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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 变量替换法巧解数学三角题 在三角函数问题中，通过引人变量进行替换，把问题转化成对新变量的讨论。这种替换可以架起已知通向未知的 桥梁，转化原问题的结构，简化解题过程。替换如果用的巧妙，还可以收到事半功倍的效果。 一、代数替换 通过替换把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开解三角函数式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易 的目的。 例 1 求 cos36-cos72 的值。 解：设 x=cos36， y=cos72，由 136cos272cos 2 得12 2 xy， 又72cos2118sin2136cos 22 ，则
2、 2 21yx。 因为)(2)(2 22 yxyxyxyx， 所以 x+y0 所以 2 1 yx，即 2 1 72cos36cos。 例 2 已知 a0，求 y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值与最小值。 解： 2 cossin)cos(sin)(cos(sinaxxxxaaxaxy， 设 sinx+cosx=t，则22t且)1( 2 1 cossin 2 txx，代入已知式得：)1( 2 1 )( 2 1 22 aaty。 （1）若20a，则当 t=-a 时，函数取得最小值为)1( 2 ay；当2t时，函数取得最大值为 2 1 2 2 aay。 （2）若2a，则当2t时，函数取得最小
3、值为 2 1 2 2 aay，当2t时，函数取得最大值为 2 1 2 2 aay。 二、整体替换 用整体替换解一些三角习题，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。 例 3 已知 2 2 sinsinyx，求 cosx+cosy 的变化范围。 解：设 u=cosx+cosy ，将已知式与待求式两边平方得： yyxx 22 sinsinsin2sin 2 1 ， （1） yyxxu 222 coscoscos2cos。 （2） （1）+（2）得：)cos(22 2 12 yxu，即 2 3 )cos(2 2 uyx， 因为2)cos(22yx， 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - 所以
4、2 2 3 2 2 u， 解得 2 14 2 14 u。 所以 2 14 coscos 2 14 yx。 三、引入参数 通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论。 例 5 已知 5 1 cossin，其中0，求 tan 。 解：设t 10 1 sin，t 10 1 cos，则 1) 10 1 () 10 1 ( 22 tt，解得： 10 7 t。若 10 7 t，则0 5 3 sin，不合题意，舍去。 若 10 7 t，则 5 4 sin， 5 3 cos，故 3 4 tan。 例 6 求函数 xx xx y sincos1 cossin 的最大值与最小值。 解：设tsxsin，
5、cosx=s-t ，由1cossin 22 xx，得 22 2 1 st， 因为0 2 t，所以 2 2 | s。 于是有 2 1 21 ) 2 1 )( 2 1 (2 21 2 1 2 21 2 22 s s ss s s s ts y， 因为 2 2 2 2 s， 所以 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 s。 所以函数y 的最大值为 2 1 2 2 ，最小值为 2 1 2 2 。 四、降次换元 如果所求问题的条件或结论中的各项次数较高，可用“代换法”达到降次的目的，这是简化问题的最佳策略。 例 7 已知1coscossincsc 2222 ，求证： 222 sintancot 证明：
6、设a 2 cot，b 2 tan，c 2 sin，则已知条件式化为 用心爱心 专心118 号编辑- 3 - 1)1( 1 1 ) 1 1 1)(1(c bb a，化简即得：ab=c。 所以 222 sintancot。 例 8 已知1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A ，求证：1 sin sin cos cos 2 4 2 4 A B A B 。 证明：设aA 2 cos，bB 2 cos，则由1 sin sin cos cos 2 4 2 4 B A B A 得：1 1 )1( 22 b a b a ，即 )1()1()1( 22 bbabba，化简得：0)(
7、2 ba，即 a=b，所以有BA 22 coscos。 故1sincos sin sin cos cos sin sin cos cos22 2 4 2 4 2 4 2 4 AA A A A A A B A B 。 五、三角替换 对于有些三角问题，如果能依据其特征，合理地引入三角替换，把问题结构转化，这样解题构思别致，解题过程 简捷巧妙。 例 9 求函数|sin|sin 4 1 2 xxy的值域。 解：由题意知： 4 1 sin0 2 x，即 2 1 sin 2 1 x。 设sin 2 1 sin x，其中 22 ，则sin 2 1 cos 2 1 y。 当 2 0时，) 4 sin( 2 2
8、 y， 因为 2 0， 444 ， 所以1) 4 sin( 2 2 ， 即 2 2 2 1 y。 当 0 2 时，) 4 cos( 2 2 y，因为0 2 ， 444 ， 所以1) 4 cos( 2 2 ，即 2 2 2 1 y。 综上述，所求函数的值域为 2 2 2 1 y。 例 10 锐角、满足条件1 sin cos cos sin 2 4 2 4 ，求证 2 。 用心爱心 专心118 号编辑- 4 - 证明：由已知可设：cos cos sin 2 ，sin sin cos 2 则coscossin 2 ， （1） sinsincos 2 ， （2） （1）+（2）得： k21)cos(，
9、所以Zkk2， 所以 22 coscoscossin， 22 sinsinsincos， 因为、为锐角，所以) 2 sin(cossin， 所以 2 ，即有 2 。 例 11 已知1 tan tan sec sec 2 4 2 4 ，求证：1 tan tan sec sec 2 4 2 4 。 证明：由已知可设：sec sec sec 2 ，tan tan tan 2 ， 则secsecsec 2 ， （1） tantantan 2 ， （2） （1）- （2）得： 1tantansecsec，整理、变形又得： k21)cos(， 所以)(2Zkk， 所以 22 secsecsecsec， 22 tantantantan 所以1tansec tan tan sec sec tan tan sec sec 22 2 4 2 4 2 4 2 4 。