《k52006年高考第一轮复习数学：7.6直线与圆的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《k52006年高考第一轮复习数学：7.6直线与圆的位置关系.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 7.6 直线与圆的位置关系 知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方 程组，利用判别式来讨论位置关系. 0，直线和圆相交. =0，直线和圆相切. 0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较 . dR，直线和圆相交. d=R，直线和圆相切. dR，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交
2、，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. 点击双基 1.（2005 年北京海淀区期末练习题）设m0，则直线2（x+y）+1+m=0 与圆 x 2+y2=m 的位置关系为 A.相切B.相交 C.相切或相离D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d= 2 1m ，圆半径为 m . dr= 2 1m m= 2 1 （m2m+1）= 2 1 （m 1） 20， 直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案： C 2.圆 x 2y24x+4y+6=0 截直线 xy 5=0 所得的弦长等于 A.6B. 2 25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为 2 2 ，半径为2，弦长为2 22 ) 2 2 ()2(=
3、6. 答案： A 3.（2004 年全国卷，4）圆 x 2+y24x=0 在点 P（1， 3）处的切线方程为 A.x+3y2=0 B.x+3y4=0 C.x 3y+4=0 D. x 3y+2=0 知识就是力量 解法一： x 2+y24x=0 y=kxk+3 x 24x+（kxk+ 3） 2 =0. 该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k= 3 3 . y3= 3 3 （x1） ，即 x3y+2=0. 解法二：点（1， 3）在圆 x2+y2 4x=0 上， 点 P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又圆心为（2，0） ， 12 30 2 k=1. 解得 k= 3 3 ，切线方程为x
4、 3y+2=0. 答案： D 4.（2004 年上海， 理 8）圆心在直线2xy7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A（0，4） 、 B（0， 2） ，则圆 C 的方程为 _. 解析：圆C 与 y 轴交于 A（0， 4） ，B（ 0， 2） ， 由垂径定理得圆心在y=3 这条直线上 . 又已知圆心在直线2xy7=0 上， y= 3， 2xy7=0. 圆心为（ 2， 3） ， 半径 r=|AC|= 22 )4(32=5. 所求圆C 的方程为（ x2） 2+（y+3）2=5. 答案： （x2） 2+（y+3）2=5 5.若直线 y=x+k 与曲线 x= 2 1y恰有一个公共点，则k 的取值范围是
5、_. 解析：利用数形结合. 答案： 1k1或 k=2 典例剖析 【例 1】 已知圆 x 2+y2+x6y+m=0 和直线 x+2y3=0 交于 P、Q 两点，且 OPOQ（O 为坐标原点） ，求该圆的圆心坐标及半径. 剖析：由于OPOQ，所以 kOP2 kOQ=1，问题可解 . 解：将 x=32y 代入方程x 2+y2+x6y+m=0，得 5y220y+12+m=0. 设 P（x1，y1） 、Q（ x2，y2） ，则 y1、y2满足条件 y1+y2=4，y1y2= 5 12m . OPOQ， x1x2+y1y2=0. 联立 解得 x=2， 知识就是力量 而 x1=32y1，x2=32y2， x
6、1x2=96（ y1+y2）+4y1y2. m=3，此时 0，圆心坐标为（ 2 1 ，3） ，半径 r= 2 5 . 评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意 这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑. 【例 2】 求经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2 +（y+3） 2=37 的交点，且圆心在直线 xy 4=0 上的圆的方程. 剖析：根据已知，可通过解方程组 （x+3） 2+y2=13， x 2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程； 也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3） 2+y213+
7、x2 +（y+3） 237=0，再由圆 心在直线xy4=0 上，定出参数 ，得圆方程 . 解：因为所求的圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x2 +（y+3） 2=37 的交点， 所以设所求圆的方程为（x+3） 2 +y 213+x2+（y+3）237=0. 展开、配方、整理，得（x+ 1 3 ） 2+（y+ 1 3 ） 2= 1 284 + 2 2 )1( )1(9 . 圆心为（ 1 3 ， 1 3 ） ，代入方程xy4=0，得 = 7. 故所求圆的方程为（x+ 2 1 ） 2+（y+ 2 7 ） 2 = 2 89 . 评述：圆C1：x 2 +y 2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C
8、2：x 2 +y 2+D 2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交， 那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y2+D 1x+E1y+F1） +（x 2+y2 +D2x+E2y+F2）=0（R 且 1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆 . 特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例 3】 已知圆 C： （ x1） 2（y2）225，直线 l： （2m+1）x+（m+1）y7m4=0 （mR）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程 . 剖析：直线过定点，而该定点在圆
9、内，此题便可解得. （1）证明： l 的方程（ x+y4）+m（2x+y 7）=0. 2x+y7=0，x=3， x+y4=0，y=1， 即 l 恒过定点 A（3，1）. 圆心 C（1，2） ， AC 5 5（半径）， 点 A 在圆 C 内，从而直线l 恒与圆 C 相交于两点 . （2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC 2 1 ， l 的方程为2x y5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 得圆上两点， mR， 得 知识就是力量 思考讨论 求直线过定点，你还有别的办法吗？ 闯关训练 夯实基础 1.若圆（ x3） 2（ y+5）2r2 上有且只有两个点到直线4x3y
10、=2 的距离等于1，则半 径 r 的范围是 A.（4，6）B.4，6）C.（4，6D.4，6 解析：数形结合法解. 答案： A 2.（2003 年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆 x 2 +y 2=1 相切，则三条边长 分别为 a、 b、 c的三角形 A.是锐角三角形B.是直角三角形 C.是钝角三角形D.不存在 解析：由题意得 22 |00| ba cba =1，即 c 2 =a 2+b2，由 a、 b、 c构成的三 角形为直角三角形. 答案： B 3.（2005 年春季北京，11）若圆 x 2 +y 2+mx 4 1 =0 与直线 y=1 相切，且其圆心在y 轴 的左侧，
11、则m 的值为 _. 解析：圆方程配方得（x+ 2 m ） 2+y2 = 4 1 2 m ，圆心为（ 2 m ，0） . 由条件知 2 m 0. 又圆与直线y=1 相切，则0（ 1） = 4 1 2 m ，即 m 2 =3， m= 3. 答案： 3 4.（2004 年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线x 2+y26x2y15=0 所截得的弦长等于 _. 解析：由x 2+y26x2y 15=0，得（ x3）2+（y1）2 =25. 知圆心为（ 3，1） ，r=5. 由点（ 3，1）到直线x+2y=0 的距离 d= 5 |23| = 5 . 可得 2 1 弦长为 25，弦长为45. 答案： 4
12、5 5.自点 A（ 3，3）发出的光线l 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与 圆 x 2y24x4y70 相切，求光线 l 所在直线的方程. 知识就是力量 解：圆（ x2） 2（ y2）21 关于 x 轴的对称方程是（ x2） 2（ y2）2 1. 设 l 方程为 y3k（ x3） ，由于对称圆心（2， 2）到 l 距离为圆的半径1，从而可 得 k1 4 3 ，k2 3 4 故所求l 的方程是3x4y 30 或 4x3y30. 6.已知 M（x0，y0）是圆x 2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r 2 与此圆 有何种位置关系? 分析：比较圆心到直
13、线的距离与圆半径的大小. 解：圆心O（ 0，0）到直线x0x+y0y=r 2 的距离为d= 2 0 2 0 2 yx r . P（ x0，y0）在圆内， 2 0 2 0 yxr，故直线和圆相离. 培养能力 7.方程 ax 2 +ay 24（ a1）x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆 的方程 . 解： （1） a0 时，方程为x a a)1(2 2+（y+ a 2 ） 2= 2 2 )22(4 a aa ， 由于 a 22a+20 恒成立， a0 且 a R 时方程表示圆 . （2）r 2=42 2 2 22 a aa =42( a 1 2 1 ) 2+ 2 1 ，
14、 a=2 时， rmin 2=2. 此时圆的方程为（x1） 2+（y1）2=2. 8.（文）求经过点A（ 2，4） ，且与直线 l：x+3y26=0 相切于（ 8，6）的圆的方程 . 解：设圆为x 2 +y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3DE= 36， 2D+4EF=20， 8D+6E+F=100. D= 11， E=3， F=30. 圆的方程为x 2 +y 211x+3y30=0. （理）已知点P 是圆 x 2+y2 =4 上一动点，定点Q（4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程； （2）设 POQ 的平分线交PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程 . 解： （1）设 PQ 中
15、点 M（x，y） ，则 P（2x 4，2y） ，代入圆的方程得（x2） 2+y2=1. （2）设 R（x，y） ，由 | | RQ PR = | | OQ OP = 2 1 ， 设 P（m，n） ，则有 知识就是力量 m= 2 43 x ， n= 2 3 y ， 代入 x 2+y2 =4 中，得 （x 3 4 ） 2+y2= 9 16 （y0） . 探究创新 9.已知点 P 到两个定点M（ 1，0） 、N（1，0）距离的比为2，点 N 到直线 PM 的距 离为 1，求直线 PN 的方程 . 解：设点P 的坐标为（ x，y） ， 由题设有 | | PN PM =2， 即 22 )1(yx=22
16、22 )1(yx， 整理得 x 2+y26x+1=0. 因为点 N 到 PM 的距离为 1，|MN|=2， 所以 PMN=30，直线PM 的斜率为 3 3 . 直线 PM 的方程为y= 3 3 （ x+1）. 将代入整理得x 24x+1=0. 解得 x1=2+3，x2=23. 代入得点P 的坐标为 （2+ 3，1+3 ）或（2 3，1+3） ； （2+3，13 ） 或（ 2 3，13）. 直线 PN 的方程为y=x1 或 y=x+1. 思悟小结 1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比 较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法， 看直线与圆的方程联立
17、所得方程组的解 的个数 . 2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. 教师下载中心 教学点睛 1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般 要用切线、 半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时， 弦长的计算也要用弦 心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 知识就是力量 4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的 距离公式、点到直线的距离公式等应熟
18、练掌握，灵活运用. 拓展题例 【例 1】已知圆的方程为x 2 +y 2+ax+2y+a2 =0，一定点为A（1，2） ，要使过定点A（1， 2）作圆的切线有两条，求a 的取值范围 . 解：将圆的方程配方得（x+ 2 a ） 2+（y+1）2= 4 34 2 a ，圆心 C 的坐标为（ 2 a ，1） ， 半径 r= 4 34 2 a ， 条件是 43a 2 0，过点 A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即 22 )12() 2 1( a 4 34 2 a . 化简得 a 2+a+90. 43a 20， a 2+a+9 0， 3 32 a 3 32 ， aR. 3 32 a 3 3
19、2 . 故 a 的取值范围是（ 3 32 ， 3 32 ）. 【例 2】已知 O 方程为 x 2+y2=4，定点 A（4，0） ，求过点 A 且和 O 相切的动圆圆 心的轨迹 . 剖析：两圆外切， 连心线长等于两圆半径之和，两圆内切， 连心线长等于两圆半径之差， 由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它 的轨迹方程 . 解法一：设动圆圆心为P（x，y） ，因为动圆过定点A，所以 |PA|即动圆半径 . 当动圆 P 与 O 外切时， |PO|=|PA|+2； 当动圆 P 与 O 内切时， |PO|=|PA|2. 综合这两种情况，得|PO|P A|=2. 将此关系式坐标化，得 | 22 yx 22 )4(yx|=2. 化简可得（ x2） 2 3 2 y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 |OP|PA|=2， 即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2 为实轴长的双曲线，中心在OA中点（ 2，0） ，实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长 b= 22 ac=3，所以轨迹方程为（ x2） 2 3 2 y =1. 由 解之得