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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 在数学教学中培养学生的创造性思维 在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。要培养学生的创造 性思维， 就应该有与之相适应的，能促进创造性思维培养的教学方式。当前， 数学创新教学方式主要有以下几种形式： 1 、开放式教学。 这种教学在通常情况下，由教师通过开放题的引进，在学生参与下解决， 使学生在问题解决的过程中体验数学的本质，品尝进行创造性数学活动的乐 趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放， 一个问题 可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题； 三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。 2
2、 、活动式教学。 这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动，包括模型制作、 游戏、 行动、调查研究等， 使学生在活动中认识数学、理解数学、 热爱数学。 3 、探索式教学。 采用“发现式” ，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、 问题的解决等过程。 要培养学生的创造思维能力，应当在数学教学中充分有效地结合上述三 种形式（但不限于这三种形式），通过逐步培养学生的以下各种能力来实现 教学目标： 一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么， 在课堂中， 怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前， 要给学生提出明 确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。
3、比如要指导 学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法， 要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。第三， 要科学地运用直观 教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入地观察。 第四， 要努力培养学生浓厚的观察兴趣。 二、培养领悟力。 数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来 的。在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识，并能熟 练的掌握数学的基本方法和基本技能，通过培养学生的领悟能力，优化学生 的数学思维品质，让学生达到 “真懂” 的地步。 例如：上圆锥曲线复习课时， 当复习完椭圆、 双曲线、 抛物线的各自定义及统一定义后，突然有一学生
4、提 问：平面内到两定点F1，、F2的距离的积等于常数的点的轨迹是什么？这一 意料外的问题使思路豁然开朗，我们也可以顺势提出以下问题引导学生，让 学生探索：问题1 平面内到两定点F1，、F2的距离的积、商等于常数的点的 轨迹是什么？问题2 平面内到定点F 的距离与到定直线L 的距离的和等于 知识就是力量 2 常数的点的轨迹是什么？若联想到课本第61 页第 6 题（两个定点的距离为 6，点 M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点的轨迹方程） ，还可以提 出下列问题：问题3 平面内到两定点F1，、F2的距离的平方积、商分别等于 常数的点的轨迹是什么？问题4 平面内到定点F 距离的平方与到定直线L
5、 的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么？ 三、培养想象力。 想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基 本要素。第一，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有能迅速 摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三，要有执著追求的情感。 因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。其次，根据 教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。 另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等。例如在一节高 三复习课上，我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如下的问题： abba ba 1 2 1 1 1 1 , 11, 11 22 求证：已知：，在教师
6、的点 评帮助下，学生给出了四种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三 角换元法。 教师对此感到满意，也潜意识认为没有其他证法了。但此时学生 的思维大门已经开启，有的学生还想跃跃欲试，学生1 展示了他的新探究： ,1 1 1 642 2 aaa a ,1 1 1642 2 bbb b 又 ab babaab babaab bababa ba 1 2 )1(2 2222 ,)()()(2 1 1 1 1 3322 3322 664422 22 用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新，应该说思维非 常巧妙。 学生 2 同样展示了他的新探究：, 10ba、不等式条件可加强 知识就是力
7、量 3 ),cos(|,2cos| ,2cos|, 4 0 ,1 ,1 ,1 |,| |,|), 1(), 1(), 1 (), 1( 2121212 2 121 1 2 1212121 112121 2 21 2 21212121 yxyxyyy xxxxy xxyxabyybxxa yyxxbybyaxax 、，则有轴夹角为与 ，轴夹角为与设 则设 2 2 11 2 1 22 2cos| 1 2cos| 1 1 1 1 1 yx ba 21 2 1 2 1 2 2 11 2 1 2cos2cos| 2cos|2cos| yx yx )cos(| 2 2cos2cos| 2cos|2cos|
8、 )cos(| 1 1 1 212121 2 1 2 1 2 2 11 2 1 2121 yxyx yx yx ab 只需证明 ，只需证明： 即证明： )cos( 2cos2cos|2 2cos2cos|2 ,2cos2cos|22cos|2cos| )cos( 2cos2cos|2 2cos|2cos| 21 2111 2111 21112 2 11 2 1 21 2111 2 2 11 2 1 yx yx yxyx yx yx ，得证。即证明： 即证明： ，）（即证明： ，即证明即证明： )22cos(1 ,2cos2cos22sin2sin2cos2cos1 2cos2cos222cos
9、1 2cos2cos)(cos2cos2cos)cos( 21 212121 2121 2121 2 2121 用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆 想象力、 探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力 是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。 有时候，学生的想象力可能是“天马行空”，甚至是荒唐的，这时候教师还 知识就是力量 4 要注意引导： 解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多 走了哪些思维回路？思维、运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对 问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加
10、强知识的 横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什 么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些 重要的结果， 有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？ 等等。 通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰 富的想象力。 四、培养发散思维。在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从 以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件，联想多种结论； 改变思维角 度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多 变、一题多思等。特别是近年来，随着开放性问题的出现，不仅弥补了以往 习题发散训练的不足，同时也为发散
11、思维注入了新的活力。下面是我在教学 实践中遇到的一个例子，事情缘起于一本教辅读物的一个练习题：求f(x), 使 f(x) 满足 ff(x)=x+2 (1)，书后的答案是f(x)= x+1 。该题本意是在学 生学习了函数的基本概念之后，通过一次函数复合的具体例子，让学生体会 复合函数的概念。 这样的设计思想是不错的，但是题目中没有明确给出“f(x) 是一次函数”的条件，给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被 告之应加上“f(x) 是一次函数”的条件后，许多学生认为“f(x) 是一次函数” 的条件可由（1）推出，有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下，求 出函数方程（1）的一个非线性解的
12、兴趣被唤起，我不愿放过这样一个能让 学生开阔数学眼界，提升思维深度的大好机会。于是， 我开始探究能否构造 一个满足（ 1）的非线性函数的例子。 在具体进行构造之前，有必要了解f(x) 的一些基本性质，以便构造时有 正确的方向。由（1）知， f(x) 定义域和值域都是一切实数；如果有x1,x2使 f(x1)=f(x2) ，则 f(f(x1)=f(f(x2)；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f 。 (f。f)(x) ，由此得到f(x+2)=f(x)+2 （2）因此，我们只要对满足0x2 的实数 x 定义 f(x) ，然后按照（ 2）将 f(x) 的定义延拓到整个实数轴上即可。 令)
13、(x为任意一个定义域和值域都为开区间（0， 1）的有反函数的函数， 它的反函数记为)( 1 x。下面 k 总表示整数，定义f(x) 如下： 1）定义 f(k)=k+1 ，kZ； 知识就是力量 5 2）若 2kx2k+1 ，定义 f(x)=2k+1+)2(kx； 3）若 2k+1x2k+2 ，定义 f(x)=2k+2+)12( 1 kx； 命题：如此定义的函数f(x) 满足函数方程ff(x)=x+2. 1) 12(02212 2222)2(22 )12()(22)(22)(12 )2(12)(1)2(0120 122 1 1 kxkxk xkxkkxk kxfkxffkxfk kxkxfkxkx
14、 kxkx ，则同理，若 ， ，从而故 ，由于，则 ，。如是整数，命题显然成立证明：若 证毕。 ，从而，也即故 ，由于此时 .2)12(32 )12(32)1(2)(1)1(2)( 1)1(2)()1(232)(22 )12(22)(1)12(0 1 11 xkxk kxkkxfkxff kxfkkxfk kxkxfkx 在上面的函数中，函数的选取有很大的任意性。下面是几个例子： 例 1如取(x)=x (0x1) ，容易验证此时f(x)=x+1 例 2 如取(x)=x 2 (0x1) 和 xx)( 1 (0x1) ， 则 f(x)为非线性函数。 例 3可以构造逐段线性函数f(x) ，如取 1
15、2 1 , 2 1 2 3 2 1 0 , 2 )( x x x x x 五、培养（诱发）学生的灵感。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生 学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异 的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数 形结合、 变换角度、 类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学 生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如在一次不等式证明 的复习课中，我举了这样一个例题： 11 ,1 ab baba求证：已知：。 问题的叙述如此简洁！要证明这个不等式成立，似乎无从下手。 但我让学生 观察不等式的结构形式指数式，指数式怎么办
16、？这时有学生说：化成对 数式。这时我捕捉了学生的这一想法： 知识就是力量 6 ,1,lg)( 1 1lglg 1 1lglg 1 1lglg ) 1( ),1( 1 lg 1 lg lg) 1(lg) 1( 11 作图由于是设 斜率公式。你想起了什么？直线的表达式 ，式变形成：，你就豁然开朗了。如果再作一点变化的话 这个不等式好啊！由 baxxf a a b b a a b b a a baabba ab 吗？，这不就证明了如图，易知 11ab BCAC bakk 在分析中寻找解题的灵感，在转化中获取解题的信息，应用数形结合， 于是活的解法也就脱颖而出。 知识就是力量 7 姓名：肖瑛 年龄： 28 身份：高中数学教师 职称：中学二级 单位：江苏省太湖高级中学（214125） 电话： 05108931050 本人自 2000 年参加工作以来，一直担任两个甚至三个班的高中数学 教学工作，做了三年班主任，同时兼任备课组组长，完成了一轮循环教学。 平时在教学实践中，不断探索、不断积累，参加的评优课获得了校级、区级 的一等奖，市级的二等奖。撰写的高中数学新课教学中“一分钟教学法” 的运用 获得了“师陶杯”三等奖， 德育数学？获得了全国中小学德 育优秀论文评选交流材料二等奖，构建民主、平等、和谐、互动的课堂结 构正在参评。