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1、知识就是力量 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 数学教学中学生思维灵活性 培养的实践与体会 上海市奉贤中学金红卫 我校是一所县重点高级中学，生源较好。然而总有较多学生进入高 中之后，不能适应高中阶段的数学学习，在思维要求上有较大差距，成 绩显下降趋势。究其原因：由于初中数学教学受升学考试指挥棒的影 响，在教学过程中注重了知识的传授，而忽视了思维品质的培养。 现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的 思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技 能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知 识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生
2、，思维品质 的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。 高中学生一般年龄为1518 岁，处于青年初期。他们的身心急剧发 展、变化和成熟，学习的内容更加复杂、深刻，生活更加丰富多采。这 种巨大的变化对高中学生的思维发展提出了更高的要求。研究表明，从 初中二年级开始，学生的思维由经验型水平向理论型水平转化，到高中 一、二年级，逐步趋向成熟。作为高中教学教师，应抓住学生思维发展 的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，做好思维品质的培养工 作，使学生的思维得到更好的发展。 教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关 系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着
3、整个知识系统的结构和功能。因此，开发高中学生的思维潜能，提高思 维品质，具有十分重大的意义。 思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷供、深刻性、独创 性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的 基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证的良好品质。在人 们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思 维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。 知识就是力量 思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变 化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决 问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：(1) 思 维起点
4、的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速 确定思考问题的方向。(2) 思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公 理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3) 思维迁移 的灵活：能举一反三，触类旁通。 如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些 探索： 一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性。 美国心理学家吉尔福特（JPGuilford）提出的“发散思维” (divergent thinking)的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指 “从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各 样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。” 在当前
5、的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相 对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须 的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。 l、引导学生对问题的解法进行发散。 在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问 题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。 求证：tg 2sin2cos1 2sin2cos1 证法 1：（运用二倍角公式统一角度） 右左 )cos(sincos2 )cos(sinsin2 cossin2cos2 cossin2sin2 2 2 证法 2：（逆用半角公式统一角度） 右左 1 1 1 2sin 2cos1 1
6、2sin 2cos1 ctg tg 证法 3：（运用万能公式统一函数种类）设ttg 知识就是力量 右左t t tt t t t t t t t t 22 22 1 2 1 1 1 1 2 1 1 12 22 2 22 2 证明 4： 2sin 2cos1 tg( 构法分母2sin并促使分子重新组合， 在运算形式上得到统一。) 右左 2sin 2cos1 2sin)2sin2cos1( 2sin)2sin2cos1( 证法 5：可用变更论证法。只要证下式即可。 )2sin2cos1)(2cos1 (2sin)2sin2cos1( 证法 6：由正切半角公式 2cos1 2sin 2sin 2cos
7、1 tg，利用合分比性 质，则命题得证。 通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1) 统一函 数种类； (2) 统一角度； (3) 统一运算。 一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的 方法和灵活的思维方式。 2、引导学生对问题的结论进行发散。 对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论让学生自己 尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。 已知： 3 1 sinsin (1) ， 4 1 coscos (2) ，由此可得 到哪些结论？ 让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。 8【3 想法一： (1) 2(2)2 可得 288 263 )cos(（两角差
8、的余弦公式）。 想法二： (1) (2) ，再和差化积： 12 1 1)cos(sin( 结合想法一可知： 25 24 )sin( 想法三： (1) 2-(2)2 再和差化积： 144 7 1)cos(cos(2 知识就是力量 结合想法一可知：可得 25 7 )cos( 想法四； )2( )1( ，再和差化积约去公因式可得： 3 4 2 tg，进而用 万能公式可求：)sin(、)cos(、)(tg。 想法五：由1cossin 22 消去得： 24 25 cos3sin4 消去可得 24 25 cos3sin4（消参思想） 想法六： (1)+(2) 并逆用两角和的正弦公式： 24 27 ) 4
9、sin() 4 sin( (1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。 24 2 ) 4 sin() 4 sin( 想法七： (1) 3-(2) 4：0cos4sin3cos4sin3 ) 3 4 (0)sin()sin(arctg 即0 2 cos 2 2 sin2 )(222Zkkk（与已知矛盾舍去）或 则)sin(、)cos(、)(tg均可求。 开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考 条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换 手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于 孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。 3、引导学生对问题的条件进行
10、发散。 对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知 条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题。 对于等差数列的通项公式：ana1(n1)d ，显然，四个变量中知 道三个即可求另一个（解方程）。如“an为等差数列， a1， d 2问 9 为第几项”等等。然后，放手让学生自己编写题目。编题过 程中学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的 知识就是力量 适用范围等有全面的掌握。否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改 d3，则 9 为第 3 10 项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项 公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题， 提高思维迁移的
11、灵活性。 二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品 质的培养来促进思维灵活性的培养。 由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体 中，所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。 1、思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象 中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。 方程 sinx lgx 的解有（）个。（ A）1（B）2（C ）3（D ）4 学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无 进。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组 lg sin xy xy 的公共解。运用数形结合思想转化为求函
12、数图家交点问题，寻 求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢 抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之 地。 2、思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细 节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知 识，寻找解答关键。 已知抛物线在y 轴上的截距为3，对称轴为直线x1，在 x 轴上截得线段长为4，求抛物线方程。 解法一：截距为 3，可选择一般式方程： )0( 2 acbxaxy 显然有 c3，利用其他条件可列方程组求a，b 值。 解法二：由对称轴为直线x1，可选择顶点式方程： )0()( 2 akmxay 显然有 m
13、1，利用其他条件可列方程组求a，k 的值。 另外，由图象对称性可知x 轴上交点为 (l ，0)和( 3，0) 。 解法三：由截距为3，即过三点 (0，3) 、(l ，0)和( 3，0), 可选择一般式方程：)0( 2 acbxaxy 知识就是力量 代人点坐标，列方程组求a，b，c 值。 解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式 )0()( 21 axxxxay（必须与 x 轴有交点） 显然； x13，x21。由截距 3，可求 a 值。 在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔 性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。 3、思维的敏捷性指思维活
14、动的速度。它的指标有二个：一是速度， 二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵 活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。 相邻边长为a 和 b 的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体 体积为 Va（绕 a 边）和 Vb（绕 b 边），则 Va：Vb（ ） （A）a：b （B）b：a （C）a 2：b2 （D）b 2：a2 用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求: 22 sinabVa， 22 sinbaVb 则 Va：Vbb：a，由于要引入两边夹角来求 解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形 矩形来处理，则相当简便。 此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁
15、，用特殊化思想求解， 解题迅速、正确。 4、思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特 点。思维的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感” 的闪现提供了燃料。 在教学实线中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候, 往往是 “思维火花”闪烁的时候 求值： 000202 50sin10sin50sin10sin 一般解法： 0000 50sin10sin)100cos20cos 2 1 1（左 )40cos60cos( 2 1 40cos60cos1 0000 4 3 独特灵活的解法 1：令 000202 50sin10sin50sin10sinx 000202 50co
16、s10cos50cos10cosy a b a 知识就是力量 则 0 40cos2yx， 2 1 40cos 0 yx 即 2 3 2x，则原式 4 3 构造对偶式求解，思维灵活颇有独创牲。 解法 2：构造 1 为直径的圆内接三角形，三个角为 000 1205010、， 则 000 120sin50sin10sin、可构成三角形三边长。 逆用余弦定理： 020000202 120sin120cos50sin10sin250sin10sin 则原式 4 3 灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。我在教学中比 较注重学生解题思路的独特征、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、 探索的机会，以活
17、跃思维、发展个性。 5、思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估 计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不 同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。 ABC 中， 5 3 sin A， 13 5 cosB，求Ccos 大部分学生如此解：由 5 3 sin A可得 5 4 cosA；由 13 5 cosB可得 13 12 sin B，进而可求 65 16 cosC或 65 56 cosC。 有学生提出异议： 由 2 2 5 3 sin A可知： 44 3 AA或，同理可知 4 B。 由BA知： 4 3 A不可能！即 5 4 cos A取不
18、到。 故只有一解 65 15 cosC 学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用 三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数 值取值的可能性。 三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导。 知识就是力量 教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思 维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为 学生注人灵活思维的活力。 “导入出新”良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入 可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”，“叙述故事”、“利用矛 盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学 手段，使学生及早进入积极
19、思维状态。 “错解剖析”提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让 学生反串角色，扮演教师批改作业。换一个角度来考察学生的知识掌握 情况，寻找错误产生的原因，以求更好的加深对知识的掌握。 “例题变式”从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变 换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，寻求多题一解；变 换问题的思考角度，寻求一题多解；, 以变来培养学生灵活的思维。 “编制试卷”列出考查知识点、考查重点、试题类型，让学生 自己编制一份测验试卷并给出解答。使学生站在老师的角度体验出题 心理，更好的掌握知识结构和思维方式。 “撰写小论文”根据学习体会、解题经验、考试心得等等，撰 写学科研究性小论
20、文。选择比较好的指导修改并编辑出版，激励学生善 于进行总结，培养良好的思维品质。 以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。 几年来，所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的 提高。相应的，学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、 甚至走上工作岗位后，常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘，但 老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益不少。 近年来，随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广 大教师和教育工作者的共识。我要继续探索下去，以求获得更多的收 获。 参考文献： (1) 中学生学习心理学编写组著广东高等教育出版社 (2)中学生心理学林崇德著北京出版社 (3)数学教育学田万海著浙江教育出版社 (4)高中生心理学郑和钧 /邓京华等著浙江教育出版社 (5)中学生素质教育徐仲安著上海科学技术出版社