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1、1 数学试卷第页（共 4 页） 2013 年全国初中数学竞赛（海南赛区） 数 学 试 卷 （本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间： 3 月 10 日 8:3010:30） 题号 一二三总 分 (1 10) (11 18) 19 20 得分 一、选择题 （本大题满分50 分，每小题5 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、3x 的相反数是6, 那么 x的值为 A 3 B3 C6 D9 2、从甲、乙两名男生和A、B 两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则恰好
2、选中甲男生和A 女生的 概率是 A 2 1 B 4 3 C 8 1 D 4 1 3、如图 1， AOB=180， OD是 BOC的平分线， OE是 AOC的平分线， 则下列各角中与 COD的互补的是 A COEB AOCC AODD BOD 4、如图 2，在 Rt ADB 中， D=90， C 为 AD 上一点， ACB6x，则 x 值可以是 A10B20C30D40 5、已知 a 是质数， b 是奇数，且 2013 2 ba，则 ab2 的值为 A2009 B2011C2013D2015 6、有这样的数列：3、7、12、18、25，则第10 个数是 A65 B70 C75 D80 7、轮船往
3、返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大 （水流的速度总小于船在静水中的速度）时，船往返一次所用的时间将 A增多B减少C不变D以上都有可能 图 1 A C B D E O 图 2 6x 2 数学试卷第页（共 4 页） 8、如图 3，矩形 AOBC 的面积为8，反比例函数 x k y的图象经过矩形的对角线的交点P，则反比例函数 的解析式是 A x y 8 B x y 2 C x y 4 D x y 1 9、 图 4 是由大小一样的小正方形组成的网格，ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上在网格上能画出 三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与ABC 成轴
4、对称的三角形共有 A5 个B4 个C3 个D2 个 10、如图 5 是半径为 2的圆，圆心 A 坐标为（ 1， 1） ，点 M 是圆上的动点，则点M 的坐标不可能为 A （2， 0）B （0， 2）C （2， 2）D （1， 2） 二、填空题 （本大题满分40 分，每小题5 分） 11、分解因式 :9 x 212xy4y2_ 12、 计算： 52 52 552 _ 13、若12842 1xx ，则 x的值为 _ 14、已知关于 x的方程 x 24xa0的两个实数根 x1、x2满足 3 x1x20，则 a _ 15、在 ABC 中， AB5，AC 9，则 BC 边上的中线 AD的长的取值范围是_
5、 16、如图 6，在平面直角坐标系中，直线AB 由直线 y=3x 沿 x 轴向左平移3 个单位长度所得，则直线AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为_ 17、如图 7，已知正方形ABCD 中，点 M 在边 CD 上，且 DM 3， MC1，把线段AM 绕点 A 顺时针旋转，使点M 落在 BC 所在 的直线上的点N 处，则 N、C 两点的距离为_ 18、如图 8，在ABC中,AB10, BAC的平分线 AD交BD于点 D，且 BDAD，DEAC交 AB于E， 则DE的长是 _ A C B 图 3 x y O P 图 4 图 5 M x y A O 图 6 x y A O B 图 7 A C B D
6、 M 图 8 A C B D E 3 数学试卷第页（共 4 页） 三、解答题 ( 本大题满分30 分，每小题15 分) 19、海南省某种植园收获香蕉20000 千克，其中香牙蕉12000 千克、黄帝蕉8000 千克，准备 运往海口与 文昌销售；根据市场供需，海口需要香蕉15000 千克，文昌需要香蕉5000 千克，海口与文昌两地的香 蕉售价如下表所示： 价格品种 地区 黄帝蕉 （元 / 千克） 香牙蕉 （元 / 千克） 海口5 4.8 文昌4.2 3.6 （1）若该种植园供应海口市的香牙蕉与黄帝蕉的比是2：1，请问该种植园供应文昌市的香牙蕉与黄帝 蕉各是多少千克？ （2）若海口与文昌的香蕉都能
7、在保质期内销售完，请你设计一种销售方案，使销售的收入最大，并估 算出获得的最大销售收入. 4 数学试卷第页（共 4 页） 20、如图9，在平面直角坐标系xoy 内，正方形AOBC 的顶点A、O、 B、 C 的坐标分别为（0， 1） 、 （0，0） 、 （1，0） 、 （1、 1） ，过点 B 的直线 MN 与 OC 平行， AC 的延长线交MN 于点 D，点 P 是直线 MN 上的一个动点，CQOP 交 MN 于点 Q. （1）求直线MN 的函数解析式； （2）当点 P 在 x 轴的上方时，求证: OBP CDQ； 猜想：若点P 运动到 x 轴的下方时， OBP 与 CDQ 是否依然全等？（不
8、要求写出证明过程 ） （3）当四边形OPQC 为菱形时， 请求出点P 的坐标； 请求出 POC 的度数 . x y M N C Q E P D B A 图 9 O 5 数学试卷第页（共 4 页） 海南省 2013 初中数学竞赛初赛试题 参考答案 一、选择题 （本大题满分50 分，每小题5 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A D C B C C A B A D 答案提示： 4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与ACB 小于 180可知 90 6x180，由此可得 15 x30，故选择B 5、a 是质数， b 是奇数，且2013 2 ba ，所以 a、b必是一奇一偶，所
9、以可求得 a=2，b=2009，所以 a b2=2013 6、 由数列 3、7、12、 18、25可判断存在的规律为：第个数为3，第个数为3+4，第个数为3+4+5， 第个数为3+4+5+6，第个数为3+4+5+6+7如此可断定第个数为3+4+5+ +12=75,故选择 C 7、设两码头之间的航程为S，船在静水中的速度为a，水流的速度为b，则船顺水所需的时间为 ba S 船 逆水所需的时间为 ba S ，则船往返一次所需的时间为 ba S + ba S = 22 2 ba aS 由此可判断船在静水中的 速度不变与水流的速度总小于船在静水中的速度的条件下，水流的速度b 越大， a2b2越小，船往
10、返一次 所需的时间为 22 2 ba aS 就越大，故选择A 8、由矩形 AOBC 的面积为8，可求矩形PEOF的面积为2， 又点 P在第一象限，所以K=2， 故选择 B 9、 如图，分别以大的正方形中间” 十” 字所在的直线为对称轴可画出2、3 两图，分别以正方形对角线所 在直线为对称轴可画出4、5 两图，再加上第1 幅图，总共有5 个符合条件的三角形，故选择A 10、若点 M 在圆上，点M 与圆心 A 的距离等于圆的半径2，容易判断点（2，0）是圆 A 与 X 轴正半轴 的交点、点（ 0，-2）是圆 A 与 y 轴负半轴的交点，另外，可以通过构造直角三角形判断点(2， 2)与圆心 A 的距
11、离等于2，也可以用两点公式求出点(2， 2)与圆心 A 的距离等于2，因此 A、B、C三个选项中 的点均在圆上，而点(1， 2)与圆心 A 的距离等于1，小于圆A 的半径，点 (1， 2)不在圆上，故选择D M x y A O 图 5 P A C B 图 3 x y O E F 6 数学试卷第页（共 4 页） 二、填空题 （本大题满分40 分，每小题5 分） 11、（ 3x 2y） 2 12、513、2 14、3 15、2x7 16、13.5 17、1 或 7 18、5 答案提示： 12、 552552 52 )52(5 52 52 552 13、由12842 1xx 得 721 222 xx
12、 所以有72)1(xx所以x 的值为 2 因为关于 x的方程 x2 4xa=0的两个实数根为x1、 x2，由根与系数的关系得x1+x2=4，所以 4 03 21 21 xx xx ，解得 3 1 2 1 x x ，所以 a=3 15、构造右图，延长中线AD 到A，使 AD=AD ， 可证 ABDACD， 设AD= x，AA=2 x，由三角形三边不等关系可得 9-52x9+5，从而有 2x7 16、设直线 AB 的解释式为 y=3x+b， 由题意可知直线AB 过点（ -3 、0） ，故 b=9，所以直线 AB 与y轴的交 点为（ 0，9） ，则直线 AB与坐标轴所围成的三角形的面积为392=13
13、.5平方单位 17、如图 7，把线段 AM绕点 A画弧，可见 N、C两点的距离存在两种情况：点N在边 BC上，点 N在 边CB的延长线上；可以证明ADMABNABN，所以有 BN=BN =DM=3,所以 N、C两点的距离 是： 1或7 18、提示：可证AE=DE ， BE=DE ，由此得到DE的长是 5 三、解答题 ( 本大题满分30 分，每小题15 分) 19、解： （1）设种植园应向海口供应的黄帝蕉有x 千克, 则向海口供应的香牙蕉有2x 千克, 根据题意 列方程得： 2x+x=15000，解得： x=5000，则 2x=10000 所 以 种 植 园 供 应 文 昌 市 的 香 牙 蕉
14、应 为12000-10000=2000千 克 ， 植 园 供 应 文 昌 市 的 黄 帝 蕉 应 为 5000-2000=3000 千克 （2）设应安排m 千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售的黄帝蕉为（15000-m）千克；在文昌市销 售的香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000-m）千克、（m-7000）千克，则这批香蕉的销售收入y 与 m 的函数关 系式为： y=4.8m+5（15000-m）+3.6（12000-m）+4.2（m-7000） 图 7 A C B D N N M A C B D A 7 数学试卷第页（共 4 页） 即 y=0.4m+88800 (7000m12000) 从函数关
15、系式看m 的值越大，销售收入y 就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售，所以若要 使销售收入最大， 需安排 12000 千克香牙蕉与3000 千克黄帝蕉在海口市卖，安排 5000 千克黄帝蕉在文昌 市卖，最大销售收入为y=0.412000+88800=93600( 元) 20、 解： （1）设直线OC的解析式为y=kx， 直线 OC过点 C（1、1） ， k=1,直线 OC的解析式为y=x 直线 MN 与 OC平行， 可设直线MN 的解析式为y=x+b， 直线 y=x+b 过点 B（1，0） ， b=-1, 直线 MN 的函数解析式为y=x-1 ( 此题也可以通过求点B、D的坐标，再利用
16、待定系数法求直线MN的解析式 ) （2）当点 P在 x 轴的上方时 四边形AOBC是正方形 OB=BC ， BCD= ACB=90， BCO=45 又 MN 与 OC平行 CBD= BCO= BDC= 45 ， BC=OB=CD 由 ACOB 知 ADOB OBP = CDQ CQ OP OPB = CQD OBP CDQ 同理可知，若点P 运动到 x 轴的下方， OBP 与 CDQ 依然全等 （3） 设点 P的横坐标为（ a，b） 因为点 P在直线 y=x-1 上，则点P的坐标可表示为（a，a-1） 若四边形OPQC为菱形，则有OP=OC=2 作 PFx 轴于点 F，在 RtOPF中有 OF
17、 2 +PF 2=OP2即 2) 1( 22 aa 解得： 2 31 1a ， 2 31 2a 则 2 13 1b ， 2 13 2b 即当四边形OPQC为菱形时， P2 H F x y M N C Q E P1 D B A 图 9A O 8 数学试卷第页（共 4 页） 点 P的坐标为（ 2 31 ， 2 13 ）或（ 2 31 ， 2 13 ） 由知点 P存在两种情况使四边形 OPQC为菱形， 即点 P在第一象限与第三象限 ）当点 P在第一象限时（如点P1） ， 方法一 (如图 9A)： 过点 C 作 CHMN 于点 H，则CHQ 是直角三角形， 由（ 2）的证明可知BCD 是等腰直角三角形
18、，且BC=OB=CD=1 CH= 2 2 , 若四边形OPQC 为菱形，则有CQ=OC=2， CH=2 1 OC CQH=30 P1OC= 30 方法二（如图 9B） ： 连接 AB交 OC于点 G，过点 P1作 P1HOC于点 H 则OP1H 是直角三角形， 在正方形 AOBC中有 ABOC，又 MNOC ， BGH= P1HG=GB P1= 90 四边形P1BGH是矩形， 又四边形OPQC 为菱形 P1H=BG= 2 1 AB= 2 1 OC = 2 1 O P1 P1OC= 30 ）当点 P在第三象限时 (如点P2)， 令x =0，则 y=x-1=-1，即直线 MN 与 y 轴的交点E的坐标为（ 0，-1） 则 OE=OB ，则OEB=OBE= 45 则 OEP2=OBP1= 135 又四边形OPQC 为菱形 O P2=O P1 =OC O P2E=O P1B O P2EO P1B (AAS) E O P2=B O P1 P2 G H F x y M N C Q E P1 D B A 图 9B O 9 数学试卷第页（共 4 页） B O P1=B O C- P1 OC=45 -30=15 E O P 2=15， P2OC=150 综合以上论述可知，当四边形OPQC为菱形时，POC 的度数为 30或 150