BC 边上一点 （ 1）若 DMC=45 ，求证： AD=AM （ 2）若 DAM=45 ，AB=7 ，CD=4 ，求 BM 的值 （1）证明：作AFCD 交延长线于点F DMC=45 ， C=90 CM=CD ， 又 B= C=AFD=90 ， AB=BC ， 四边形 ABCF 为正方形， BC=CF， BM=DF ， 在 RtABM 和 RtAFD 中， AB=AF ， B=AFD
17、=90 ， BM=DF ， ABM AFD ， AD=AM （2）解：把RtABM 绕点 A 顺时针旋转90，使 AB 与 AE 重合，得RtAFN DAM=45 ， BAM+ DAF=45 ， 由旋转知 BAM= NAF ， DAF+ NAF=45 ， 即 DAM= DAN ， 由旋转知 AM=AN ， ADM ADN ， DM=DN ， 设 BM=x ， AB=BC=CF=7 ， 9 CM=7-x 又 CD=4， DF=3，BM=FN=x ， MD=DN=3+x ， 在 RtCDM 中， （7-x） 2+42 =（3+x） 2， 解得： x= 5 14 BM 的值为 5 14 答： BM
18、的值为 5 14 12、如图， AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是 AC 的中点，点Q 是 AB 上一点，连接CQ，DP CQ 于点 E，交 BC 于点 P，连接 OP，OQ； 求证： （1） BCQ CDP； （2） OP=OQ 证明：四边形ABCD 是正方形， B= PCD=90， BC=CD ， 2+3=90， 又 DPCQ， 2+1=90， 1=3， 在 BCQ 和 CDP 中， B=PCD BC=CD 1=3 BCQ CDP （2）连接 OB 由（ 1） ： BCQ CDP 可知： BQ=PC， 四边形ABCD 是正方形， ABC=90 ， AB=BC ， 而点 O 是 AC 中点， BO= 2 1 AC=CO ， 4= 2 1 ABC=45 =PCO， 在 BCQ 和 CDP 中，BQ=CP 4=PCO BO=CO BOQ COP， OQ=OP