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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 向量在轴上的射影的应用 四川省汶川县威州中学校邓炜 新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供 了一个非常好的工具。 课本中（高中第二册（下B ） ）对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用 过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。 对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33） 已知向量 AB和轴l，e是l上与l同方向的单位向量（如图）。作点 A在l上的射影A / ，作
2、点 B在l上的射影B / ，则 / BA叫做向量 AB在轴l上或 e方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式： eabaABBA,cos / （一）求点到平面的距离： 如图，点 P为平面 ABC外一点， 设向量a平面 ABC ， 则显然斜线段 PA （或 PB 、PC ）确定的向量PA（或PB、PC） 在a上的射影的绝对值就是点 P到平面 ABC的距离。利用这一事实，我们可以将点P 到平面 ABC的距离问题，转化为 先求平面ABC的法向量a的单位向量e，然后求 PA在向量 e算上的射影ea ，它的绝对值即是点P到平面 ABC的距 离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。 【例 1】已正方
3、形ABCD 的边长为4，E 、F分别是边AB 、AD的中点， GC垂直于 ABCD 所在的平面，且GC=2 ，求点 B到 平面 EFG的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系C xyz，则 B（ 4，0，0） ，G （0，0，2） ， E（4， 2，0） ，F（2， 4，0） ；GE=（4， 2， 2） ，GF =（2， 4， 2） ，BE=（0， 2，0） 。 设a平面 GEF ，则显然a不与 z 轴垂直，故可设a=（ x，y，1） ， 则由a平面 GEF 0224yxGEaGEa 同理有：0242 yxGFaGFa A / B / A B l P A B C a e A B C D E F
4、G x y z 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 解之得： 3 1 x， 3 1 y。故a=1 , 3 1 , 3 1 ，和它同方向的单位向量为3, 1, 1 11 1 e。 显然， BE在e上的射影的绝对值即点B到平面 GEF的距离 d。 点 B到平面 GEF的距离是： 11 112 3, 1, 1 11 1 0, 2,0eBEd 【例 2】如图， ABC是正三角形， AA1、CC1都垂直于平面ABC ，且 AA1=CC1=AB=a ，E为 CC1的中点，求点C到平面 A1BE 的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系C xyz，则有 B 0, 2 , 2 3aa ，A1（ 0， a，a
5、） ， E 2 , 0,0 a ，C（ 0，0，0） BA1 = a aa , 2 , 2 3 ， EB= 2 , 2 , 2 3aaa ，CE= 2 ,0 ,0 a 。 设a平面 A1BE，则显然a不与 z 轴垂直，故可设a=（x， y，1） ， 则由a平面 A1BE 0 22 3 11 ay a x a BAaBAa 同理有：0 222 3a y a x a EBa 解之得： 2 3 x， 2 1 y。故a=1 , 2 1 , 2 3 ，和它同方向的单位向量为2 , 1 ,3 22 1 e。 显然，CE在e上的射影的绝对值即点 C到平面 A1BE的距离 d。 点 B到平面 A1BE的距离是
6、： 4 2 2, 1 ,3 22 1 2 ,0 ,0 aa eCEd 。 二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离： 利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论： 1、如图，要求直线l到与它平行的平面的距离，只需求出平面的单位法向量e，然后分别在直线和平面上任找一 A B C E A1 C1 x y z 用心爱心 专心118 号编辑- 3 - 点 A和 B，则 AB在上 e的射影的绝对值就是直线到平面的距离d ，由射影计算公式立即可得： eABd 2、类似地， 要求两平行平面、之间的距离， 我们只要分别在这两个平面内任取一点A、B，求出 AB在平面（或 平面）的法向量
7、a上的射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面 、 之间的距离。 【例 3】在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M 、N分别为有向直线A1B和 AC上的点，且A1M = x A1B, AN = x AC （x 1）求证： (1)MN平面 BB1C1C。 (2) 求 MN到平面 BB1C1C的距离。 证明： （1）如图， A1B = AC， A1M = AN， BAxMA 11 ，ACxAN BCxBBx ACxAABAx ANAAMAMN 1 11 11 1 CCBBMN CCBBMN 11 11 CCBBMN 11 （2）建立如图所示的直角坐标系Dxyz，易得 A1（1，0，
8、1） ，B（1，1，0） )1 , 1 ( 11 xxMBAxMA , xxBM 1 , 1,0。而平面BB 1C1C 的单位法向量为 0, 1 ,0j，故 MN到平面 BB1C1C的距离即 BM在j上的射影的绝对值，故所求距离为： xjBMd1 【例 4】如图， ABCDA1B1C1D1是棱长为a 的正方体， M 、N、P、 Q 、R、S分别是所在棱的中点。 （1）求证：平面PMN 平面 QRS ； （2）求平面PMN 与平面 QRS间的距离。 解答： （1）略； （2） 建立如图所示的直角坐标系Dxyz ， 则 A1（a， 0， a） ， C(0， a， 0),R 0, 2 a a ， M
9、 2 ,0, a a。 易得aaaCA, 1 为平面 MPN和 QRS的法向量，和它同方向的的单位向量是1, 1 , 1 3 1 e，两平行平面PMN和 QRS间的距离即向量 2 , 2 a a a RM在e上的射影的绝对值。即： 平面 平面 平面 N M A B C D A1 B1 C1 D1 x y z l e A B H H A B e 用心爱心 专心118 号编辑- 4 - aeRMd 3 32 三、求两条异面直线间的距离： 如图，直线a和 b 是两条异面直线 现在我们来求它们之间的距离。 过直线 a 引平面与 b 平行，则问题转化为求直线a 和与它平行的平面之间的距离。 在直线 a
10、和 b 上分别引向量a 和b，利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论： 首先求出平面垂的单位法向量 （即与a和b垂直的单位向量e） ， 然后在直线 a 和 b 上任取两点A和 B， 求出AB在 e上的射影，它的绝对值即是两条异面直线a 与 b 的距离。 【例 5】如图，在长方体AC1中， AB= a，BC= b，AA1= c ， 求异面直线A1C与 BD之间的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系D xyz， 则 D（0，0，0） ，B（b，a，0） ，C （0，a，0） ， A1（b，0，c） ， DB=（b，a，0） ，CA 1 =（ b，a， c） 。 CB（b， 0，0） 设DBa
11、 ，CAa 1 ，则显然a与 A1C和 DB 的公垂线平行，面B、 C分别位于两条异面直线 A1C和 DB上，故CB在a上的射影的绝对值即两异面直线 A1C和 DB间的距离。 显然， a不与 z 轴垂直， 故可设 =（x，y， 1） ，由DBa 和CAa 1 可得： 0 0 caybx aybx 解之得： a c y b c x 2 2 故有 1 , 2 , 2a c b c a，和它同 方向的单位向量为： 222222 4 2, bacbca abbcac e ，所求距离为： 222222 4bacbca abc eCBd 【例 6】如图，设 ABC是边长为24的正三角形， PC 平面 AB
12、C ， PC=2 ，E、D分别为 BC 、AB的中点，求PE和 CD 的距离。 N M A B C D A1 B1 C1 D1 x y z P Q R S A B C D A1 B1 C1 D1 x y z C A B D E x y z P C B A D y x H 用心爱心 专心118 号编辑- 5 - 解：建立如图所示的直角坐标系Cxyz ，则 P （0，0，2） ，E0 ,22, 0， 如右图， 可求得 CD=62，DH=6，CH=23， D0 ,23,6，故有： 2,22,0PE，0,23,6CD。 设PEa， 且CDa， 它的 坐标为a（ x， y， z） ，则 显然有 0236
13、 0222 yx zy 解之得：yyya2,3，它的一个单位向量为 3 1 , 6 1 , 2 1 e。 又由前面的解法知：2,0 ,0 CP在上的射影的绝对值就是两条异面直线PE和 CD间的距离， 即 3 32 eCPd。 此外，利用向量在轴上的射影，我们还可以解决以下问题： 求点到直线的距离：即先求这一点到直线上任意一点的向量在这条直线上的射影，再使用勾股定理即可解； 求两条平行线间的距离：即先在这两条直线各任取两点，求出由这两点所确定的向量在其中一条直线上的射影， 最后使用勾股定理求解； 求直线和平面间的夹角：即先使用向量求出直线上任意一点到平面的距离，再使用直角三角形中的正弦之定义， 即可解决直线与平面的夹角问题，还可以得到相关公式，即向量 AB与平面的夹角满足： AB eAB sin， （e为 平面的单位法向量） 求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的单位法向量 1 e和 2 e，则利用公式 2121, coseeee求出两向量1e、2e的夹角，显然，二面角与其或其补角相等，计算时视其实际情况而定。（说明： 1 e在 2 e上的射影即 21 ee） ，总之，向量在轴上的射影以及单位向量的应用，远不止这些。比如，将其用在平面几何的 有关计算与证明中，有时也会起到奇效，有兴趣者不妨一试。