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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 怎样探讨轨迹的纯粹性 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本知识，课本在谈到曲线的方程和方程的曲线时，指出两个关系： 曲线上的点的坐标都是方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 其中我们叫曲线方程的完备性；叫曲线的方程的纯粹性。在求轨迹方程时，教材强调分五步求轨迹方程，“除 个别情况外。化简过程都是同解变形过程，步骤5（即证明）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明。”所 谓予以说明，就是要探讨轨迹方程的纯粹性很多学生对此缺乏规律性的认识，以至心有余而力不足，那么，解决轨 迹方程的纯粹性问题应该怎样进行呢?笔
2、者总结了一首歌诀： 纯粹性，看转换，以等价，找特征；条件显，看方程，条件隐，画图形。 下面就几个实例来研究一下。 一、显性条件的制约 例 1、设动直线lx轴，且与椭圆 22 1 42 xy 交于 A，B两点， P是l上满足 1PAPB的点，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形? 解：列方程的主要依据是1PAPB，由 ABx轴可设 0000 (,),(,)A xyB xy， 且 A、B在椭圆上，若设P点坐标为( , )P x y， 即 0 xx，即 0 (, )P xy。 代入条件得： 00 1yyyy，即 22 0 1yy。 又 0 22 00 1 42 xx xy ，即 22 1 1 42
3、 xy 。故轨迹方程为 22 1 63 xy 或 2 2 1 2 x y。 点评 ：很多学生到此为止，不再考虑条件限制。这道题属于显性条件约束P点轨迹是因AB移动而产生的，即 0 xx，而 0 x有范围： -2 0 x2（由椭圆 22 1 42 xy 决定）。故必有 -2x2。又当2x时， A，B两者重合于一 点（原已知椭圆的顶点），不满足题意，因此22x为必备条件，显然所求轨迹中的x超过了这个范围，应该剔除 不合条件的点， “纯粹”所求轨迹。正确的结论是： 22 1(22) 63 xy x或 2 2 1 2 x y，轨迹图形是两个椭圆夹在 直线2x间的部分。 总结： 本题条件显然，因此“纯粹
4、性”的讨论不是很棘手，直接由原已知椭圆的几何性质“范围”可以得出， 如 2 2 1 2 x y已自身满足22x，因此可以不标明。这正是：条件显，看方程。 例 2、ABC 一边的两个端点是B（ 0，6）和 C（0，一 6） ，另两边斜率的积是 4 9 ，求顶点A的轨迹。 解：设动点A( ,)x y，由两边斜率之积为 4 9 。 列方程 664 9 yy xx ，整理为 22 1 3681 yx 。 点评： 这道题的约束条件是显性的，顶点 A必须满足与B，C构成ABC 。即剔除 A，B，C三点共线的情况 （0x） ， 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 反映到方程中也可以表示成6y，正确解答如前，只需在所求方程后附加条件：6y（y 6 或y 0 ， 即 1 8C M且 2 2C M。 即 M点必须在大圆内、小圆外，如果去解不等式得出x范围太繁杂了，显然当 M （8，0）时， 1 8C M要舍去。综合各方面因素，最终仍是结论：条件隐，画图形。 总体看来，“纯粹”轨迹方程既可以从方程的等价性入手，也可以从结论本身入手，画出轨迹图形再剔除不满足题 意的点。至于条件的隐显只是相对而言，关键还是看学生有没有轨迹方程的“纯粹”意识。在此基础上，再记住这条 规律： “条件显，看方程，条件隐，画图形”即可。