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1、2013年全国初中数学联赛(初三组 )初赛试卷 （3 月 8 日下午 4：006：00） 班级： : 姓名：成绩： 题号一二三四五合计 得分 评卷人 复核人 考生注意： 1、本试卷共五道大题，全卷满分140 分； 2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答； 3、解题书写不要超出装订线； 4、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分） 本题共有6 个小题，每题均给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中有且只有一个是正 确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7 分；不选、错选或选出的代号 字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分。 1、已知 01x ，则 2
2、 x ，x， x 1 的大小关系是（） A、 x xx 1 2 B、 xx x 2 1 C、 x xx 1 2 D、 2 1 xx x 2、如图， 正方形 ABCD ，点 P 是对角线AC 上一点，连接BP， 过 P 作 BPPQ ，PQ 交 CD 于 Q，若2CQAP，则正方形ABCD 的面积为（） A、246B、16 C、 2812 D、32 3、若实数 a，b 满足 022 2 bab ，则 a 的取值范围是（） A、1aB、1aC、1aD、1a 4、如图，在四边形ABCD 中， 135B ， 120C ， 6AB ， 33BC ， 6CD ， 则 AD 边的长为（） A、 36 B、
3、34 C、 24 D、 33 5、方程 7 311 yx 的正整数解（x，y）的组数是（） Q P A C B D A C D B A、0 B、1 C、3 D、5 6、已知实数x，y，z 满足 1 yx z xz y zy x ，则 yx z xz y zy x 222 的值是（） A、 1 B、0 C、1 D、2 二、填空题（本大题满分28 分，每小题7分） 1、x 是正整数，x表示 x 的正约数个数，则等于 2、草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70 头牛在24 天内可以吃完这片青草，30 头牛在 60 天内可以吃完这片青草，则20 头牛吃完这片青草需要的天数是 3、如图，在平行四边
4、形ABCD 中， M、N 分别是BC、DC 的中点， 4AM ， 3AN ，且 60MAN，则 AB 的长是 4、小明将 1，2，3， n 这 n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示 输入（1n）个数，且平均值为30.75，假设这（1n）个数输入无误，则漏输入的一个数 是 三、 （本大题满分20 分） 解方程02|12| 2 xx 四、 （本大题满分25 分） 如图，圆内接四边形ABCD 中，CDCB. 求证： ADABCBCA 22 M N A C D B 五、 （本大题满分25 分） 已 知 二 次 函 数cbxaxy 2 和 一 次 函 数bxy， 其 中a、 b、 c
5、 满 足cba， 0cba Rcba， （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B； A C D B （2）过（ 1）中的两点A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 1 A 、 1 B 求线段 11 BA 的长的取值范 围。 E G F Q BC AD P 2013 年全国初中数学联赛（初三组）初试解答 一、选择题（本大题满分42 分，每小题7 分） 1.已知 10x-，从而 2 (1)0xxx x+=+ ，故应舍去 所以原方程的解为12x =+和3x = - 20 分 四、（本大题满分25 分） 如图，圆内接四边形ABCD 中， CB=CD， 求证： 22 CAC BA BA D-= ；
6、证明：连结BD 、AC 交于点 E，则 B AEC A D? ， ABEA CD? ， 所以 A BEAC D， 5 分 所以 ABAC AEAD = ， 所以ABADACAE? 10 分 又CB EC AB?，B CEAC B?， 所以 CB ECAB， 15 分 所以 CBCA CECB = ， 所以 2 CBCAC E=， 20 分 所以 22 CBABADC ACECAAECA+? ， 所以 22 CACBA BA D-= 25 分 五、（本大题满分25 分） 已 知 二 次 函 数 2 yaxbxc=+ 和 一 次 函 数ybx= -， 其 中a、 b、 c 满 足abc， 0abc
7、+= ( ,a b c ? R) （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、 B； （2）过（ 1）中的两点A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为A1、B1求线段A1B1的长的取值范 围 （1）证明：由 2 yaxbxc ybx ?=+ ? ? = - ? ? 消去 y 得 2 20axbxc+= ， 222222 3 444()44()4() 24 c bacacacaaccacD =-=-=+=+ 5 分 0abc+=，abc， 0a ，0c ， 0D ，即两函数的图象有两个不同的交点 10 分 （2）解：设方程 2 20axbxc+=的两根为 1 x和 2 x， 则 x1+x2 2b a = - ，x1x2 c a = 15 分 222 11121212 |()()4A Bxxxxx x=-=+- 22 2 22 24444()4 () bcbacacac aaaa - =-= 22 13 4()14() 24 ccc aaa =+=+ 20 分 0abc+=，abc，0a ，0c ，解得 1 2 2 c a - - 3 2 11 |A B12，故3 11 |A B23 25 分