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1、第 24 届“希望杯”全国数学邀请赛 初二第二试 2013 年 4 月 15 日上午 8：30 至 10：30 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，菜 40 分。 ）以下每题的四个选项中，仅有 一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠 好的红丝带加紧在胸前，如图1 所示，红丝带重叠部分形成的图形是（） （A）正方形（B）矩形C）菱形（D）梯形 2、设 a、b、C 是不为零的实数，那么 | | abc x abc 的值有（） （A）3 种（B） 4 种（C）5 种（D）6 种 3、AB
2、C的边长分别是 2 1am， 2 1bm，20cm m，则 ABC是（） （A）等边三角形（ B）钝角三角形（C）直角三角形 （D）锐角三角形 4、古人用天干和地支记序，其中天干有10 个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12 个；子 丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10 个汉字和地支的12 个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁, 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥, 从左向右数， 第 1 列是甲子， 第 2 列是乙丑， 第 3 列是丙寅 , ，我国的农历纪年就是按这 个顺序得来的，如公历2007 年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥
3、年的那一 年在公历中（） （A）是 2019 年，（B）是 2031 年，（C）是 2043 年， （D）没有对应的年号 5、实数a、b、m、n 满足 aN (B)M=N (C)MN (D) 无法确定的。 6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2 所示的图形，若最大的正方形的边长是 7cm，则正方形A、B、C、D 的面积和是（） （A） 2 14 cm（B） 2 42 cm（C） 2 49 cm（D） 2 64 cm 图2 7cm D C B A 7、已知关于x 的不等式组 230 320 ax ax 恰有 3 个整数解，则a 的取值范围是（） （A） 2 3 a 3 2 (B) 4 3
4、a 3 2 (C) 4 3 a 3 2 (D) 4 3 a 3 2 8 、 The number of intersection point of the graphs of function |k y x and function (0)ykx k is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2. 9、 某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图3 所示曲线，当每毫升血液中的含 药量不少于0.25 毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（） （A）16 小时（B） 7 15 8 小时
5、（C） 15 15 16 小时（D）17 小时 图3 y=m/t y=kt O t（小时 ) y(毫克) 4 3 2 1 1 10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50 人，在安排乘船时发现，每只船坐6 人， 就剩下 18 人无船可乘； 每只船坐10 人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参 加划船的员工共有（） （A）48 人（ B）45 人（C）44 人（D）42 人 二、填空题（本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分） 11、已知abco 为ABC三边的长，则化简|abc|+ 2 ()abc 的结果是 12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是
6、“纳米技术”，已知 1 毫米微米， 1 微米纳米，那么2007 纳米的长度用科学记数法表示为米。 13、若不等式组 21 23 xa xb 中的未知数x 的取值范围是11x，那么（1a） （1b） 的值等于 14、已知 123 aaa, 2007 a是彼此互不相等的负数，且 122006232007 ()()Maaaaaa， 122007232006 ()()Naaaaaa那么M与N的大小关系是MN 15、 a c b d | 叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，将四个数2、3、4、5 排成不同的二 阶行列式，则不同的计算结果有个，其中，数值最大的是。 16、如图4，一只小猫沿着斜立在墙角的
7、木板往上爬，木板底端距离墙角0。7 米，当小猫 从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 米， 木板顶端向下滑动了0.9 米，则小猫 在木板上爬动了米。 17、 Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is now. (英汉词典： age 年龄： add 加上； when 当, 时) 18、 长方体的长、 宽、 高分别为正整数abc， 且满足2006abcabbcacabc， 那么这个长方体的体积为。 19、已
8、知 a 为实数，且26a与 1 26 a 都是整数，则a 的值是。 20、为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文密文（加密）。现规定英文26 个字 母的加密规则是：26 年字母按顺序分别对应整数0 到 25，例子如，英文abc d，写出它 们的明文（对应整数0，1， 2，3） ，然后将这4 个字母对应的整数（分别为 1.2 ,3,4 x xx x）按 123111 2323xxxxxx计算，得到密文， 即a b c d四个字母对应的密文分别是2.3.8.9. 现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为。 三、解答题（本大题共3 小题，共40 分）要求：写出推算过
9、程 21、 （本题满分10 分） 如图 5，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中 心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C 到中心A 的距离 为 a ，求： （1）大六角星形的顶点A 到其中心O 的距离 （2）大六角星形的面积 （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值 （注：本题中的六角星形有12 个相同的等边三角形拼接而成的） 22、 （本题满分15 分） 甲、乙两车分别从A 地将一批物品运往B 地，再返回A 地，图 6 表示两车离A 地的距离 s （千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B 地后以 30 千米
10、 /小时的速度返回。 请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A 地多远处迎面相遇？ （3）甲车从A 地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A 地？ 图6 乙 甲 48 30 O 2.41.0t/小时 s/千米 23、 （本题满分15 分） 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则 用线段连接： 在同一组的任意两点间都没有线段连接；不在同一组的任意两点间一定有 线段连接。 （1）若平面上恰好有9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？ （2）若平面上恰好有9 个点，且点数分成2，3，4 三组，那么平面上
11、有多少条线段？ （3）若平面上共有192 条线段，那么平面上至少有多少个点？ 答案： 一、选择题（每小题4 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D A C B D C A 二、填空题（每小题4 分，第 15 小题，每个空2 分；第 19 小题，答对一个答案2 分） 题号11 12 13 14 15 答案2c 4 2.00710 6 6;14 题号16 17 18 19 20 答案2.51 6888 526或 526 hope 三、解答题 21（ 1）连接 CO，易知 AOC 是直角三角形，90 ,30AC OAO C 所以22AOACa （2）如图 1，大六角
12、星形的面积是等边AMN 面积的 12 倍 因为 222 2 ()() 22 AMa AM解得 23 3 AMa 所以大六角星形的面积是 2 123 1243 23 Saaa （3）小六角星形的顶点C 到其中心A 的距离为 a ，大六角星形的顶点A 到其中心O 的距 离为2 a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4 倍，所以，大六角星形的面 积：六个小六角星形的面积和=2：3 22 （1）由图知，可设甲车由A 地前往 B 地的函数解析式为skt 将(2.4, 48)代入，解得20k所以20st 由图可知，在距A 地 30 千米处，乙车追上甲车，所以当30s千米时， 30 1.5 202
13、0 s t（小时）。即甲车出发1.5 小时后被乙车追上 （2）由图知，可设乙车由A 地前往 B 地函数的解析式为sptm 将（ 1.0，0）和（ 1.5，30）代入，得 0 301.5 pm pm ，解得 60 60 p m 所以6060st 当乙车到达B 地时，48s千米。代入6060st，得1.8t小时 又设乙车由B 地返回 A 地的函数的解析式为30stn 将（ 1.8，48）代入，得48301.8n，解得102n 所以30102st 当甲车与乙车迎面相遇时，有3010220tt 解得2.04t小时代入20st，得40.8s千米 即甲车与乙车在距离A 地40.8千米处迎面相遇 （3）当乙
14、车返回到A 地时，有301020t解得3.4t小时 甲车要比乙车先回到A 地，速度应大于 48 48 3.42.4 （千米 /小时） 23 （1）平面上恰好有9 个点，且平均分成三组，每组3 个点，其中每个点可以与另外两组 的 6 个点连接，共有线段 69 27 2 （条） （2）若平面上恰好有9 个点，且点数分成2，3，4 三组，则平面上共有线段 1 2(34)3(24)4(23)26 2 （条） （3）设第一组有a 个点，第二组有b个点，第三组有c 个点，则平面上共有线段 1 ()()() 2 a bcb acc ababbcac（条） 若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为 (1)(1)(1)(1)1abbcacabbccaab 与原来线段的条数的差是1ab，即 当ab时，10ab，此时平面上的线段条数不减少 当ab时，10ab此时平面上的线段条数一定减少 由此可见， 当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段 条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多 设三组中都有x 个点，则线段条数为 2 3192x解得 8x 所以平面上至少有24 个点