k5最值问题(钱云赞).pdf

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1、知识就是力量 1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 最值问题 钱库二高钱云赞 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点， 各个知识水平 层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结 合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、 实践和创 新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考， 从题型分布来看， 大多数一道填空或选择题， 一道解答题； 从分值来看，约占总分的10%左右。特别是 2003 年北京卷，选择、填空题各一 道，解答题有两道，总分值有36分之多； 2003年上海卷，填空题各一道，解答 题有两道，

2、总分值有 36 分之多；2003年上海卷，填空题一道， 解答题也是两道， 总分值有近 30 分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更 是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见： 2005 年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保 持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题， 难度不会 太难。 二、考点回顾 : 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数 列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒

3、成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)0 对 xR 恒成立f(x)的最小值 0 成立， f(x)0 对 xR 恒成立f(x)的最大值 0 成立； 5、实际应用问题： 知识就是力量 2 实际应用问题中， 最优化问题占的比例较大， 通过建模可化为最值问题。 这 类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。 三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法均值不等式法 单调性 代数方法导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法线性规划 解析几何斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和

4、函数图像相结合； （2）),0()(Raa x a xxf:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 函数的最值 例 1(2002全国卷理 21) 设 a 为实数，)( 1)( 2 Rxaxxxf， 知识就是力量 3 （1）讨论)(xf的奇偶性； （2）求)(xf的最小值。 【考查目的】 本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值 等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。 【例题详解】 (1)解法一：常规思路：利用

5、定义。 2 )(xxf1ax， 2 )(xxf.1ax 若 2 2),()()(xxfxfxf即为奇函数，则Rxaxax此等式对.02 都不成立，故)(xf不是奇函数； 若)(xf为偶函数， 则)()(xfxf，即 2 x 2 1xax, 1ax此等式 对Rx恒成立，只能是0a. 故0a时，)(xf为偶数； 0a 时，)(xf既不是奇函数也不是偶函数。 解法二：从特殊考虑： , 1)0(af 又Rx，故)(xf不可能是奇函数。 若0a，则)(xf1)( 2 xxxf，)(xf为偶函数； 若 0a ，则12)(, 1)( 22 aaafaaf，知)()(afaf，故)(xf在 0a 时，既不是奇

6、函数又不是偶函数。 （2）当ax时， 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf，由二次函数图象及 其性质知： 若 2 1 a，函数)(xf在,(a上单调递减，从而函数)(xf在,(a上的最 小值为1)( 2 aaf； 知识就是力量 4 若 2 1 a，函数)(xf在,(a上的最小值为 4 3 ) 2 1 (f，且)() 2 1 (aff。 当ax时，函数 4 3 ) 2 1 (1)( 22 axaxxxf。 若 2 1 a， 函 数)(xf在),a上 的 最 小 值 为af 4 3 ) 2 1 (， 且 )() 2 1 (aff； 若 2 1 a，函数)(xf在),a上单调递增，从而

7、函数函数)(xf在),a上 的最小值为1)( 2 aaf。 综上所述，当 2 1 a时，函数)(xf的最小值是a 4 3 ；当 2 1 2 1 a时，函 数)(xf的最小值为1 2 a；当 2 1 a时，函数)(xf的最小值是 4 3 a。 【特别提示】 1研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 )(xf与)( xf是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。 2二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴 与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。 3本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最 值，有些同学概念不清

8、， 把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而 出现了一个函数有几个最小值的错误结论。 例 2、已知函数 x axx xf 2 )( 2 )., 1 ,x （1）当 2 1 a时，求函数)(xf的最小值； （2）若对任意0)(), 1xfx恒成立，试求实数 a的取值范围。 【考察目的】 本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性， 二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。 【例题详解】 （1）当 2 1 a时， 2 1 1)( ,2 2 1 )( zx xf x xxf。 知识就是力量 5 1x， 0)(xf。 )(xf在区间),1 上为增函数。 )

9、(xf在区间),1 上的最小值为 2 7 )1 (f。 （2）0 2 )( 2 x axx xf在区间), 1上恒成立； 02 2 axx在区间), 1上恒成立； axx2 2 在区间), 1上恒成立； 函数xxy2 2 在区间), 1上的最小值为 3 3a 即3a 【特别提示】 1第（1）题中，,2 2 1 )( x xxf这类函数，若0x，则优先考虑用均 值不等式求最小值， 但要注意等号是否成立， 即用均值不等式来求最值时，必须 注意：一正、二定、三相等，缺一不可。 2不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。 例 3、设 P为圆 2 x+ 2 y =1 上的动点，则点 P 到直线01043y

10、x的距离的最小 值为。 【考查目的】 本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题， 考查数形结合这一重要数学思想方法。 【例题详解】 解法一：设点 P),( 00 yx，则点 P 到直线01043yx的距离为： 5 1043 00 yx d 又1 2 0 2 0 yx，令)(sin,cos 00 Ryx，则 知识就是力量 6 5 10sin4cos3 d ) 3 4 (tan 5 10)cos(5 2)cos( 当1)cos(时，d有最小值 1。 解法二：圆心O 到直线01043yx的距离为 2，故圆上的点P 到直线 01043yx的距离的最小值为211。 【特别提示】

11、1本题是解析几何中的最值问题，可借助于形的直观性直接求解，如解 法二；也可建立目标函数，转而求函数的最值，如解法一。 2解法一涉及到求多元函数的最值，一般是通过消元转化为一元函数。 3函数2)cos(d的最小值，有很多同学误以为： 当 cos()取 最小值 1 时，函数有最小值，忽视了绝对值。 例 4、设曲线 x ey)0(x在点 t etM,()处的切线l与 x轴，y轴所围成的三角 形面积为)(tS。 （1）求切线l的方程； （2）求)(tS的最大值。 【考查目的】 本题考查导数公式， 导数的几何意义， 以及导数的应用等导数的基础知识，考查 综合应用能力。 【例题详解】 （1） x ey 在

12、点 M（t,e t ）处的切线l的斜率为 t e 切线l的方程为)(txeey tt （2）令,0x得);1 (tey t 知识就是力量 7 令,0y得,1tx ttS1 2 1 )()1 (te t 2 )1 ( 2 1 te t )0(t tt ettetS)1 ()1( 2 1 )( 2 )1)(1 ( 2 1 tte t 令10)( ttS得 又, 0)( S1; 0)( 10tttSt时，时， e tt 2 )(S1取到最大值时， 【特别提示】 1.由导数的几何意义知，函数在点M 处的导数值就是曲线在点M 处的切线 的全斜率，这是本题的突破口 2.建立目标函数，转而求目标函数的最值，

13、这是通法。 3.导数法是求函数最值的通法，但不一定是最佳方法，注意选择。 最值的实际应用 例 1（2004江苏卷 19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利， 而且要考虑可能出现的亏损。 某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利 率分别为 100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%，投资人计划投资 金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【考查目的】 本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的 能力。 【例题详解】 设投资人分别用yx

14、万元、万元投资甲、乙两个项目， 知识就是力量 8 由题意知 0 ,0 ,5 .11.03.0 ,10 y x yx yx 目标函数yxz5 .0 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域 作直线 00 , 05. 0:lyxl关作平行于直线的一组直线,5 .0Rzzy与可行 域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，此时纵截距最大，这里点M 是 直线8.11.03. 010yyx和的交点。 解方程组 8 .11.03 .0 ,10 yx yx 得6,4 yx 此时765 .04z(万元)。 6,4 yx当时 z取得最大值。 答：投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投

15、资乙项目，才能在确保可能的亏 损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。 【特别提示】 1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化 为求函数的最值。 2.本题的条件是一组二元一次不等式组，所求目标函数是二元一次线性函 数，所以考虑应用线性规划的知识来求解最值。 3.应用线性规划求解最值，关键是目标函数相应的直线的倾角的大小，角的 大小不一样，直线经过可行域上的最大值点就不一样。 知识就是力量 9 例 2（2003北京卷理 19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C 三点， 且,2,bBCaACAB今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医， 准备建在BC的垂

16、直平分线上的P处（建立坐标系如图）， （1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？ （2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P 位于何处？ 【考查目的】 本题主要考查二次函数、 分段函数的最值、 不等式等基本知识， 考查运用数 学知识分析问题和解决问题的能力，考查分数讨论、数形结合等数学思想方法。 【例题详解】 （1）由题设可知， 22 , 0bahba记，设点P的坐标为（y,0） ，则 点P至三镇距离的平方和为 222 )()(2)(yhybyf ,2 3 2 ) 3 (3 222 bh h y 当 3 h y时，函数)(yf取得最小值。 点P的坐标是（ 22 3 1 ,0b

17、a） 。 （2）解法一：P至三镇的最远距离为 时，当 时，当 yhybyh yhybyb yg 22 2222 , )( 由 h bh yyhyb 2 , 22 22 解得 记则, 2 22 h bh y 时当 时，当 yyyh yyyb yg , )( 22 知识就是力量 10 当,0 2 22 h bh y即bh时， 22 yb在), y上是增函数， 而yh在y，（上是减函数。 由此可知， 当*yy时，函数)(yg取得最小值;b 当,0 2 * 22 h bh y即bh时， 函数 22 yb在)*, y上先减后增，当0y时，取得最小值b，而 . byh 可见，当0y时，函数)(yg取得最小

18、值.b 当bh时，点 P的坐标为) 2 2 , 0( 22 22 ba ba ； 当bh时，点P的坐标为（ 0，0） 。其中 22 bah。 解法二：点P至三镇的最远距离为 时当 时，当 yhybyh yhybyb yg 22 2222 , )( 由, 2 , 2 222 22 h bh y h bh yyhyb 记解得， 于是 时，当 时，当 yyyh yyyb yg , )( 22 当)(, 0ygzbhy时，即的图象如图（ 1）所示。 知识就是力量 11 当yy时，函数)(yg取得最小值。 当)(, 0ygzbgy时，即的图象如图（ 2）所示 当0y时，函数)(yg取得最小值。 当bh时

19、，点P的坐标为; 2 2 ,0 22 22 ba ba 当时，bh点P的坐标为（ 0，0） ，其中 22 bah 【特别提示】 1.有关涉及用料最省， 成本最低，利润最大， 距离和最大 （小）等应用问题， 可考虑建立目标函数，转化为求函数最值问题来解决。 2.解决第（ 2）问首先要理解“点P到三镇的最远距离”的含义，才能分 yhybyhya 2222 和 两种情形列式。 3.函数的单调性在求最值中有着重要作用，运用函数的单调性求函数的最 值，是函数中常用的技巧之一。 4.第（ 2）问的解法二，借助图象比较大小，直观有效，新颖别致，望加以 体会。 【例 3】如图，四边形ABCD是一块边长为 4k

20、m 的正方形地域， 地域内有一条河 流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线 （河流宽度忽 略不计） .新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园PQCN（如图所示）问如 何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积. 知识就是力量 12 【考查目的】 本题考查解析几何， 函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能 力，考查数形结合的数学思想方法。 【例题详解】 以M为原点，AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系， 依题意可设抛物线方程 pxy2 2 。 四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， M 为 AB 中点， 点 D 坐标为（ 4,2） 由此得 42p4 2 1 p

21、 抛物线方程为)40( 2 xxy 设)20)(,( 2 yyyP是曲线 MD 上任一点，则 2 4,2yPNyPQ 矩形游乐园面积 S PQyyyyyPN428)4)(2( 232 对 S 求导，得 443 2 yyS 令0S，得 0443 2 yy 解之得 , 3 2 y或2y ,20y 知识就是力量 13 3 2 y 当) 3 2 ,0(y时，0S，函数为增函数； 当)2 , 3 2 (y时，0 s，函 所以当 3 2 y时，S 有最大值。 此时，, 3 8 3 2 22yPQ 9 32 ) 3 2 (44 22 yPN 游乐园最大面积为 )( 27 256 9 32 3 8 2 max

22、 kmS 【特别提示】 1.通过建系，可把形的问题转化为数的问题来解决。 2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。 五、能力训练 (一)、选择题 1 、已知 4 1 0x，则x x y 1 的最小值是 ( ) A.-2 B.2 C.- 4 15 D. 4 15 2、下列的函数中，最小值为4 的是( ) A. x xy 4 B.)0( sin 4 sinx x xy C. xx eey22 D.) 10(3log4log3xxy x 3 、函数13)( 3 xxxf在闭区间0 ,3上的最大值、最小值分别是 ( ) A.1，-1 B.1，-17 C.23，-17 D.9，-19 函数 1)2(4

23、)( 22 xxxf的最小值是 ( ) . A.13 B.23C.52 D.3 知识就是力量 14 5. 在区间2, 2 1 上，已知函数qpxxxf 2 )(与xxg2)( 2 1 x 在同一点 取得相同的最小值，那么)(xf在 2, 2 1 上的最大值 ( ) A. 4 13 B.4 C.8 D. 4 5 6 、某汽车运输公司为增强市场竞争力，购买了一批豪华客车投入 客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元 )与营运年数x为 二次函数关系 (如图) . 若使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆 客车营运的年数为 ( ) . A.3 B.4 C.5 D.6 (二)、填空题 7 、已知1

24、yx0，则 22 )1()1(yx的最小值是 _. 8 、若函数 x ay 2 0( 12aa x 且 ) 1a在1 , 1上14， 则实数a的值为 _. (三)、解答题 9、设二次函数0()( 2 acbxaxxf). （1）已知 0, 1)1()1 ()0(bfff求)(xf的最小值 ; （2）对一切实数,x)(xf的值恒为非负实数， 求)(ba ab cba M的 最小值 . 10、在直角坐标平面上给定一曲线xy2 2 . （1）设点A的坐标为)0 , 3 2 (，求曲线上距点A最近的点P的坐标及 相应的距离PA； （2）设点A的坐标为)0,(a，Ra，求曲线上的点到A的距离的最 小值 ).(afd 知识就是力量 15 11、已知),(42)( 2 Rcbacbxaxxf. （1） 若)(xf同时满足下列条件： ; 0a当2x时，有; 2)(xf 当1x时，)(xf最大值为 2. 求)(xf的解析式； （2）当 4 3 ,4 cb时，对于给定的负数,a有一个最大的正数)(al， 使得)(,0alx，时，都有5)(xf，问a为何值时，)(al最大，并求出 这个最大值 . 知识就是力量 16