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1、知识改变命运百度提升自我 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 应用“垂面、三垂线定理”求“二面角” 王志强 三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理，概括起来， 可叙述为： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影，若垂直其中 之一，则必垂直于另一。欲运用上述定理解题，关键注意以下几点： 要善于观察平面不是水平位置的情况，即选好“平面”。 要注意四条线：平面内的一条直线、斜线、 垂线、 射影， 找出（作出） 垂线是至关重要的； 三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。 若利用三垂线定理作二面角的平面角（这里以二面角为锐角加以说明，以下若
2、不作说明，都 是以锐角为例， 当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小）。我们知道关键是由一个半平面 内一点，作另一个半平面的垂线，此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线，而这条 垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供！因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面 垂直。 即：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，就垂直于另一个 平面（简记为：面面垂直找交线，垂直交线垂直面。）。这样在解题过程中，三垂线定理及 两面垂直的性质定理两者有机地结合起来，达到严密推理，快速解题之目的。 综上所述， 我们在作二面角的平面角时，可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个 平面（怎样尽快找到
3、第三个平面呢？可从结论出发，使用逆向思维）。若存在（已知图形中 不存在，可以作）第三个平面，就在此平面内作交线的垂线，就等于作出了那个半平面的垂 线，这时要注意在第三个平面内，过哪一点向交线作垂线呢？回答是这个点必在另一个半平 面内（此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点，有时看结论所求二面角的形式，就知 道这一“点”。），这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角，此平面角含在封闭的直 角三角形中，到此完成了由二面角向平面角转化的过程。 例 1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AC=1 ，。 连结、，求二面角的大小。 分析从结论“求二面角的大小”出发，一方面考虑从点A向平面引垂 线，关键是看
4、这条垂线是否落在垂直于平面的某一 “垂面” 内？换句话说在图中有没 有垂直于平面的某个平面？如图1 找一下， 没有。 这时从另一方面就该调换个角度考 虑从点 C向平面引垂线，同样找一找在图中有没有垂直于平面的某个平面？显 然存在，就是底面ABC 。那么在底面ABC内，过点C引 CD于 D，D为 AB的中点，由两 个平面垂直的性质定理可知：CD平面，下面的道路比较平坦了，在侧面内利用 三垂线定理作出二面角的平面角：过D向棱引垂线，即DE于 E，连结 CE ，有 ，故是二面角的平面角。 知识改变命运百度提升自我 利用平几知识，在中易求 从上面的例子不难看出，“垂面ABC ”在证题中的重要作用。所以
5、我们在做这类题时，关键 是找垂直于二面角的两个半平面之一的“垂面”。为了尽快找到，一般可以从结论出发，逆 向思维是比较快的。如果把垂直的两平面的“交线”定义为“基线”，那么整个过程可以概 括为：“垂基垂棱连”。 把整个求作二面角的平面角的过程归纳为以下思维程序： 探求结论二面角的形式，如形式，在图中是否存在（或作出）过点A且垂直于 平面 CDB的垂面？否则探求过点B且垂直于平面ACD的垂面？两者选在图中存在“垂面” 的 寻找二面角的一个面与它的垂面这两个面的交线在垂面内作交线的垂线（即得二面角的 一个面的垂线段且夹在二面角之间）利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。按照 以上思维程序进行探
6、索，往往思维畅通无阻。 例 2 在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，沿对角线BD把 ABD折起来，使 A在平面 BCD上的射影 E落在 BC上，则二面角的正弦值为 _。 分析先探求过点D向平面 ABC作垂线的问题，由已知AE平面 BCD ，所以平面ABC平面 BCD 平面 ABC平面 BCD= 交线 BC 在平面BCD内由，所以 DC平面 ABC （垂线段 DC夹在两面ABC 、 ABD之间）利用三垂线定理的逆定理，即由斜线DA棱 AB ， 得射影 CA 棱 AB ，故是二面角的平面角。在中不难得出 知识改变命运百度提升自我 例 3 如图 3，在 ABC中，平面 ABC ，若 SA=SB=BC ，求二面角 的大小。 分析方法 1 考虑由点B向平面 SAC引垂线，因为底面BAC侧面 SAC ，底面 BAC是垂面， 再求“垂基垂棱连”，按这样的思路如图4，可得EFB是二面角BSCA 的平面角。 设 SA=AB=BC=a ，最后求得。 方法 2 考虑由点A向平面 SBC引垂线，读者易证BC平面 SAB ，所以平面SAB平面 SBC ， 这时平面SAB是垂面， SB是基线，垂基垂棱连，按这样的思路如图5，可得是二面 角 BSCA 的平面角。设SA=AB=BC=a ，由条件易求得 ， 所以 即。