《k52006年高考第一轮复习数学：12.2总体期望值和方差的估计.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：12.2总体期望值和方差的估计.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 12.2 总体期望值和方差的估计 知识梳理 1.平均数的计算方法 （1）如果有n 个数据 x1，x2，, ， xn，那么x= n 1 （ x1+x2+,+xn）叫做这n 个数据的平 均数，x读作“ x 拔” . （2）当一组数据x1，x2，, ， xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的 常数 a，得到 x1=x1a，x2=x2a，, ，xn=xna，那么，x=x+a. （3） 加权平均数： 如果在 n 个数据中，x1出现 f1次， x2出现 f2次， , ， xk出现 fk次 （f1+f2+, +fk=n） ，那么 x= n fxfx
2、fx kk2211 . 2.方差的计算方法 （1）对于一组数据x1，x2，, ，xn，s 2= n 1 （ x1x） 2+（x 2x） 2+, +（xnx） 2 叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差 . （2）公式 s 2 = n 1 （ x1 2 +x2 2+, +xn 2） n x 2. （3）当一组数据x1，x2，, ， xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a， 得到 x1=x1a，x2=x2a，, ， xn=xna. 则 s 2 = n 1 （x1 2+x 2 2+, +xn 2） n 2 x. 3.总体平均值和方差的估计 人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均
3、数估计总体平均值，用样本方差 估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 点击双基 1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是 A.样本均值xB.样本方差 C.样本最大值D.样本最小值 解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选 B. 答案： B 2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10 次，命中环数如下： 甲： 8，6，9，5，10，7，4， 8，9，5； 乙： 7，6，5，8，6， 9，6，8，7，7. 根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙B.乙优于甲 C.两人没区别D.两人区别不大 知识就是力量 解析： x甲= 10
4、1 （8+6+,+5）=7.1，x乙= 10 1 （7+6+,+7）=6.9. s甲 2= 10 1 （87.1） 2+, +（5 7.1）2=3.69， s乙 2= 10 1 （76.9） 2+, +（7 6.9）2=1.29. 乙优于甲 . 答案： B 3.样本 a1，a2，a3，, ，a10的平均数为a，样本 b1，b2，b3，, ，b10的平均数为b，那 么样本 a1，b1，a2，b2，, ，a10，b10的平均数为 A.a+bB. 2 1 （a+b） C.2（ a+b） D. 10 1 （a+b） 解析：样本a1，a2， a3，, ， a10中 ai的概率为Pi，样本 b1，b2，b
5、3，, ，b10中 bi的概率 为 Pi，样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，, ， a10，b10中 ai的概率为qi，bi的概率为qi，则 Pi=2qi，故样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，, ， a10，b10的平均数为a1q1+b1q1+a2q2+b2q2+, +a10q10+b10q10= 2 1 （a1P1+,+a10P10）+ 2 1 （b1P1+ 2 1 b2P2+,+ 2 1 b10P10）= 2 1 （a+b）. 答案： B 4.电池厂从某日生产的电池中抽取10 个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h） ：30， 35， 25，25，30， 34，26，25，29
6、， 21.则该电池的平均寿命估计为_，方差估计 为_. 解析：x= 10 1 （30+35+25+25+30+34+26+25+29+21 ） = 10 1 （0+555+0+44 519）+30 =28， s 2= 10 1 （30 28） 2+（3528）2 +（ 2528） 2+（2528）2+（3028）2 +（3428） 2+ （2628） 2+（2528）2+（2928）2+（2128）2 = 10 1 （4+49+9+9+4+36+4+9+1+49 ） =17.4. 答案： 28 17.4 典例剖析 【例 1】x是 x1，x2，, ， x100的平均数， a是 x1，x2，, ，
7、 x40的平均数， b 是 x41，x42，, ， x100的平均数，则下列各式正确的是 A.x= 100 6040ba B.x= 100 4060ba C.x=a+b D.x= 2 ba 知识就是力量 剖析：这100 个数的平均数是a+b 还是 2 1 （a+b） ，这都很容易让人误解.我们可以从概 率及加权平均数的角度来思考. 设 Pi是 x1，x2，, ， x100中 xi被抽到的概率，qi是 x1，x2，, ，x40中 xi被抽到的概率， ri是 x41，x42，, ，x100中 xi被抽到的概率，则Pi= 100 40 qi，Pi= 100 60 ri.故 x1，x2，, ，x100
8、的平 均数x= 100 40 （ x1q1+x2q2+,+x40q40）+ 100 60 （x41r41+,+x100r100） = 100 40 a+ 100 60 b. 答案： A 评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？ 特别提示 除了上述方法外，我们还可以先分别求出x1+x2+,+x40=40a，x41+x42+,+x100=60b，再 求x. 【例 2】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5 次， 成绩如下表（单位：环） 甲10 8 9 9 9 乙10 10 7 9 9 如果甲、乙两人只有1 人入选，则入选的应是_. 剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳
9、定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x1= 5 1 （10+8+9+9+9 ）=9， 乙的平均数为x2= 5 1 （10+10+7+9+9 ）=9， 甲的方差为s甲=（109） 2 5 1 +（89） 2 5 1 = 5 2 ， 乙的方差为s乙=（109） 2 5 1 2+（79） 2 5 1 = 5 6 . s乙s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲 评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低. 【例 3】 某班 40 人随机分为两组，第一组18 人，第二组22 人，两组学生在某次数学 检测中的成绩如下表： 分组平均成绩标准差 第一组90 6 第二组80 4 求
10、全班的平均成绩和标准差. 剖析：代入方差公式s 2= n 1 （x1 2+x 2 2+, +x n 2） n x 2即可求得 . 解：设全班的平均成绩为x，全班成绩的方差为s 2， 则 s1 2= 18 1 （x1 2+x 2 2 +, +x18 2） 18902=36， 知识就是力量 s2 2 = 22 1 （x19 2 +x20 2+, +x 40 2） 22 802=16. x= 40 1 （9018+8022）= 2 169 =84.5， s 2= 40 1 （ x1 2 +x2 2 +,+x18 2）+（x 19 2+x 20 2 +,+x40 2 ） 40x 2 = 40 1 18
11、（ 36+8100）+22（ 16+6400） 40 4 169 2 = 40 1 （146448+14115210169 2） = 40 1 1990=49.75. s= 2 199 7.05. 评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例 4】 已知 c 为常数， s 2= n 1 （x1x） 2+（x 2x） 2+, +（xnx） 2 ，s c 2= n 1 （x1 c） 2 +（x2c） 2+, +（xnc） 2.证明： s2s c 2，当且仅当 c=x时，取“ =”. 剖析：证明sc 2s2，可证明 sc 2s20.因此应用方差公式进行变形即可 . 证明：
12、 s 2= n 1 （ x1x） 2+, +（xnx） 2 = n 1 （x1 2 +x2 2 +,+xn 2） n x 2 ， sc 2 = n 1 （x1c） 2+（x 2c） 2+, +（xnc） 2 = n 1 （x1 2 +x2 2 +,+xn 2） 2c（x 1+x2+,+xn） +nc 2 ， sc 2s2 =x 2 n c2 （x1+x2+,+xn）+c 2 =x 22c x+c 2=（ xc） 20. sc 2s2，当且仅当 x=c 时取“ =”. 评述：作差是比较大小的常用手段. 闯关训练 夯实基础 1.一组数据的方差为s 2 ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组
13、新数据的方 差是 A. 2 1 s 2 B.2s 2 C.4s 2 D.s 2 解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s 2. 答案： C 2.某班有 48 名学生，在一次考试中统计出平均分为70 分，方差为75，后来发现有2 知识就是力量 名同学的成绩有误，甲实得80 分却记为50 分，乙实得70 分却记为100 分，更正后平均分 和方差分别是 A.70，25 B.70，50 C.70，1.04 D.65，25 解析：易得x没有改变，x=70， 而 s 2 = 48 1 （x1 2+x 2 2 +,+50 2+1002+, +x 48 2） 48 x 2=75， s 2= 48 1 （x1
14、2+x 2 2+, +802+702+, +x48 2） 48 x 2 = 48 1 （7548+48x 2 12500+11300） 48 x 2 =75 48 1200 =7525=50. 答案： B 3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2） ： 品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产品比较稳定的小麦品种是_. 解析：x甲= 5 1 （9.8+9.9+10.1+10+10.2 ） =10， x 乙= 5 1 （9.4+10.3+10
15、.8+9.7+9.8 ）=10， s甲 2= 5 1 （9.810） 2+（9.9 10）2+（10.110）2 +（10 10） 2+（10.210）2=0.02， s 乙 2= 5 1 （9.410） 2+（10.310）2+（10.810）2 +（9.710） 2 +（9.810） 2=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲 4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化 关系式为Z= s xx （其中 x 是某位学生的考试分数，x是该次考试的平均分，s 是该次考试 的标准差， Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常
16、常再将 Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变 换公式是T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85 分，这次考试的平均分是 70 分，标准差是25，则该考生的T 分数为 _. 解析：由已知Z= 25 7085 = 5 3 ， T=40 5 3 +60=24+60=84. 故考生成绩的T 分数为 84. 答案： 84 5.已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季度一二三四 甲厂 70 50 80 40 乙厂55 65 55 65 知识就是力量 试分析两厂上缴利税的情况. 解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为 x 甲= 4
17、 1 （70+50+80+40 ）=60， x 乙= 4 1 （55+65+55+65 ）=60； 甲、乙两厂上缴利税的方差为 s甲 2= 4 1 （7060） 2+（5060）2 +（8060） 2+（ 4060）2 =250， s乙 2= 4 1 （5560） 2+（6560）2 +（5560） 2+（ 6560）2 =25. 经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产 出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定. 培养能力 6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1 名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名 选手测试了8 次，成
18、绩如下表： 选手成绩（ s）1 2 3 4 5 6 7 8 甲 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5 根据成绩，请你作出判断，派哪位选手参加更好，为什么？ 解：x甲=12.4=x乙， s甲 2=0.12 ，s 乙 20.10， 甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛. 7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验 田上试种，每块试验田均为0.5 公顷，产量情况如下： 品种 产量（ kg） 1 2 3 4 5 1 21.5 2
19、0.4 22.0 21.2 19.9 2 21.3 18.9 18.9 21.4 19.8 3 17.8 23.3 21.4 19.1 20.9 问：哪一品种的西红柿既高产又稳定？ 解：x1= 5 1 （21.5+20.4+ ,+19.9）=21， x2= 5 1 （21.3+18.9+,+19.8）=21， x3= 5 1 （17.8+23.3+,+20.9）=20.5， s1=0.756 ， s2=1.104 ， s3=1.901. 由x 1=x2x3，而 s1s2s3，说明第 1 种西红柿品种既高产又稳定. 8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10 个，它们的
20、 尺寸分别为（单位：mm） ： 知识就是力量 甲： 10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1 乙： 10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10 分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm，从计算结 果看，用哪台机床加工这种零件较合适？ 解：x甲= 10 1 （10.2+10.1+ ,+10.1）=10， x 乙= 10 1 （ 10.3+10.4+ ,+10）=10， s甲 2= 10 1 （10.210） 2+（10.110）2+, +（ 10.110） 2=0.03， s乙 2=
21、 10 1 （10.310） 2+（10.410）2+, +（ 1010） 2=0.06. 由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适. 探究创新 9.有一个容量为100 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 12.5，15.5） ，6； 15.5，18.5） ，16； 18.5，21.5） ，18； 21.5，24.5） ，22； 24.5， 27.5） ，20； 27.5，30.5） ，10； 30.5，33.5） ，8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5 的概率 . 解： （1）样本的频率分布表如下： 分组频数频率 12.515.
22、5 6 0.06 15.518.5 16 0.16 18.521.5 18 0.18 21.524.5 22 0.22 24.527.5 20 0.20 27.530.5 10 0.10 30.533.5 8 0.08 合计 100 1.00 （2）频率分布直方图如下图. 频 率 组 距 1 2. 5 1 8. 5 2 4. 530. 5 数 据 （3）数据大于等于30.5 的频率是0.08，小于30.5 的频率是0.92.数据小于30.5 的 概率约为0.92. 探究： 解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最 小数据之差除组距得组数）； （2）分别计算各组的
23、频数及频率（频率= 总数 频数 ） ； （ 3）画出频 率分布直方图，并作出相应的估计. 注意直方图与条形图的区别. 知识就是力量 思悟小结 1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和 方差对总体进行估计，即用样本平均数x去估计总体平均数；用样本方差s 2 去估计总体的 方差 2，进一步对总体的分布作出判断 . 2.进行几次实验，得到样本数据x1，x2，, ， xn，设 c 是任意常数， k 为任意的正数，作 变换 yi= k 1 （xic） （i=1，2，, ， n） ，则有：x=ky+c； sx 2=k2s y 2 . 教师下载中心 教学点睛 1.期望反
24、映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高. 2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定. 拓展题例 【例 1】 如果数据 a1， a2，, ，a6的方差是6，那么另一组数据a13，a23，, ， a6 3 的方差是多少？ 解：设 a1，a2，, ，a6的平均数为a，则（ a13） ， （a23） ，, ， （a63）的平均数为 a3，方差为s 2= 6 1 （a13）（a3） 2+, + （a63）（a3） 2=6. 【例 2】已知样本方差由s 2 = 10 1 10 1i （ xi5） 2 求得，求 10 1i xi. 解：依 s 2= n 1 （x1x） 2+, +（xnx） 2 = n 1 x1 2+x 2 2 +,+xn 2n x 2知， 10 1 10 1i xi=5. 10 1i xi=50.