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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 高三二轮复习专题讲座 专题一函数 南京师范大学附属中学孙旭东 一、高考考纲要求 考点高考要求 1 映射的概念了解 2 函数的概念理解 3 函数的单调性的概念了解 4 简单函数单调性的判断掌握 5 函数的奇偶性了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系了解 8 简单函数的反函数的求法掌握 9 分数指数幂的概念理解 10 有理数指数幂的运算性质掌握 11 指数函数的概念、图象和性质掌握 12 对数的概念理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质掌握 15 运用函数的性质解决简单的实际问题掌握 说明： 1了解：要
2、求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在 有关的问题中直接应用； 2理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断， 并能利用知识解决有关问题； 3灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复 杂的或综合性的问题 （以下两点分析主要针对的是2004 年全国各地的高考试题，共15 套） 二、高考考点分析： 在 2004 年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56 道，在 150 分中约占25 分到 30 分对函数，常常从以下几个方面加以考查 1对函数的基本性质进行考查在2004
3、年的高考题中，对函数性质的考查大致分布如 下表： 知识点函 数 的 解 析 式 定 义 域 和 值 域 （包括最大 值和最小值） 函 数 的 单 调 性 函 数 的 奇 偶 性和周期性 函数的反函 数 题量2 7 3 3 5 对这些知识考查，以选择题和填空题为主，同时以二次函数、指数函数、对数函数、三 角函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例 1 （重庆市）函数)23(log 2 1 xy的定义域是（D ） 20042005 学年南京市高 三教师寒假培训材料之一 知识就是力量 A、1, ) B、 2 3 (,)C、 2 3 ,1D、 2 3 (,1 例 2
4、 （天津市）函数 1 2 3 x y （01x）的反函数是（D ） A、) 3 1 (log1 3 xxyB、) 3 1 (log1 3 xxy C、)1 3 1 (log1 3 xxyD、)1 3 1 (log1 3 xxy 也有个别小题的难度较大，如 例 3 （北京市）函数 , () , x xP fx x xM 其中 P、 M 为实数集R 的两个非空子集，又规定 fPy yfxxP()|(), ， fMy yfxxM()|(), ，给出下列四个判断： 若PM，则 fPfM()() 若PM，则 fPfM()() 若PMR，则 ()()fPfMR 若PMR，则 ()()fPfMR 其中正确判
5、断有（B ） A、 1 个B、 2 个C、 3 个D、 4 个 分析：若PM，则只有0MP这一种可能和是正确的 2对数形结合思想、函数图象及其变换的考查对图象的考查有6 道试题，也以小题为 主，难度为中等 例 4 （上海市）设奇函数f(x)的定义域为 -5，5若当 x0， 5时 f(x)的图象如右图，则不等式f(x)3 时，关于 x 的方程 f(x)= f(a)有三个实数解 解： （ 1）由已知 ,设 f1(x)=ax 2，由 f 1(1)=1，得 a=1，故 f1(x)= x 2 设 f2(x)= x k (k0)，它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k，k)、B(k,k) 由 AB =8
6、，得 k=8，故 f2(x)= x 8 所以 f(x)=x 2+ x 8 （2）证法一：由f（x）=f（a）得 x 2+ x 8 =a 2+ a 8 ，即 x 8 =x 2+a2+ a 8 在同一坐标系内作出f2(x)= x 8 和 f3(x)= x 2 +a 2+ a 8 的大致图 象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限 的双曲线， f3(x)的图象是以 (0，a 2 + a 8 )为顶点， 开口向下的抛物线 因此 ,，f2(x)与 f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a) 有一个负数解 又因为 f2(2)=4,，f3(2)= 4+a 2+ a 8
7、当 a3 时，f3(2)f2(2)= a 2 + a 8 80, 所以当 a3 时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2，f(2)在 f2(x)图象的上方 所以 f2(x)与 f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解 因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解 证法二：由f(x)=f(a)，得 x 2+ x 8 =a 2 + a 8 ， 即 (xa)( x+a ax 8 )=0，得方程的一个解x1=a 方程 x+a ax 8 =0 化为 ax 2+a2x8=0，由 a3， =a 4+32a0，得 x2= a aaa 2 32 42 ， x3= a aaa 2 3
8、2 42 ， 因为 x20, 所以 x1 x2，且 x2 x3 若 x1= x3，即 a= a aaa 2 32 42 ，则 3a 2= aa32 4 ， a 4=4a， 得 a=0 或 a= 3 4 ，这与 a3 矛盾，所以x1 x3 故原方程 f(x)=f(a)有三个实数解 例 8 （福建高考题）已知f(x)= 23 2 4() 3 xaxxxR在区间 1，1上是增函数 （）求实数a 的值组成的集合A； （）设关于x 的方程 f(x)= 3 3 1 2xx的两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数m， 使得不等式m 2+tm+1|x 1 x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立？若存在，求
9、m 的取值范围； 若不存在，请说明理由. 知识就是力量 解： （） f(x)=4+2,2 2 xaxf(x)在1，1上是增函数， f(x)0 对 x1，1恒成立，即x 2ax20 对 x1，1恒成立 设(x)=x 2ax2， 方法一： 021)1( 021)1( a a 1a1， 对 x1， 1，只有当a=1 时， f(-1)=0 以及当 a=1 时， f(1)=0 A= a|1a1. 方法二： 021)1( 0 2 a a 或 021)1( 0 2 a a 0a1 或 1a01 a1 对 x 1，1，只有当a=1 时，f( 1)=0 以及当 a=1 时，f(1)=0， A= a|1a1 （）
10、由,02,0, 3 1 2 3 2 4 2332 axxxxxxaxx或得 =a 2+80， x 1，x2是方程 x 2ax2=0 的两非零实根， x1+x2=a，x1x2=2， 从而 |x1x2|= 21 2 21 4)(xxxx=8 2 a 1a1， |x1-x2|=8 2 a3 要使不等式m 2+tm+1 |x 1x2|对任意 aA 及 t1， 1恒成立， 当且仅当m 2+tm+13 对任意 t1，1恒成立， 即 m 2 +tm20 对任意 t1，1恒成立 . 设 g(t)=m 2+tm2=mt+(m2 2)， 方法一：g(1)=m 2m20 且 g(1)=m2 +m20，m2 或 m
11、2. 所以，存在实数m，使不等式m 2+tm+1 |x 1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其取 值范围是 m|m2，或 m 2. 方法二：当m=0 时，显然不成立； 当 m0 时，m0，g(1)=m 2m2 0 或 m1，f(x)=k(x-1)(xR) 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于P 点已知四边形OAPB 的面积是 3，则 k 等于（B） A、3 B、3 2 C、 4 3 D、6 5 例 8 （上海市）记函数f(x)= 1 3 2 x x 的定义域为A，g(x
12、)=lg(xa1)(2a x)(a0，得 (xa1)(x 2a)2a，故 B=(2a，a+1) 因为 BA，所以 2a1或 a+1 1，即 a 2 1 或 a 2，而 a2 时，有 f（x）0，于是有 a0，故 b0 恒成立，试求a 的取值范围 分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用当a= 2 1 时， f(x)=2 2 1 x x222 2 1 2 x x ，当且 仅当 2 2 , 2 1 x x x即 时等 号成 立，而 1 2 2 ，也就是说这个最小值是取不到的 解： (1)当 a= 2 1 时，f(x)=2 2 1 x x，函数 f(x)在区间, 1上为增函数（
13、证明略） ，所以 当 x=1 时，取到最小值f(1)=3.5. (2)解法一： f(x)0 恒成立， 就是 x 2+2x+a0 恒成立， 而函数 g(x)=x2+2x+a 在 ,1上增函 数，所以当x=1 时， g(x)取到最小值3+a，故 3+a0，得： a-3 解法二： f(x)0 恒成立，就是x 2 +2x+a0 恒成立，即a-x 2-2x 恒成立，这只要 a 大于函数 -x 2-2x 的最大值即可 而函数 -x2-2x 在 ,1上为减函数， 当 x=1 时，函数 -x 2-2x 取到最大值 -3， 所以 a-3 说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从
14、函数的 高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题 3某工厂有一个容量为300 吨的水塔，每天从早上6 时起到晚上10 时止供应该厂的生产和 生活用水，已知该厂生活用水为每小时10 吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定 早上 6 时 t0）的函数关系为W100 t 水塔的进水量分为10 级，第一级每小时进水10 吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10 吨若某天水塔原有水100 吨，在开始供水的 同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会 使水溢出 ? 分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实
15、际问题.解本题时 , 在 建立函数关系式后,根据题意应有0y300对t恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关 系） 0 1 2 x y 知识就是力量 解：设进水量选第x级，则 t小时后水塔中水的剩余量为y10010xt 10t100t，且 0t 160 y300， 010010xt10t100t300 由左边得x110（ t t 11 ） 110 2 ) 2 11 ( t 4 1 当 t4 时， 1 10 2 ) 2 11 ( t 4 1 有最大值35x35 由右边得x t t 1020 1，当 t16 时， t t 1020 1 有最小值 475， x475 综合上述，进水量应选为第4
16、说明：a 为实数， 函数 f(x)定义域为D，若 af(x)对xD恒成立， 则 af(x)的最大值； 若 af(x) 对xD恒成立，则af(x)的最小值 4设xf是定义在 -1 ，1上的偶函数，xg与xf的图象关于直线01x对称且当 3,2x时，为实数axxaxg 3 2422 （1）求函数xf的表达式； （2）在6,2a或,6的情况下， 分别讨论函数xf的最大值， 并指出 a 为何值时， xf的图像的最高点恰好落在直线12y上 分析： （ 1）注意到xg是定义在区间3,2上的函数， 因此， 根据对称性， 我们只能求出xf 在区间 0, 1 上的解析式， xf 在区间 1 ,0 上的解析式，则
17、可以根据函数的奇偶性去求 简答： 1024 0124 3 3 xaxx xaxx xf （2）因为xf为偶函数， 所以，xf（11x）的最大值， 必等于xf在区间1 ,0 上的最大值故只需考虑10x的情形，此时，axxxf24 3 对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性因此，可 以求函数 xf 的导数 简答：如果,6a可解得： 8a ； 如果6,2a，可解得：6183 3 a，与6,2a矛盾 故当8a时，函数xf的图像的最高点恰好落在直线12y上 知识就是力量 说明： （1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质 时，将问题简化到定
18、义域的对称区间上 5已知函数 32 11 ()(1) 32 fxxbxcx(b、c 为常数 ), ( ) 若 ()fx 在 x=1 和 x=3 处取得极值，试求b、c 的值； ( )若()fx在 12 (,),(,)xxx上单调 递增且 在 12 (,)xxx上单调递减 ,又满足 21 1xx，求证： 2 2(2 )bbc； ( ) 在（）的条件下，若 1 tx ，试比较 2 tbtc与 1 x 的大小，并加以证明 解：() 2 ()(1)fxxbxc， 由题意得 :1 和 3 是方程 2 (1)0xbxc的两根， 113, 13. b c 解得 3, 3. b c ()由题得 :当 12 (
19、,), (,)xxx时， ()0fx； 12 (,)xxx时, ()0fx 12 ,xx 是方程 2 (1)0xbxc 的两根，则 1212 1,xxb x xc 22 2 121212 2 1212 2 21 2(2 )24 1()21()4 ()41 ()1. bbcbbc xxxxx x xxx x xx 21 1xx, 22 21 ()10,2(2 )xxbbc. () 在()的条件下 ,由上一问知 2 12 (1)()(),xbxcxxxx 即 2 12 ()(),xbxcxxxxx 所以 2 112112 ()()()(1),tbtcxtxtxtxtxtx 21211 11,10,0,0,xxttxtxtx又 2 121 ()(1)0,.txtxtbtcx即