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1、知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！ Maple在微积分中的应用 摘要： Maple被称为当今世界上最流行的符号计算软件之一，它具有强大的交互式工程数学计 算功能；其丰富的函数包能满足用户在各方面的需求；简单灵活的平面和立体作图技术使得 它成为当前最普及的数学教学软件；它在统计学、经济结算方面的程序库被广泛应用于很多 领域。本文通过Maple9.5 软件分六个部分：1. Maple 在极限中的应用；2.Maple 在求导中的应 用； 3. Maple
2、在积分中的应用； 4.Maple 在级数中的应用； 5.Maple 在积分变换中的应用；6.Maple 中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能对Maple在微积分中应用进行了系统的研 究与说明。 关键字： Maple；微积分；应用研究 一、 Maple在极限中的应用 1 数列的极限 例1设 222 111 12 n u n ，求lim n n u。 首先可以通过Maple绘制散点图得到这个数列是收敛的，如图1： with(plots); plot(sum(1/k2,k=1n),n=11000); （图 1 数列 n u散点图） 进一步用 maple计算得到该数列的极限为 2 1 6 ，其
3、中命令为： limit(sum(1/k2,k=1n),n=infinity); 例2 1 011 0,1,lim 2 nn nn n xx xxxx设求。 这是一种迭代形式的数列，对于这种题目，我们一般有两种解答方法：1）先证明数列为单调， 再证明其有上界或下界，从而根据单调有界定理得到数列的极限存在，最后，对数列的迭代 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 2 - 式两边求极限；2）通过计算数列的通项公式，直接求极限。在本题中，显然，第一种方法是 行不通的，因此，我们尝试用第二种方法来解。 Maple可以通过命令容易的解决此种迭代形式的数列，其中命令为： rsolve(x(n+1)=
4、(x(n)+x(n-1)/2,x(0)=0,x(1)=1,x(n); 得到数列的通项公式为 221 332 n n x ，这样，就得到了这个数列的极限是 2 3 。 2、函数的极限 在微积分中，有两个非常重要的极限，它们分别是 0 sin lim1 x x x ， 1 lim(1)0 x n x 。很多 函数的极限问题都可以化到这两种函数极限的问题，因此，了解这两个函数的性质是非常重 要的。以 0 sin lim1 x x x 为例，首先我们可以给出这个函数的图像（图2） 。 f:=x-sin(x)/x; with(plots); plot(f(x),x=1100); 从这个图中，我们可以看到
5、，函数 sin ( ) x f x x ， 当0x时收敛到 1，当x时，收敛到 0，在做极 限题时，注意观察极限的下标是非常重要的。 图 2 （ sin ( ) x f x x 的图像） 例3. 函数( )sin( )fxxx的图像及相关极限。 f:=x-x*sin(x); with(plots); plot(f(x),x=-100100); 从图中我们可以得到 0 limsin( )0 x xx而limsin( ) x xx 是不存在的，因为函数在无限远处无限震荡。从而“无 穷大与有界函数的乘积是无穷大”的论断是错误的。 （图 3 ( )sin( )f xxx） 二、 Maple在求导中的应
6、用 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 3 - 例4计算 2 2 () sin( ) dx dxx ， 5 23 (sin()xy xy 对于单变量、多变量的求导问题，在Maple中可以直接通过简单的命令进行求解，如本题 命令： diff(x/sin(x),x$2); 从而得到： 2 23 2cos( )2 cos( ) sin( )sin( )sin( ) xxxx xxx diff(sin(x*y),y$3,x$2); 从而得到： 232 cos()6sin()6cos()xy y xxy yxxy x 三、 Maple在积分中的应用 积分是微分的逆运算, 即知道了函数的导函数,
7、 反求它的原函数. 是以int()来作为积分 ( integration)指令的 , 用来求解函数的积分。输入格式如下: 1） 不定积分：( )f x dx命令：int( ), )f xx 2） 定积分：( ) b a f x dx 命令：int( ), , )f xx xa b Maple可以用来求解单变量积分、重积分，同时，也可快速求解在不定积分和定积分运算 中非常重要的两种方法换元积分法、分部积分法问题。除此之外,Maple 还可以求数值积分、 近似积分、曲线积分和旋转曲面积分等等, 此软件包功能强大, 操作简便。 例 5计算sin( )x dx， 0,1 xy x y edxdy in
8、t(sin(x),x); cos( )x int(int(exp(x+y),x=-11),y=-11); ( 2)2 2ee 例6（换元积分）用换元函数计算积分 22 ,0ax dx a sinxat令 with(student): changevar(x=a*sin(t),Int(sqrt(a2-x2),x),t); 222 sin( )cos( )aatat dt value(%)assuming a0; 22211 sin( )sin( )arcsin(sin( ) 22 ataatat 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 4 - subs(sin(t)=x/a,%); 22
9、1 arcsin() 22 x axx aa aa int(sqrt(a2-x2),x) assuming a0; 222 11 arcsin() 22 x x axa a 例7 (分部积分 ) 计算积分cosxxdx with(student): intparts(Int(x*cos(x),x),x); sin( )sin( )xxx dx value(%); sin( )cos( )xxx 四、 Maple在级数中的应用 1）数值级数和函数级数求和 我们可以用 sum方便地求得级数的和，无论是有限项、无限项、常数项还是函数项级数。 相应地，和式的形式函数是sum,求连乘积使用 produc
10、t. 例8求级数 2 1 1 41kk ， 2 1 1 n k k 的和 Sum(1/(4*k2-1),k=1infinity)=sum(1/(4*k2-1),k=1infinity); 从而得到： 2 1 11 412 k k Product(1/k2,k=1n)=product(1/k2,k=1n); 从而得到： 22 1 11 (1) n k kn 2） 幂级数展开 对函数( )f x在xa处做n次级数展开的命令格式为：( ), )series f xxa n，如果只 写x，表示在0x处展开。n为非负整数，缺省值是6 例9求函数( )sin(3*)f xxx的幂级数展开。 f:=x*si
11、n(3*x):series(f,x); 从而得到： 2469 3() 2 xxx 3） 泰勒展开 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 5 - 在Maple中，可以用命令taylor方便快捷地得到一个函数或表达式在一点的任意阶Taylor 展开式，如对函数( )fx在xa处做n次泰勒展开的命令格式为：( ), )taylorfxxa n。 例 10求函数( )sin(tan( )tan(sin( )f xxx的泰勒展开式 taylor(sin(tan(x)-tan(sin(x),x=0,10); 从而得到： 7911129 () 30756 xxx 五、 Maple在积分变换中的应用
12、无论在数学理论研究还是在数学应用中，积分变换都是一种非常有用的工具。积分变换 就是将一个函数通过参变量积分变为另一个函数。常用的积分变换包括拉普拉斯变换 （ Laplace） , 傅 里 叶 变 换 （ Fourier） 等 。 函 数f的 积 分 变 换 的 定 义 如 下 ： ()( )( , ) b a Tfft Ks t d t 其中K为变换核。具体如下： 变量名称定义变换命令逆变换命令 拉普拉斯 0 ( ) st f t edt( ), , )laplace f tt s( ), , )invlaplacef tt s 傅里叶( ) i t f t edt ( ), , )fouri
13、erf tt s( ), , )invfourierf tt s 例11计算 Laplace 变换 0 ( )( ) st L sf t e dt及其反变换（其中 3 ( )*cos( )f ttt） 。 with(inttrans); f(t):=t3*cos(t): F(s):=laplace(f(t),t,s); 从而其 Laplace 变换为： 42 24 6(16) ( ): (1) ss F s s invlaplace(F(s),s,t); 从而其 Laplace 变换的反变换为： 3 cos()tt 例12计算 Fourier变换 ( )( ) iwt F sf t edt 及
14、其反变换 1 ( )() 2 ist f tFe d （其中 2 ( )1f tt） 。 fourier(1+t2,t,w); 从而其 Fourier变换为：2 ()(2,)DiracwDiracw 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 6 - invfourier(%,w,t); 从而其 Fourier变换的反变换为： 2 1t 六、 Maple中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能 1 ）关 于 微 积 分 的 相 关 计 算 如 极 限 （ 菜 单 选 项Limit Methods ） 、 求 导 ( 菜 单 选 项 Differentiation Methods)、积分（
15、菜单选项Integration Methods）等也可以通过Maple的 菜单栏中的工具选项进行。如计算，如计算 2 1 1 1 lim x x x ，我们可以进行如下菜单操作，显示 窗口如图 4。 （图 4： 2 1 1 1 lim x x x 的计算窗口） 2） 关于微积分中相关定理如中值定理、罗尔定理等的应用求解也可以通过Maple的菜单栏中 的工具选项进行说明。以拉格朗日中值定理为例： 求函数 2 ( )6f xxx在区间( 2,1)内至少存在一点c, 使得 ( )( ) ( ) f bf a fc ba 显示窗口如图5，得到存在一点0.5c，此时 ( )( ) ( ) f bf a
16、fc ba ，同时，我们也可由图 得到拉格朗日中值定理的几何意义：在点( ,( )c f c处的切线平行于曲线两端点的连线。 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心- 7 - （图 5） 3） 同时，关于曲线分析求最大最小值问题（菜单选项Curve Analysis） 、计算曲面的表面积 （菜单选项 Surface of Revolution）等也可通过Maple的菜单栏中的工具选项进行。 总的来说， Map le 软件在微积分领域中功能强大, 操作简便。本文只对其部分简单常用的 功能进行了一定的研究与说明。通过系统研究，认为利用Maple 来进行辅助教学, 不仅形象生 动, 使学生耳目一新, 更重要的是能够提高教学效果, 省掉画图和中间计算所需要的大量时间, 培养学生用计算机解决数学问题的能力, 提高学生学习数学的积极性。从这方面来看，Maple 具有比较好的实用性，因此，也就需要我们不断加强研究学习。