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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 12.2 离散型随机变量的期望值和方差 知识梳理 1.期望：若离散型随机变量，当 =xi的概率为 P（=xi）=Pi（i=1，2， n，） ， 则称 E=xi pi为 的数学期望，反映了的平均值 . 2.方差：称D=（ xiE） 2 pi为随机变量 的均方差，简称方差. D叫标准差， 反映了 的离散程度 . 3.性质： （ 1）E（a+b）=aE+b， D（ a+b）=a 2D（a、b 为常数） . （2）若 B（n， p） ，则 E=np，D=npq（ q=1 p）. 点击双基 1.设投掷 1 颗骰子的点数为，则 A.E =3.5，D=3.5
2、2 B.E=3.5，D= 12 35 C.E =3.5，D=3.5 D.E=3.5，D= 16 35 解析： 可以取 1，2，3，4，5，6. P（ =1）=P（=2）=P（ =3）=P（ =4）=P（=5）=P（ =6）= 6 1 ， E =1 6 1 +2 6 1 +3 6 1 +4 6 1 +5 6 1 +6 6 1 =3.5， D = （13.5） 2+（ 23.5）2+（33.5）2+（ 43.5）2+（53.5）2+（63.5）2 6 1 = 6 5.17 = 12 35 . 答案： B 2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10 次，其出事故的次数为 ，则下列结论正确 的是 A
3、.E =0.1 B.D =0.1 C.P（ =k）=0.01 k0.9910k D.P（=k）=C k 10 0.99 k0.0110k 解析： B（n，p） ，E=100.01=0.1. 答案： A 3.已知 B（n，p） ，且 E=7，D =6，则 p 等于 A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 解析： E=np=7，D=np（1p）=6，所以 p= 7 1 . 答案： A 4.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发 病的牛的头数为 ，则 D等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 知识就是力量 解析： D
4、=100.020.98=0.196. 答案： C 5.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，已知 E1=E2，D1 D2，则自动包装机_的质量较好 . 解析： E1=E2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D1D2说明甲机包装 重量的差别大，不稳定.乙机质量好 . 答案：乙 典例剖析 【例 1】设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D. 1 0 1 P 2 1 12qq2 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E、 D. 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所 以 , 1 ,1210 ,121 2 1 2 2 q
5、p qq 解得 q=1 2 2 . 于是， 的分布列为 1 0 1 P 2 1 2 1 2 3 2 所以 E=（ 1） 2 1 +0（2 1）+1（ 2 3 2）=12， D = 1（12） 2 2 1 +（12） 2（ 21）+1（ 12） 2（ 2 3 2）=21. 评述：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E=（ 1） 2 1 +0（12q）+1q 2=q2 2 1 . 拓展提高 既要会由分布列求E、D，也要会由E、D求分布列，进行逆向思维.如：若 是离散型随机变量，P（ =x1）= 5 3 ，P（=x2）= 5 2 ，且x1x2，又知E= 5 7 ，D= 2
6、5 6 . 求 的分布列 . 解：依题意 只取 2 个值 x1与 x2，于是有 E= 5 3 x1+ 5 2 x2= 5 7 ， D = 5 3 x1 2+ 5 2 x2 2E2= 25 6 . 知识就是力量 从而得方程组 .1123 ,723 2 2 2 1 21 xx xx 解之得 2 , 1 2 1 x x 或 . 5 4 , 5 9 2 1 x x 而 x1x2， x1=1，x2=2. 的分布列为 1 2 P 5 3 5 2 【例 2】人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3 万元，出现非意外死亡则赔付1 万元 .经统计
7、此年 龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，则 a 需满足什么条件，保险公 司才可能盈利 ? 剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数的期望值大于0，故需求E. 解：设 为盈利数，其概率分布为 aa30000 a10000 P1p1p2p1p2 且 E=a（1p1p2）+（a30000）p1+（ a10000）p2=a 30000p1 10000p2. 要盈利，至少需使的数学期望大于零，故a30000p1+10000p2. 评述：离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值. 思考讨论 本题中 D有什么实际意义? 【例 3】 把 4 个球随机地投入4 个盒子中去，设表示空盒子的个
8、数，求E、D. 剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为4 4，空盒子的个数 可能为0 个，此时投球方法数为A 4 4 =4!， P（ =0）= 4 4 !4 = 64 6 ；空盒子的个数为1 时， 此时投球方法数为C 1 4 C 2 4 A 3 3 ， P（ =1）= 64 36 . 同样可分析P（=2） ，P（ =3）. 解： 的所有可能取值为0，1，2，3. P（ =0）= 4 4 4 4 A = 64 6 ，P（=1）= 4 3 3 2 4 1 4 4 ACC = 64 36 ，P（=2）= 4 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 4 ACCCC = 64 21
9、 ， P（=3）= 4 1 4 4 C = 64 1 . 的分布列为 0 1 2 3 知识就是力量 P 64 6 64 36 64 21 64 1 E = 64 81 ，D= 2 64 1695 . 评述：本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列 . 特别提示 求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.=2 时，此时有两种情况：有2 个空 盒子，每个盒子投2 个球； 1 个盒子投3 个球，另1 个盒子投 1 个球 . 闯关训练 夯实基础 1.设服从二项分布B（n，p）的随机变量的期望和方差分别是2.4 与 1.44，则二项分 布的参数n、p 的值为 A.n=4，p=0.6 B.n=6， p=0
10、.4 C.n=8，p=0.3 D.n=24，p=0.1 解析：由E=2.4=np，D=1.44= np（1p） ，可得 1p= 4.2 44.1 =0.6，p=0.4，n= 4.0 4.2 =6. 答案： B 2.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4 颗子弹，命中 后的剩余子弹数目的期望为 A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4 解析： =0， 1，2，3，此时P（ =0）=0.4 3，P（=1）=0.60.42，P（=2）=0.6 0.4，P（=3） =0.6，E =2.376. 答案： C 3.设一次试验成功的概率为p，进行 100 次独立重复
11、试验，当 p=_时，成功次数 的标准差的值最大，其最大值为_. 解析： D=npq n（ 2 qp ） 2= 4 n ，等号在p=q= 2 1 时成立，此时，D=25， =5. 答案： 2 1 5 4.甲从学校乘车回家， 途中有 3 个交通岗， 假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的， 并且概率都是 5 2 ，则甲回家途中遇红灯次数的期望为_. 解析：设甲在途中遇红灯次数为， 则B（3， 5 2 ） ， 所以 E=3 5 2 =1.2. 答案： 1.2 5.一次单元测试由50 个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中恰有1 个是正确答 案.每题选择正确得2 分， 不选或错选得0 分， 满分是
12、 100 分.学生甲选对任一题的概率为0.8， 求他在这次测试中成绩的期望和标准差. 解：设学生甲答对题数为，成绩为 ，则 B（50，0.8） ，=2 ，故成绩的期望 为 E=E（2）=2E=2 500.8=80（分） ； 知识就是力量 成绩的标准差为=D=)2(D=D4=22.08.050=425.7（分） . 6.袋中有 4 只红球， 3 只黑球，今从袋中随机取出4 只球 .设取到一只红球得2 分，取到 一只黑球得1 分，试求得分的概率分布和数学期望. 解：直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4 只球颜色的分布情况： 4红得 8 分， 3 红 1 黑得 7 分， 2 红 2 黑得
13、6 分， 1 红 3 黑得 5 分， 故 P （=5） = 4 7 3 3 1 4 C CC = 35 4 ， P（ =6）= 4 7 2 3 2 4 C CC = 35 18 ，P（ =7）= 4 7 1 3 3 4 C CC = 35 12 ， P（ =8）= 4 7 0 3 4 4 C CC = 35 1 ，E=5 35 4 +6 35 18 +7 35 12 +8 35 1 = 35 220 = 7 44 . 培养能力 7.一台设备由三大部件组成，在设备运转中，各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，试求 的数
14、学期望 E和方差 D. 解：设 Ai= 部件 i 需要调整 （i=1，2，3） ，则 P（A1）=0.1，P（A2）=0.2，P（A3）=0.3. 由题意， 有四个可能值0，1，2，3.由于 A1，A2，A3相互独立，可见 P（ =0）=P（ 1 A 2 A 3 A）=0.90.8 0.7=0.504； P（ =1）=P（A1 2 A 3 A）+P（ 1 AA2 3 A）+P（ 1 A 2 AA3）=0.10.80.7+0.90.2 0.7+0.90.8 0.3=0.398； P（=2）=P（A1A2 3 A）+P（A1 2 AA3）+P（ 1 AA2A3）=0.10.20.7+0.10.80
15、.3+0.9 0.20.3=0.092； P（ =3）=P（A1A2A3）=0.1 0.20.3=0.006. E =10.398+20.092+30.006=0.6， D =E 2（ E）2=1 0.398+4 0.092+90.0060.62=0.820.36=0.46. 8.证明：事件在一次实验中发生的次数的方差不超过 4 1 . 证明：设事件在一次试验中发生的次数为， 的可能取值为0 或 1，又设事件在一 次试验中发生的概率为p，则 P（=0）=1p， P（ =1）=p，E=0（ 1p）+1p=p， D=（1p） （0p） 2 +p（1 p） 2 =p（1p）（ 2 1pp ） 2=
16、4 1 . 所以事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 4 1 . 探究创新 9.将数字 1，2，3，4 任意排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称之为 一个巧合，求巧合数的数学期望. 解：设为巧合数， 则 P （=0） = 4 4 A 9 = 24 9 ，P （=1） = 4 4 1 4 A 2C = 3 1 ， P （ =2）= 4 4 2 4 A C = 4 1 ， 知识就是力量 P（=3）=0，P（=4） = 4 4 4 4 A C = 24 1 ， 所以 E=0 24 9 +1 3 1 +2 4 1 +3 0+4 24 1 =1. 所以巧合数的期望为1. 思悟小结 1.
17、离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的 平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. 2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率 值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差. 3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质： E= 1i xi pi， D= 1i （xiE ） 2p i，E（a +b）=aE+b， D（a+b） =a 2D. 4.二项分布的期望与方差：若B（n，p） ，则 E=np，D=np（ 1p）. 5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当
18、概率分布 不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件 的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率. 教师下载中心 教学点睛 1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定. 2.D表示 对 E 的平均偏离程度，D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值 越分散 . 3.要培养学生运用期望与方差的意义解决实际问题的能力. 拓展题例 【例 1】若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p（0p1） ，用随机变量表示 A 在 1 次试验中发生的次数. （1）求方差D的最大值； （2）求 E D12 的最大值 . 剖析：要求D、 E D12 的最大
19、值，需求D、 E 关于 p 的函数式，故需先求 的 分布列 . 解：随机变量的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0） =1p，从 而 E=0（ 1p）+1p=p，D=（0p） 2（ 1 p）+（1p）2p=pp2. （1）D=pp 2 =（ p 2 1 ） 2+ 4 1 ， 0p1， 当 p= 2 1 时， D取得最大值为 4 1 . （2） E D12 = p pp1)(2 2 =2（ 2p+ p 1 ） ， 知识就是力量 0p1， 2p+ p 1 22. 当且仅当2p= p 1 ，即 p= 2 2 时， E D12 取得最大值222. 评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视. 【例 2】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1 的球 1 个，号数为2 的球 2 个， 号数为 3 的球 3 个，号数为n 的球 n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量，求 的概率分布和期望. 解： 的概率分布为 1 2 3 n P )1( 2 nn)1( 4 nn)1( 6 nn )1( 2 nn n E=1 )1( 2 nn +2 )1( 4 nn +3 )1( 6 nn +n )1( 2 nn n = )1( 2 nn （1 2 +2 2+32 +n 2）= 3 12n .