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1、知识改变命运百度提升自我 1 解几问题 向量问题向量运算 问题解决 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 向量 打开几何问题的一把金钥匙 （浙江台州黄岩灵石中学 318024 ）童华青 向量是具有几何形式和代数形式的一套优良运算通性的数学体系。它既能体现“形”的直观的位置特征，又具有 “数”的抽象与严谨的运算性质，本身就是一个数形结合的产物，是数形结合与转换的桥梁，并广泛应用于生产实践和 科学研究中。向量的应用是一种新的思想方法，新的探索问题的途径，通过向量可以展示一种新的思维能力和创新意识。 记得本人在读高中时早已有了向量的概念，只是在复数中出现，并没有在解题中充分发挥它的优势，而每年高考都 有
2、几何题目平面的和立体的。解此类题目时需要有很强的分析能力、抽象的空间想象能力和逻辑推理能力。这三点 往往都是学生的薄弱点，解答时并不容易，得分率自然也不高。 英国数学教育家麦耐斯（Manells ）和都恩（ Dunn）在回顾他们国家近100 年来数学课程目标的发展时指出“逻辑推 理能力虽然仍占一席之地，但不再享有以前那样被夸张其词的重要性”。而我国近几年在教改盛风的吹拂下，高中数学有 了很大的变化。教学大纲的改革和制定很明确，目标是“在学生的能力之内发展他们的数学技能和理解能力，以满足今 后成人生活，就业和进一步学习与培训的需要；提供学习其他课程所需要的数学知识；发展学生对数学的兴趣和爱好；
3、使学生懂得将数学作为信息交流的工具”。而平面向量的进一步强化，空间向量的引入，大大化简了直线、平面、空间里 有关长度、角度、平行、垂直、共线等问题的难度。因此，在解决几何问题中，向量法比传统方法更受欢迎将是一个必 然趋势，它成为打开几何问题的一把金钥匙。 下面就谈谈这把金钥匙在几何的应用： . 在解析几何中的应用 解析几何与向量是高中数学新课程方案中的两个重要分支学科。数形结合是这两个学科的共同特点。对于解析几何 中图形的重要位置关系（如平行、垂直、相交、三点共线等）和数量关系（如距离、角等），向量都能通过其坐标运算来 进行刻划，这就为在解析几何中充分运用向量方法创造了条件。 运用向量方法解决
4、解析几何问题的一般步骤是： 例 1 （1995 年全国高考题）已知椭圆C：1 1624 22 yx ，及直线 L：1 812 yx ，点 P是 L 上一点，直线OP交椭圆 于 R，又点 Q在 OP上，且满足OQOR=OR 2，当点 P在直线 L 上移动时， 求点 Q的轨迹方程， 并说明轨迹是什么曲线。 解设 Q（yx,）是所求轨迹上任一点，由P 、Q分别 在直线 L 及椭圆 C上，故可设其坐标分别为P（)1(12t,8t ） 、 R（26cos,4sin） . OP=（)1(12t,8t ）,OQ= （yx,）, OR=（26cos,4sin） OQOP=OR 2 ?且 O 、P、Q三点共线，
5、OQOP=OR 2? 8)1(12tx=24 cos 2 +16 sin 2 , 即yttx2)1(3=4+4 cos 2 （ 1） O 、 P 、Q三点共线，有OQOP，由向量共线的充要条件 可知xty8)1(12t ，即 t= yx y 32 3 ( 22 yx 0) (2) 由 O、Q 、 R三点共线，有OQOR，所以x4sin=26cos, tan= x y 2 6 (x0), 所以 cos 2 = 22 2 32 2 yx x ( 22 yx0) （ 3） 知识改变命运百度提升自我 2 将（ 2） 、 （3）式代入（ 1）式，整理得 yx yx 32 22 = 22 22 32 )(
6、2 yx yx ，因为 22 yx0， 所以 ,6432 22 yxyx即5)1(3)1(2 22 yx( 22 yx0) 故所求轨迹是以点（1，1）为中心，长轴平行于x 轴，长、短轴分别为 2 10 和 3 15 的椭圆（原点除外） 。 以后每年的高考题中的解析几何基本上都可以用向量来解，但是要对解析几何中图形的位置关系和数量关系进行认 真分析，充分挖掘问题的向量背景。 二向量在立体几何中的应用 在学习平面向量的基础上，高二数学下册引入了空间向量，用空间向量处理立体几何问题，可以提供新的视角。在 空间特别是空间直角坐标中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种
7、理想的代 数工具。 例 2ABC A1B1C1各条棱长均为2 的正三棱柱， D是侧棱 CC1的中点。 (1) 求证：面AB1DABB1A1 (2) 求 A1B1与面 AB1D所成的角的大小 (3) 求平面 AB1D与平面 ABC所成二面角（锐角） 的大小。 (4) 求点 C到平面 AB1D的距离。 （5）求异面直线BA1与 AC1间的距离。 思路分析： （1）中的面面垂直可以转化为线面垂直， 也可以转化为一个面的法向量与另一个面平行，后者稍简单些；（2） 、 （3）中的线面角和面面角都可以转化为线线角，而空间的线线角问题利用空间向量的坐标运算来解决是最方便的，只要 灵活运用线线所在的向量的夹角
8、公式COS = ba ba ； （ 4） （5）虽然是长度问题，如果用传统方法去做的话，需要添加许 多的辅助线，可能让本来线条就比较多的图形更复杂，解题自然更难；但如果用向量解决，只要灵活运用上面的夹角公 式，将几何问题进行模式化，大大降低解题难度。 解：如图2 建立空间直角坐标系xyzO，则 )0,0,0(O，)0,0,3(A，)0,1 ,0(C，)0,1,0(B，)2,0,3( 1 A， )2,1,0( 1B，)2,1 ,0(1C，)1 ,1 ,0(1D (1) 取 AB中点, 2 3 (E 2 1 ，)0，则CE)0, 2 3 , 2 3 (，而CE就是面 ABB 1A1的法向量，取 A
9、B1的中点 )0, 2 3 , 2 3 (),1 , 2 1 , 2 3 (DMM，DMCE CE DM DM面 AB1D , CE面 AB1D CE 面 AB1D 面 AB1D面 ABB1A1 (2) 设面 ABD的法向量为)1 ,(yxn AD=)1, 1 ,3(，DB1 =)12,0(及nAD，nDB1 n=)1 , 2 1 , 2 3 (又 11BA=)0, 1,3( 设 A1B1与面 AB1D所成的角为 则 2 2 82 13 41313 )2,1 ,3)(0,1,3( 11 11 nBA nBA COS 0 45 知识改变命运百度提升自我 3 （3）面 ABC的法向量为（ 0， 0
10、，1） ，由（ 2）得面 ABD的法向量为（3，1，2） 面 ABC与秒年 ABD所成的二面角为，则 2 2 8 2 413 )2,1 ,3)(1 ,0,0( COS 0 45 （4）)2,1 ,3(n是面 ABD的法向量，又)0,1 ,3()0,1 ,3()0,1 ,0(AC C 点到面 ABD的距离为 2 2 413 )2, 1,3)(0,1 ,3( n nAC d （5）)2,1 ,3()0,0,3()2, 1 ,0(),2,1 ,3()0, 1,0()2,0,3( 11 ACBA 则1BA与 1 AC不平行，设 1 BA与 1 AC所在平面的法向量为)1 ,(yxn 由n1BA，n 1
11、 AC得0 1 BAn，0 1 ACn 0)2,1 ,3)(1 ,(yx，即023yx 0)2,1 ,3)(1 ,(yx，即023yx 解得2,0 yx)1 ,2,0(n 又)2,0,0()0,0,3()2,0,3(1AA 异面直线 1BA与1AC间的距离 5 52 5 2 140 )1,2,0)(2,0,0( 1 n nAA d 由上例，用向量法（尤其是向量用坐标表示）处理立体几何问题，不仅简化了逻辑推理，避免了为了找角、作公垂 线段而多次添加辅助线造成图形的复杂化，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了 学生由于空间想象能力不足而对立体几何学习所产生的畏惧心理障碍。 由此可见，向量确实是解决立体几何、解析几何强有力的工具。所以在整个高中的数学学习中，如能学会用向量方 法处理数学问题，这不仅可使相应问题的解法简洁漂亮、独特、一题多解，而且反复的应用能帮助学生深入理解向量概 念，熟练掌握向量的运算，更能丛中学到数形结合、转化变形等重要的数学思想，能明显减轻学生和教师的负担。同时 为学生进入高校（特别是大学理工科专业的）进一步学习（空间解析几何、线性空间、向量分析、微分几何以及张量分 析等）高等数学打下良好基础。 因此，向量当之无愧是解决几何问题的一把金钥匙。