k5新增内容之概率与统计(王巨才).pdf

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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 概率与统计综合问题选讲 一、设计背景 2005 年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （理科数学新 课程版）明确指出：“对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点， 对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例， 构成 数学试题的主体。”由于新课程新增内容大都是近、现代数学的重要 基础，无论对于学生今后的进一步学习，还是对于激发学生对于数学 学科的学习兴趣、增强学生的数学应用意识， 都具有十分重要的意义。 因此他们必然成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而成为保持 较高比例，构成数学试题的主体的重要知识版块。 概率与统计是一门 “研究

2、偶然现象统计规律性”的学科。随着科 学技术的发展，概率和统计这门“研究偶然现象统计规律性”的学科 在社会生活实际以及科学实验和研究中都得到了越来越广泛的应用。 基于以上原因， 新课程增加了概率和统计基础知识的相关内容，而近 几年来新课程高考试卷也把概率和统计的基础知识和方法随机 事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率 及相应的计算和离散型随机变量分布列和数学期望等概念和计算列 为考查的重点， 作为必考内容。 因此高考就利用概率与统计知识设计 试题来考查学生的应用意识、 实践能力；考查学生的分析问题和解决 问题的能力； 考查学生的分类讨论思想、 等价转化思想以及对背景新 奇

3、问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力。 知识就是力量 2 该专题将从概率与统计的基础知识着手，根据高考要求进行设 计，即紧扣主干知识，又突出重点，同时注重温州的数学教学实际。 二、高考考点回顾 在 20002004年全国新课程卷高考试题中每年都有出现12道 概率与统计试题，所占分数在1216 分之间，具体考查知识点如下 表所示： 年号题号所占分值重点考查的知识点及知识交汇情况 2000 13 4 离散型随机变量的概率分布 2000 17 12 等可能事件、相互独立事件的概率 2001 14 4 离散型随机变量的数学期望 2001 18 12 相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的

4、概率 2002 19 12 相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率 2003 14 4 抽样方法 2003 20 12 离散型随机变量的概率分布及数学期望 2004 15 4 随机事件的概率 2004 18 12 离散型随机变量的概率分布及数学期望 2004 年浙江卷在第 18 题考查了离散型随机变量的概率分布及数 学期望与其它地区基本一致。 所不同的是问题设计的背景不同，对学 生分析问题与解决问题能力的考查层次要求不同。2005 年仍将会坚 持不出偏题、怪题，利用考生熟悉的、常见的问题作背景出题，重在 设计考查学生的数学逻辑思维和数学思想方法。 知识就是力量 3 三、考点知识结构及分

5、析 线性回归 正态分布 总体分布的估计 抽样方法 统计 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量的分布列 随机变量 应用 相互独立事件的概率 互斥事件的概率 等可能事件的概率 随机事件的概率 概率 概率与统计 概率与统计重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相 互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期 望与方差，及根据分布列求事件的概率； 用样本方差去估计总体方差， 用样本频率分布估计总体分布， 用样本频率分布求其累积频率分布等 的计算问题。 应用概率与统计知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随 机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知 识，

6、讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解 计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。 四、例题讲解 （一）等可能性事件问题 例 1：在袋里装有 30个小球，其中彩球有：n个红色、 5 个蓝色、 10 个黄色、其余为白色。求： （1）如果已经从中取定了5 个黄球和 3 个篮球，并将他们编上不同 知识就是力量 4 的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？ （2）如果从袋里取出3 个相同颜色彩球（无白色）的概率是 406 3 ， 且2n，计算红球有几个？ （3）根据（2）得结论，计算从袋中任取3 个小球，至少有一个是红 球的概率？ 解： （1）将 5 个黄

7、球排成一排共有 5 5 A种排法，将 3 个篮球放在 5 个黄 球所形成的 6 个空上，有 3 6 A种放法，所求的排法为14400 3 6 5 5 AA种。 （2）取 3 个球的种数为4060 3 30 C。设“3 个球全为红色”为事件A， “3 个球全为蓝色”为事件B， “3 个球全为蓝色”为事件C，则 4060 10 )( 3 30 3 5 C C BP， 4060 120 4060 )( 3 10 C CPCBA、为互斥事件， )()()()(CPBPAPCBAP，即 4060 120 4060 10 )( 4060 13 AP， 得0)(AP，故取红球的个数2，又2, 2nn。 （3

8、）记“3 个红球中至少有一个是红球”为事件D，则D为“3 个球 中没有红球”。 145 28 1)(1)( 3 30 3 28 C C DPDP或 145 28 )( 3 30 1 28 2 2 2 28 1 2 C CCCC DP。 例 2： A、 B 两点之间有 6 条网线并联，他们能通过的信息量分别为1， 1，2，2，3，3。先从中任取三条网线，设可通过的信息量为，当 可通过的信息量6时，则保证信息畅通。 （1）求线路信息畅通的概率；（2）求线路可通过信息量的数学期望。 分析：解答本题首先要明确可通过的信息量是一个随机变量，它的 可能取值为 4、5、6、7、8；保证信息畅通的条件是6，而

9、信息量 取值为 6、7、8 这三件事是互斥的。其次要求学生能正确运用互斥事 知识就是力量 5 件的概率加法公式和离散型随机变量的期望定义解答本题。 解： （1） 10 1 )8( 3 6 2 2 1 2 C CC P， 10 2 )7( 3 6 2 2 1 2 2 2 1 2 C CCCC P 10 4 )6( 3 6 1 2 1 2 1 2 C CCC P 10 7 )8()7()6()6(PPPP 信息畅通的概率为 10 7 。 （2）又 10 2 )5( 3 6 2 2 1 2 2 2 1 2 C CCCC P， 10 1 )4( 3 6 2 2 1 2 C CC P 6 10 1 4

10、10 2 5 10 4 6 10 2 7 10 1 8E 可通过信息量的数学期望为6。 评述：本题是一道概率计算的综合应用题，试题以信息时代的网络畅 通为题设背景，富有时代气息。解答时应具备适度的逻辑思维能力， 体现了以素质和能力为考核重点地试题设计理念。 （二）相互独立事件问题 例 3：甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a 万 元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各 得多少较合理。（已知甲的命中率为 4 3 ，乙的命中率为 5 4 ） 解：敌机被击落有以下三种可能： （1）甲单独击落；（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落 甲单独击落的概率为 19 3

11、5 4 4 3 5 4 4 1 5 1 4 3 5 1 4 3 乙单独击落的概率为 19 4 5 4 4 3 5 4 4 1 5 1 4 3 5 4 4 1 知识就是力量 6 甲、乙共同击落的概率为 19 12 5 4 4 3 5 4 4 1 5 1 4 3 5 4 4 3 因此甲得到奖金数应为a a a 19 9 219 12 19 3 乙得到奖金数应为a a a 19 10 219 12 19 4 所以甲、乙二人奖金数之比为9：10 时较合理。 评述：研究性学习是提高学生学习能力的一种非常有效的手段，在新 教材概率与统计学习后，该问题对学生的研究性学习有一定的帮助， 并且该问题有一定的实际

12、意义，背景设计公平，贴近学生实际，在熟 悉的情境中考查能力，符合高考的指导思想与原则。 例 4：某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班。若该地 各路段发生堵车事件都是独立的， 且在同一路段发生堵车事件最多只 有一次，发生堵车事件的概率，如图(例如： ACD 算两个路段： 路段 AC 发生堵车事件概率为 10 1 ，路段 CD 发生堵车事件概率为 15 1 ) 1 15 1 10 1 6 3 20 1 5 1 12 1 20 EB A D F C （1）请你为其选择一条由A 到 B 的路线，使得途中发生堵车事件的 概率最小； （2）若计BFCA中遇到堵车次数为随机变量，求E。 解：

13、（1）记路段 MN 发生堵车事件为 MN 因为各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事 件最多只有一次，所以BDCA中遇到堵车的概率 1 P为 知识就是力量 7 )()()(1)(1DBPCDPACPDBCDACP 10 3 6 5 15 14 10 9 1)(1)(1)(11DBPCDPACP； 同理：线路BFCA中遇到堵车概率 2 P为 800 239 )(1FBCFACP 线路BFEA中遇到堵车概率 3 P为 300 91 )(1FBEFAEP 显然要使得由 A 到 B 的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能 在以上三条路线中选择。因此选择路线BFCA。 （2）路线BF

14、CA中遇到堵车次数可取值为 0、1、2、3 800 561 )()0(FBCFACPP 2400 637 )()()() 1(FBCFACPFBCFACPFBCFACPP 2400 77 )()()()2(FBCFACPFBCFACPFBCFACPP 2400 3 )()3(FBCFACPP 3 1 2400 3 3 2400 77 2 2400 637 1 800 561 0E （三）独立重复试验问题 例 5：某机构有一个 5 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见 的百分比为 0.7， 现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见， 并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。（结果

15、保留两 位有效数字） 解：每位顾客贡献正确意见的概率为P=0.7，作出正确决策的概率为 84. 011)5()4()3( 55 5 44 5 2 33 5555pCppCppCPPP 。 评述：作出正确决策指至少3 人作出正确决策， 是独立重复试验问题 与互斥事件的概率问题的综合题型。 例 6：某种传染病进入羊群，已知此种传染病的发病率为 3 2 ，为了检 知识就是力量 8 验一种新药针剂是否对此传染病有防治疗效，给50 头羊注射该种针 剂，结果注射后又25 头羊发病，试判断针剂是否有效？ 分析：考虑在未注射针剂时，羊群中发病的羊的数量，因为每头羊只 会出现两种情况：发病与未发病，所以发病的羊

16、的数量服从二项分布。 解：假定新药无效。将考查一头羊是否发病作为一次试验，则50 头 羊中发病头数服从二项分布。即 3 2 ,50 B。 由50,2, 1 ,0, 3 1 3 2 )( 50 50 kCkP kk k ，可得的分布列部分值如下： 20 21 22 23 24 25 26 P 0.0001 0.0002 0.0005 0.0013 0.0028 0.0059 0.9892 由此可得0108.0)25(P，即事件“发病羊数少于26 头”发生的概 率仅为 0.0108，由概率的频率解释可知，平均在100 次试验中，这种 情况才可能出现一次，这类事件我们称之为“小概率事件”。由实际 推

17、断原理可知小概率事件在一次实验中几乎不可能发生。也就是说， 在“新药无效”的假设下推断出来的结论“发病羊数少于26 头”几 乎不会发生。这就与我们实际观察到的结果 “发病率为 2 1 ”相互矛盾， 因此推翻：“新药无效”这一假设。从而该药品对羊群中的传染病确 有疗效，减少了羊群发病率。 评述： 上述推断的依据是：小概率事件在一次实验中几乎不可能发生， 推断的方法类似于通常使用的反证法。 知识就是力量 9 （四）其它综合问题 例 7：据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01， 保险公司办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要交保险费100 元，若在一年内，万元以上财产被窃，保险公

18、司赔偿a元（a100） ， 问 a如何确定，可使保险公司获益？ 解：设保险公司的收益为，则的分布列为 所 以 ， 期 望 0 100 10000 01. 010099.0100 a aE， 又因为100a，所以，10000100a 即将a确定在区间（ 100，10000）内（单位：元）保险公司有望获益。 例 8（2004 年湖北高考题）：某突发事件，在不采取任何预防措施的 情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400 万元的损失。现有 甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为45 万元和 30 万元，采用相应预防措施后此突发事 件不发生的概率分别是0.

19、9和 0.85。若预防方案允许甲、乙两种预防 措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。 （总费用 =采取预防措施的费用 +发生突发事件损失的期望值。 ） 解： 不采取预防措施时，总费用既损失期望为4000.3=120（万 元） ； 若单独采取措施甲，则预防措施费用为45 万元，发生突发事件的 100 100a P 0.99 0.01 知识就是力量 10 概率为 10.9=0.1，损失期望值为 4000.1=40（万元） ，所以总费用 为 45+40=85（万元） ； 若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30 万元，发生突发事 件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4

20、000.15=60（万元），所 以总费用为 30+60=90（万元） ； 若联合采取甲、 乙两种预防措施， 则预防措施费用为45+30=75 （万 元） ，发生突发事件的概率为（10.9） （10.85）=0.015，损失期望 值为 4000.015=6（万元） ，所以总费用为 75+6=81（万元） 。 综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两 种预防措施，可使总费用最少。 评述：本小题考查概率的基本知识和数学期望等概念及应用概率知识 解决实际问题的能力。 例 9：据某地气象部门统计， 该地区每年最低气温在C 0 2以下的概率 为 3 1 （1）设为该地区从 2005 年到 2010

21、 年最低气温在C 0 2以下的 年数，求的分布列。 （2）设为该地区从 2005 年到 2010 年首次遇到最低气温在C 0 2以 下经过的年数，求的分布列。 （3）求该地区从 2005 年到 2010年至少遇到一次最低气温在C 0 2以 下的概率。 解： （1）将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在C 0 2以 下的概率为 3 1 ，且每次实验结果是相互独立的。 故 3 1 , 6 B，以此为基础求的分布列 知识就是力量 11 所以的分布列为6, 5 ,4, 3 ,2, 1 , 0, 3 2 3 1 6 6 kCkP kk k （2） 由于表示该地区从 2005年到 2010年首次遇

22、到最低气温在C 0 2 以下经过的年数，显然是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5， 其中)5 ,4, 3 , 2, 1 , 0(kk表示前k年没有遇到最低气温在C 0 2以下的 情况，但在第1k年遇到了最低气温在C 0 2以下的情况，故各概率应 按独立事件同时发生计算。)5 ,4, 3 ,2, 1 , 0( , 3 1 3 2 kkP k 而6表示这 6 年没有遇到最低气温在C 0 2以下的情况， 故其概率为 6 3 2 6P,因此的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 P 3 1 3 2 3 12 3 2 3 1 3 3 2 3 1 4 3 2 3 1 5 3 2 3 1 6 3 2

23、 （3）该地区从 2005 年到 2010 年至少遇到一次最低气温在C 0 2以下 的事件为6, 211或 所以9122.0 729 665 3 2 1011 6 6 1 PkPP i 评述：这是一道综合性很强的概率应用题，通过3 个设问，分别考查 了独立重复试验n次中发生k可次的概率，独立事件同时发生的概率 以及互斥事件有一个发生的概率。 知识就是力量 12 五、思维能力训练 （一）选择题：（本题共六小题） 1、如果两个事件 A、B 相互独立，则下列命题中正确的个数有（） （1）A与B相互对立（2）A与B相互对立（ 3）A与B相互对立 A、3 个B、2 个C、1 个D、0 个 2、10 张奖

24、券中有 2 张是有奖的， 甲、乙两人从中各抽一张， 甲先抽， 然后乙抽。设甲中奖的概率为 1 P，乙中奖的概率为 2 P，那么（） A、 1 P 2 PB、 1 P 2 PC、 1 P 2 PD、 1 P、 2 P大小不能确定 3、在一次国际乒乓球大赛中两位运动员打得难解难分，前六局打成 三比三，第七局打到了10：8，甲运动员领先，假设甲、乙运动员每 赢一球的概率是相等的，问乙运动员连赢4 球反败为胜的概率是多 少？（） A、 16 1 B、 2 1 C、 32 1 D、 8 1 4、在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不太方便，现从中任意选10 个 村庄，用表示这 10 个村庄中交通不方便

25、的村庄数，下列概率中等 于 10 15 6 8 4 7 C CC 的是（） A、2PB、2PC、4PD、4P 5、若1 2 xP，1 1 xP，其中 21 xx，则 21 xxP 等于（） A、11B、1C、11D、11 6、某油漆公司发出 10 桶油漆，其中白漆 5 桶、黑漆 3 桶、红漆 2 桶。 在搬运中所有标签脱落， 交货人随意将这些标签重新贴上，则一个订 知识就是力量 13 货 3 桶白漆、 2 桶黑漆和一桶红漆的顾客，能够按所订的颜色如数得 到订货的概率是多少？（） A、 3 1 B、 12 5 C、 7 2 D、 7 1 （二）填空题：（本题共二小题） 7、某人有 10 万元，有

26、两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行 获取利息。购买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态： 形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利4 万 元，若形势中等可获利1 万元，若形势不好要损失2 万元。如果存入 银行，假设年利率为 8%。 又设经济形势好、中、 差的概率分别为30%、 50%、20%，试问应选择哪一种方案， 可使投资的效益较大？。 8、将一个各个面均涂有颜色的正方体锯成64 个同样大小的小正方 体，从这些小正方体中任取一个，其中至少有一面涂有颜色的概率是 。 （三）解答题：（本题共二小题） 9、某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是

27、0.5（相互独立） （1）求至少 3 人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3。 知识就是力量 14 10、下表为某班英语及数学成绩的分布学生共有 50 人，成绩分 15 五个档次例如表中所示英语成绩为4 分、数学成绩为 2 分的学生为 5 人将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片同学的英 语成绩为x，数学成绩为y设, x y为随机变量（注：没有相同姓名的 学生） （）1x的概率为多少？ 33xy且的概率为多少？ （）ab等于多少？ 若y的期望为 133 50 ，试确定a，b的值 思维能力训练答案： 1、D 2、B 3、A 4、C 5、B 6、C 7、投资股票8、 8 7 9、解： （1） 32 21 （2）至少 5 人同时上网的概率小于0.3。 10、解： （1） 13 1184 (1),(3,3) 50105025 P xP xy； （2） 535107 (2)1(1)(3)13 50505050 ab P xP xP xab； 又 5415158133 5432149 505050505050 ba ab； 结合可得1a，2b y x 数学 5 4 3 2 1 英 语 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b6 0 a 1 0 0 1 1 3