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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 递推数列 文/ 秦永 本讲适合高中 . 按递推关系式，递推数列可分为线性递推式和非线性递推式两类. 由 于递推关系式的结构新颖，形态各异，所以解答此类问题往往需要针对相应问题的具体特征，运用一些独特的方法和 技巧 . 1 基础知识 xn的连续k 项满足 xn+k=f （an+k-1,an+k-2, ,an） ，则称此式为数列xn的一个递推关系式由递推关系式及 k 个初始值可以确定的一个数列xn称为递推数列. 无论是涉及递推数列的论证题，还是需要建立递推关系式的综合 题，其求递推数列的通项是解题的核心事实上，递推数列通项的
2、求法一般有如下六种： 1）转化法 . 通过恰当的恒等变形，如配方、因式分解、取对数、取倒数等，转化为等比数列或等差数列. 2）归纳法 . 先计算数列的前若干项，通过观察规律，猜想通项公式，进而用数学归纳法证之. 3）换元法 . 常用的代换有分式换元、三角换元、局部换元、对数换元等. 4）迭代法 . 就是对已知递推式进行适当变形后，用下标较小的项替代下标较大的项，通过累次运算，最终得出 通项是首项的表示式. 5）待定系数法. 通过选择恰当的形式，引入待定的参数，再确定参数的值. 6）不动点法 . 如果 f （x）=x，那么称x是函数 f （x）的一个不动点. 运用不动点知识能够将一些难于求通项
3、的递推关系式化归为易于求通项的递推关系式. . 1a=1,an+1=，求 an an+1=两边平方、移项，得an+1 -a n =2. 这说明数列 a n 是首项为 a 1，公差为 2的等差数 列，于是有an =1+2（n-1 ）=2n- 1. a n0, an=. 2x=1,x2=2,xn+2=（2xnxn+1/xn+xn+1） ，试求 xn. 1/xn+2）=（ 1/2 ）（ 1/xn+1）+（1/2 ）（ 1/xn）. yn=（1/xn） ，得 yn+2=（1/2 ）yn+1+（1/2 ）yn, yn+2-yn+1=- （1/2 ） （yn+1-yn）. n+2-yn+1=-（ 1/2
4、） （yn+1-yn） - （1/2 ） （y n-yn-1） - （1/2 ） ） n（y 2-y）. yi-yi-1=（- （1/2 ） ） i-1 ，从而 n=y+（y2-y）+（y-y2）+（ yn-yn-1） -（ 1/2 ） ）+（- （ 1/2 ） ） +（ - （1/2 ） ）n-1 - （1/3 ） 1-（ - （1/2 ） ） n-1 2/3 ） +（1/3 ） （- （ 1/2 ） ） n-1 . xn=（3/2+ （- （1/2 ） ）n-1 ）. 3an中， a=10，ak+1=10，求通项公式an. ak+1=10两边取对数，得 k+1=（1/2 ）lgak+1.*
5、） x代替 lgak+1、lgak，有 x=（1/2 ）x+1. 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - x=2. 于是对（ * ）式两边减去2，得 k+1-2= （1/2 ） （lgak-2 ）. lgak-2 是首项为 -1, 公比为（ 1/2 ）的等比数列，则有 n-2=- （1/2 ）n-1 ， an=10 2-（ 1/2 ）n-1 . . 2 . 4a=0,2an+1=3an+（nN *） ，证明：对于 an不可能有某一正整数N，使 a2n能被 2004 整除 . . 对已知递推式移项平方，得 n+1-3anan+1+a n-1=0. 从而有 n-1-3anan-1+a n-1=0.
6、 an+1、an-1是二次方程x -3anx+a n-1=0 的二根 . 由韦达定理，得 n+1+an-1=3an, 即 an+1=3an-an-1. N，满足 2004aN. 因为 32004，所以3aN. 而由 aN=3a2N-1-a2N-2知 3aN-2. 依此类推： 3a2N-4,3 a2N-6, ，3a,3 a2，这与 a2=1 相矛盾，得证 . 5a,a，a2，和 b，b，b2，定义如下：a=（/2 ） ， an+1=（/2 ）， b=1,bn+1=-1/b n 求证：对每一个nN，均有2 n+2a n 2 n+2b n. . a=（/2 ）=sin （/2 ），可设 an=sin
7、 （/2 n+2），代入递推关系式， 便有 an+1=（/2 ） =sin （/2 n+3），从而 an=sin （/2 n+2 ） . bn=tan（/2 n+2） . 当 0x （/2 ）时， 有 sinx xtanx, sin （/2n+2） （/2n+2） tan（/2n+2） , 2 n+2a n 2 n+2 bn . 6 数列 xn定义如下： x=（1/2 ）,xn+1=xn +x n. 求 S=（1/1+x）+（1/1+x2）+（ 1/1+x）的整数部分. nN，均有xn0 成立 . x=（1/2 ）及 xn+1=xn +x n可知， x2=（3/4 ）,x=（ 27/16 ）
8、1. 从而用数学归纳法易证得：当n3 时，有 xn1. 于是，对xn+1=xn +x n应用倒数变换，得 1/xn+1） =（1/xn（xn+1） =（1/xn）- （1/xn+1）, 1/1+xn）=（1/xn）- （1/xn+1）， 从而（1/1+xi）=（ （1/xi）- （1/xi+1） ） 1/x）- （ 1/x2004）=2-（ 1/x2004） . 20041, 0（ 1/x2004） 1, 用心爱心 专心118 号编辑- 3 - （1/1+xi）的整数部分为1. xn的表示式呢 ?无独有偶， 2002 年全国高考理科数学压轴题与此题有着一定的相似性. 更进一步，请读者解答如下问
9、题： an中 a=2, 且 an+1=an +4an+2, 试求其通项公式. 7 用 1,2 ，3 三个数字来构造n 位数，但不允许有两个紧挨着的1 出现在 n 位数中（例如，当n=5 时， 31213 是允许的， 11233，31112 都是不允许的）. 问：能构造多少个这样的n 位数 . an个满足题设的n 位数 . 我们很容易得知a=3，a2=8. n3 时，若 n 位数的第1 个数字是2 或 3，则这样的n 位数共有2an-1个；若 n 位数的第1 个数字是1，则第 2 个数字只会是2或 3，于是这样的n位数共有2an-2个，从而我们就建立了递推关系式. n=2an-1+2an-2,n
10、=2,3, . a=1, 则 a、a、a2显然满足如上递推关系式. 下面用特征方程法求an. x =2x+2, 得出 x =1-，x2=1+. an=（1-） n+ 2（1+） n. a=1,a=3, 得待定系数，2满足 +2=1, （1-）+（1+）2=3. =（3-2） /6 ，2=（3+2）/6. n 位自然数的个数是n（ 32）/6 （ 1） n（ 32 ）/6 （ 1） n n=can-1+c2an-2+ckan-k（ ck0） . 其对应的特征方程是xk=cxk-1+c2xk-2+ck. 8 设数列 an和 bn满足 a=1,b=0, 且 an+1=7an+6bn-3, （nN）
11、. 试证： an（nN）是完全平方数. bn+1=8an+7bn-4 a=4,b=4, 且当 n1 时， （2an+1-1 ）+bn+1 14an+12bn-7）+（8an+7bn-4 ） 7+4）（ 2an-1 ）+bn 累次迭代，便得 2an-1 ） +bn=（7+4） n-1（ 2a -1+b） 7+4） n. ?同样，我们还可建立上式的对偶式： 2an-1 ） -bn=（7-4） n. 用心爱心 专心118 号编辑- 4 - 于是，将所得二式相加，得 n=（1/4 ）（ 7+4） n+（1/4 ）（ 7-4 ） n+（1/2 ）. =（2） ， n=（ 1/2 ）（ 2+） n+（1/
12、2 ）（ 2- ） n， n=（1/2 ）（ 2+） n+（ 1/2 ）（ 2- ） n =. cn显然是整数，故知an一定是完全平方数. 2an+11）+bn+1入手解题呢似乎难以想到. 3 1）设 0a1, 若 x=a,x2=ax,x=ax2， xn=a x n-1, , 则数列 xn. 2）已知数列 an满足 3an+1+an=4（n1） , 且 a=9，其前 n 项之和为Sn，则满足S n-n- 6（ 1/125 ）的最小 整数 n. 3）已知数列xn满足 x=2,x2=1,x=0,x=-1,x=-2, 且 xn+1=（xn -1/x n-1） （n6） ，则 xn 4）已知 x=,x
13、n+1=2xn/ （1-xn ） ，则数列 x n的通项xn=_. （5） 设数列 a,a2, ,an, 满足 a=a2=1,a=2， 且对任何自然数n， 都有 anan+1an+21, 又 anan+1an+2an+3=a+an+1+an+2+an+3， 则 a+a2+a100的值是 _. 6）设 x=1,xn+1=（1/16 ） （1+4xn+（n1） ,求 xn. 7）设 a，令 a2=1+1/ （1+a）. 介于 a、a2之间； 、a2中哪一个数更接近于? 的近似值的方案，并说明理由. 8）数列 an中， a=1,a2=7,an+1=（a n+1-1/an） ，求证： x、y, 使 a
14、n+2=xan+1+yan对于一切nN 成立； nbn+1 是完全平方数. 9）整数数列an定义如下： a=2,a2=7,- （1/2 ） an+1- （a n/an-1）（ 1/2 ）,n 2. n 1,an为奇数 . 10）将数字1，2，3， n 填入标号为1，2，3， n的个方格里，每格一个数字. 则标号与所填数字均不 相同的填法有多少种? 答案与提示 用心爱心 专心118 号编辑- 5 - 1）C（2）（3）（4）xn=tan（2n- 1/3 ）. 令n=arctanx n. （ 5）200.an+4=an.（6）xn=（1/3 ） +（ （1/2 ） ） n+（2/3 ） （1/4
15、）n. 令 b n=，有 2bn+1=bn+3. （7）（-a） （-a2）0; a2比 a更接近 于. -a2-a；取 a=a（a0）, 令 an+1=1+（1/1+an） ，可得-an（ （-1/2 ） ） n-1 -a.（8）由a、a2、a、a可求出x=7、y=-1, 然后用数学归纳法证之；通过试验猜想9anbn+1=（an+an+1） , 再用数学归纳法证之. （9） 先证 an=3an-1+2an-2,an0,n 3.（ 10） 令 an为满足题设的填法， 易知 a=0,a2=1， 令 an=n!bn， 有 bn+1-bn=- （1/n+1 ） （bn-bn-1）, 进而可求出an=n!（-1 ）i （1i! ）.