《k52006年高考第一轮复习数学：10.5二项式定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：10.5二项式定理.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 10.5 二项式定理 知识梳理 1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础. 2.二项展开式的性质是解题的关键. 3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进 行近似计算等 . 点击双基 1.已知（ 13x） 9=a 0+a1x+a2x 2+a 9x 9，则 a 0+a1+a2+a9等于 A.2 9 B.4 9 C.3 9 D.1 解析： x 的奇数次方的系数都是负值， a0+a1+a2+ a9 =a0a1+a2a3+ a9. 已知条件中只需赋值x=1 即可 . 答案： B 2.（2004 年江苏，
2、 7） （2x+x） 4 的展开式中x 3 的系数是 A.6 B.12 C.24 D.48 解析： （2x+ x） 4 =x 2（ 1+2 x） 4 ，在（ 1+2 x ） 4 中， x 的系数为C 2 4 2 2 =24. 答案： C 3.（2004 年全国， 5） （2x 3 x 1 ） 7 的展开式中常数项是 A.14 B.14 C.42 D.42 解析：设 （ 2x 3 x 1 ） 7 的展开式中的第r+1 项是 T 1r =C r 7（2x 3） r7 （ x 1 ） r=Cr 7 2 r7 （ 1） r x )7(3 2 x r ， 当 2 r +3（7r）=0，即 r=6 时，它
3、为常数项，C 6 7 （ 1） 621=14. 答案： A 4.（ 2004 年湖北， 文 14）已知（ x 2 3 +x 3 1 ） n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式 中 x 5 的系数是 _.（以数字作答） 解析：（ x 2 3 +x 3 1 ） n 的展开式中各项系数和为128， 令 x=1，即得所有项系数和为2 n =128. n=7.设该二项展开式中的r+1 项为 T 1r =C r 7 （ x 2 3 ） r7 （x 3 1 ） r =C r 7 x 6 1163r ， 知识就是力量 令 6 1163r =5 即 r=3 时， x 5 项的系数为C 3 7 =35. 答
4、案： 35 5.若（ x+1） n=xn +ax 3 +bx 2+cx+1（ nN*） ，且 ab=31，那么 n=_. 解析： ab=C 3 n C 2 n =31，n=11. 答案： 11 典例剖析 【例 1】如果在（x+ 4 2 1 x ） n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的 有理项 . 解：展开式中前三项的系数分别为1， 2 n ， 8 )1( nn ， 由题意得2 2 n =1+ 8 )1( nn ，得 n=8. 设第 r+1 项为有理项，T 1r =C r 8 r 2 1 x 4 316r ，则 r 是 4 的倍数，所以r=0，4，8. 有理项为T1=x 4，T 5
5、= 8 35 x，T9= 2 256 1 x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r. 【例 2】求式子（ x+ | 1 x 2） 3 的展开式中的常数项. 解法一：（ x+ | 1 x 2） 3 =（ x+ | 1 x 2） （ x+ | 1 x 2） （ x+ | 1 x 2）得 到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（ 2） 3；一个括号取 x，一个括号取 | 1 x ，一个括号取2，得 C 1 3C 1 2 （ 2）= 12， 常数项为（2） 3 +（ 12）=20. 解法二：（|x|+ | 1 x 2） 3 =（| x | 1 x ） 6. 设第 r+
6、1 项为常数项， 则 T 1r =C r 6 （ 1） r （ | 1 x ） r |x| r6 =（ 1） 6 Cr 6 |x| r26 ，得 62r=0，r=3. T3+1=（ 1） 3C3 6=20. 思考讨论 （1）求（ 1+x+x 2+x3） （1x）7 的展开式中x 4 的系数； （2）求（ x+ x 4 4） 4 的展开式中的常数项； （3）求（ 1+x） 3+（1+x）4+（1+x）50 的展开式中x 3 的系数 . 知识就是力量 解： （1）原式 = x x 1 1 4 （1x） 7=（1x4） （1x）6，展开式中 x 4 的系数为（ 1） 4C4 6 1=14. （2）（
7、 x+ x 4 4） 4 = 4 42 )44( x xx = 4 8 )2( x x ， 展开式中的常数项为C 44 82 （ 1） 4 =1120. （3）方法一：原式= 1)1( 1)1()1( 483 x xx = x xx 351 )1()1( . 展开式中x 3 的系数为C 4 51. 方法二：原展开式中x 3 的系数为 C 3 3+C 3 4 +C 3 5+C 3 50 =C 4 4 +C 3 4 +C 3 50 =C 4 5 +C 3 5 +C 3 50 =C 4 51 . 评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键. 【例 3】 设 an=1+q+q 2+q 1
8、n （nN * ，q 1） ，An=C 1 n a1+C 2 n a2+C n n an. （1）用 q 和 n 表示 An； （2） （理）当 32.所以 2（1+ n 1 ） n3. 思悟小结 1.在使用通项公式T 1r =C r n rn ab r 时，要注意： （1）通项公式是表示第r 1 项，而不是第r 项 . （2）展开式中第r+1 项的二项式系数C r n 与第 r+1 项的系数不同. （3）通项公式中含有a， b，n，r， T 1r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以 求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另 外几个元素的问题，这类
9、问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这 里必须注意n 是正整数， r 是非负整数且r n. 知识就是力量 2.证明组合恒等式常用赋值法. 教师下载中心 教学点睛 1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式. 2.要注意区分项的系数与项的二项式系数. 3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用. 4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握. 拓展题例 【例题】求（ a2b3c） 10 的展开式中含a 3b4c3 项的系数 . 解： （a2b3c） 10=（a2b3c） （a 2b3c）（ a2b3c） ，从 10 个括号中任取 3 个括号，从中取a；再从剩余7 个括号中任取4 个括号，从中取2b；最后从剩余的3 个 括号中取 3c， 得含 a 3b4c3 的项为 C 3 10 a 3C4 7 （ 2b） 4C3 3（ 3c） 3=C3 10 C 4 7 C 43 3 2（ 3） 3 a 3b4 c 3 . 所以含 a 3b4c3 项的系数为C 3 10C 4 7 1627.