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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 4.3 两角和与差、二倍角的公式（二） 知识梳理 1.在公式 S（+）、C（ +）、T（ + ）中，当 =时， 就可得到公式S2、C2、T2，在公 式 S2、 C2中角 没有限制在T2中，只有当 2 k + 4 且k + 2 时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2=cos 2sin2=2cos2 1=1 2sin2 .变形公 式 sin 2 = 2 2cos1 ， cos 2= 2 2cos1 .它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 点击双基 1.下列各式中，值为 2 1 的是 A.sin15cos15B.2cos 2
2、12 1 C. 2 30cos1 D. 5.22tan1 5.22tan 2 解析： 5.22tan1 5.22tan 2 = 2 1 tan45 = 2 1 . 答案： D 2.设 a=sin14+cos14， b=sin16+cos16 ， c= 6 6 ，则 a、b、c 的大小关系是 A.abc B.acb C.bca D.bac 解析： a=2sin59， c=2sin60， b=2sin61， acb. 答案： B 3.若 f（tanx） =sin2x，则 f（ 1）的值是 A.sin2 B.1 C. 2 1 D.1 解析： f（ 1）=f tan（ 4 ） =sin 2 =1. 答
3、案： B 4.（2005 年春季上海，13）若 cos = 5 3 ，且 （ 0， 2 ） ，则 tan 2 =_. 解析一：由cos= 5 3 ，（ 0， 2 ） ，得 sin= 2 cos1 = 5 4 ， tan 2 = 2 cos 2 sin = 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 = sin cos1 = 5 4 5 3 1 = 2 1 . 知识就是力量 解析二： tan 2 = cos cos1 = 5 3 1 5 3 1 = 2 1 . 答案： 2 1 5.（2005 年春季北京，11）已知 sin 2 +cos 2 = 3 32 ，那么 sin 的值为 _， cos2的
4、值为 _. 解析：由sin 2 +cos 2 = 3 32 ，得 1+sin= 3 4 ，sin= 3 1 ， cos2=12sin 2=12 9 1 = 9 7 . 答案： 3 1 9 7 典例剖析 【例 1】试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值，若x 0， 2 呢？ 剖析：注意sinx+cosx 与 sinxcosx 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次 函数来解 . 解：令 t=sinx+cosx=2sin（x+ 4 ）2，2 ，则 y=t 2+t+1 4 3 ，3+2 ， 即最大值为3+2，最小值为 4 3 .当 x 0， 2 时，则t 1
5、，2 ，此时 y 的最大值是 3+2，而最小值是3. 评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围. 【例 2】已知 sin（ x 4 3 ）cos（x 4 ）= 4 1 ，求 cos4x 的值 . 剖析： 4x 为 2x 的二倍角， 2x为 x 的二倍角 . 解：由已知得sin（x 2 4 ）cos（ x 4 ） = 4 1 ， cos 2（x 4 ）= 4 1 . sin2x=cos（ 2 2x）=2cos 2（ 4 x） 1= 8 7 . cos4x=12sin 22x=1 64 98 = 32 17 . 【例3】已知 为第二象限角，cos 2 +sin 2 = 2
6、5 ，求 sin 2 cos 2 和 sin2 +c os2的值 . 知识就是力量 解：由 cos 2 +sin 2 = 2 5 平方得 1+2sin 2 cos 2 = 4 5 ， 即 sin= 4 1 ， cos= 4 15 . 此时 k+ 4 2 k+ 2 . cos 2 +sin 2 = 2 5 0， sin 2 cos 2 = 8 1 0， cos 2 0， sin 2 0. 2 为第三象限角. 2k+ 4 5 2 2k + 2 3 ，kZ. sin 2 cos 2 ， 即 sin 2 cos 2 0. sin 2 cos 2 =sin1= 2 3 ， sin2 +cos2 =2si
7、ncos+12sin 2 = 8 157 . 评述：由三角函数值判断 2 的范围是关键 . 闯关训练 夯实基础 1.已知 f（ x）=x1，当 （ 4 5 ， 2 3 ）时， f（sin2 ） f（ sin2）可化简为 A.2sinB.2cosC.2sinD.2cos 解析： f（sin2）f（sin2）= 2sin1 2sin1 =sincos sin + cos. （ 4 5 ， 2 3 ） ， 1sin 2 2 cos 0. cossin0，cos+sin0. 原式 =cos sin+cos+sin=2cos. 答案： D 知识就是力量 2.（2005 年春季上海，14）在 ABC 中，
8、若 A a cos = B b cos = C c cos ，则 ABC 是 A.直角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 解析：由 A a cos = B b cos ，得 b a = B A cos cos . 又 A a sin = B b sin ， b a = B A sin sin . B A sin sin = B A cos cos .sinAcosB=cosAsinB， sin（AB）=0，A=B.同理 B=C. ABC 是等边三角形 . 答案： B 3.若 8cos（ 4 +）cos（ 4 ）=1，则 sin 4 +cos4=_. 解析：由已知得8sin（
9、 4 ）cos（ 4 ）=1， 4sin（ 2 2）=1.cos2= 4 1 . sin 4+cos4=（sin2 +cos 2）22sin2 cos 2 =1 2 1 sin 22=1 2 1 （ 1cos 22） =1 2 1 （1 16 1 ）=1 2 1 16 15 = 32 17 . 答案： 32 17 4.若 tanx=2，则 xx x x cossin 1sin 2 cos2 2 =_. 解析：原式 = xx xx sincos sincos = x x tan1 tan1 = 21 21 = 1 21 2 ）（ =223. 答案： 22 3 5.化简 x xxxx 2sin 1
10、cossin1cossin）（ . 解：原式 = x x x x x 2sin 1 2 sin21sin1 2 sin21sin 22 ）（ = x xx xxxxxx cos 2 cos 2 sin4 2 sin2 2 cos 2 sin2 2 sin2 2 cos 2 sin2 22 ）（ 知识就是力量 = x x xxxxx cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos）（ = x x xxx cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 22 ）（ = x x x x cos 2 cos 2 sincos =tan 2 x . 6.（2004
11、 年江苏， 17）已知 0 2 ，tan 2 +cot 2 = 2 5 ，求 sin（ 3 ）的值 . 解：由已知tan 2 +cot 2 = sin 2 = 2 5 ，得 sin= 5 4 . 0 2 ， cos= 2 sin1 = 5 3 . 从而 sin（ 3 ）=sin cos 3 cos sin 3 = 5 4 2 1 5 3 2 3 = 10 1 （433）. 培养能力 7.已知 f（ x）=2asin 2 x22asinx+a+b 的定义域是0， 2 ，值域是5，1 ，求 a、 b 的值 . 解：令 sinx=t， x 0， 2 ， t 0，1 ， f（x）=g（t） =2at
12、22 2at+a+b =2a（ t 2 2 ） 2 +b. 当 a0 时，则 ， ， 1 5 ba b 解之得 a=6，b=5. 当 a0 时，则 ， ， 5 1 ba b 解之得 a=6，b=1. 8.（ 2004 年湖北，17）已知6sin 2 +sin cos 2cos2 =0， 2 ， ） ，求 sin（2+ 3 ）的值 . 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算 技能 . 解法一：由已知得（3sin+2cos） （2sin cos）=03sin +2cos =0 或 2sin cos=0. 知识就是力量 由已知条件可知cos0，所以 2 ，即 （
13、 2 ，）. 于是 tan0， tan= 3 2 . sin（2+ 3 ）=sin2 cos 3 +cos2sin 3 =sincos+ 2 3 （cos 2 sin2） = 22 sincos cossin + 2 3 22 22 sincos sincos = 2 tan tan + 2 3 2 2 tan tan1 . 将 tan= 3 2 代入上式得 sin（2+ 3 ）= 2 3 2 1 3 2 ）（ ）（ + 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 ）（ ）（ = 13 6 +3 26 5 ，即为所求 . 解法二：由已知条件可知cos0，则 2 ， 原式可化为6tan 2+tan
14、2=0， 即（ 3tan+2） （2tan1）=0. 又 （ 2 ，）. tan0， tan= 3 2 . 下同解法一 . 探究创新 9.将一块圆心角为120，半径为 20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有 2 种裁法： 让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面 积的矩形，并求出这个最大值. AA B B M M OO 甲 乙 解：对图甲，设MOA=，则 S1=200sin2. 当 =45时，（S1）max=200 cm 2. 对图乙，设MOA=， 则 S2= 3 3800 cos（260） cos60 . 当=30时， （S2）max= 3
15、3400 cm 2. 3 3400 200，用乙种方法好. 思悟小结 1.化简要求： 知识就是力量 （1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少. （4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法： （1）直接应用公式. （2）切割化弦，异名化同名，异角化同角. （3）形如coscos2cos2 2 cos2 n的函数式，只需将分子、分母分别乘以 2 n+1 sin ，应用二倍角正弦公式即可. 教师下载中心 教学点睛 1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆. 2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整
16、体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有 利于缩短运算程序，提高学习效率. 3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常 用的数学方法之一. 拓展题例 【例 1】 若 sincos= 2 1 ，求 cossin的取值范围 . 解：令 t=cossin，则 2 1 t= 4 1 sin2sin2. t= 2 1 sin2sin2 2 1 ， 2 1 . 【例 2】 （2004 年东北三校高三第一次联考题）已知 a=（cos 2 3 x，sin 2 3 x） ，b=（ cos 2 x ， sin 2 x ） ，x 0， 2 . （1）求 ab 及|a+b|； （2）
17、若 f（x）=ab2|a+b|的最小值是 2 3 ，求 的值 . 解： （1）ab=cos 2 3 xcos 2 x sin 2 3 xsin 2 x =cos2x. |a+b|= 22 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos）（）（ x x x x=2 x 2 cos =2cosx（ x 0， 2 ）. （2）f（x）=cos2x4cosx=2（cosx） 2122. x 0， 2 ， cosx 0， 1. 当 0，cosx=0 时，f（x）min=1，矛盾 . 当 01，cosx=时，f（ x）min=12 2，由 122= 2 3 ，得 = 2 1 . 当 1，cosx=1 时，f（x）min=14， 知识就是力量 由 14 = 2 3 ，得 = 8 5 1，矛盾 . 综上， = 2 1 为所求 .