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1、一道数学几何试题 数学课上，李老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况 ? 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的 DB 大小关系请你直接写出结论：AE = DB （填 “ ” ，“ ” 或“=”） （2）特例启发，解答题目 解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是：AE = DB （填 “ ” ，“ ” 或“=”）理由如下： 如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F，（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC 若
2、ABC 的边长为 1，AE=2 ， 求 CD 的长（请你直接写出结果） 考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质 专题：计算题 ；证明题 ；分类讨论 分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出D= ECB=30 ，ABC=60 ，求出 D= DEB=30 ，推出 DB=BE=AE 即可得到答案； （2）作 EFBC ，证出等边三角形AEF，再证 DBE EFC 即可得到答案； （3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD 即可 解答：解：（ 1）答案为： = （2）答案为： = 证明：在等边 ABC 中， ABC= ACB= B
3、AC=60 ，AB=BC=AC ， EFBC， AEF= ABC， AFE= ACB， AEF= AFE= BAC=60 ， AE=AF=EF ， AB-AE=AC-AF ， 即 BE=CF ， ABC= EDB+ BED=60 ， ACB= ECB+ FCE=60 ， ED=EC ， EDB= ECB ， EBC= EDB+ BED ， ACB= ECB+ FCE ， BED= FCE ， 在DBE 和EFC 中 ED=EC DEB= ECF EB=FC DBE EFC （SAS）， DB=EF ， AE=BD （3）解：分为四种情况： 如图： AB=AC=1 ，AE=2 ， B 是 AE
4、的中点， ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=1，ACE 是直角三角形（根据直角三角斜边的中线等于斜边的一半）， ACE=90 ， AEC=30 ， D= ECB= BEC=30 ， DBE= ABC=60 ， DEB=180 -30 -60 =90 ， 即DEB 是直角三角形 BD=2BE=2 （30 所对的边等于斜边的一半）， 即 CD=1+2=3 如图 2， 过 A作 ANBC 于 N，过 E 作 EMCD 于 M， 等边三角形ABC，EC=ED ， BN=CN= 1 2 BC= 1 2 ，CM=MD= 1 2 CD ，ANEM， BAN BEM ， AB AE = BN MN ，
5、 ABC 边长是 1，AE=2 ， 1 2 = 1 2 MN ， MN=1 ， CM=MN-CN=1- 1 2 = 1 2 ， CD=2CM=1 ； 如图 3， ECD EBC（ EBC=120 ），而 EDC 不能等于 120 ，否则 EDC 不符合三角形内角和 定理， 此时不存在EC=ED ； 如图 4 EDC ABC， ECB ACB， 又 ABC= ACB=60 ， ECD EDC ， 即此时 ED EC ， 此时情况不存在， 答： CD 的长是 3 或 1 点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识 点的理解和掌握，能综合运用这些性质
6、进行推理是解此题的关键 如图所示，已知，在ABC 中， ACB=90 ，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AMMN 于 M，BNMN 于 N （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时，求证：MN=AM+BN ； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立， 写出线段 AM、BN 与 MN 之间的数量关系？并说明理由 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）利用互余关系证明MAC=NCB ，又 AMC=CNB=90 ，AC=BC ，故可证 AMC CNB ， 从而有 AM=CN ，MC=BN ，利用线段的和差
7、关系证明结论； （2）类似于（ 1）的方法，证明 AMC CNB ，从而有 AM=CN ，MC=BN ，可推出 AM、BN 与 MN 之 间的数量关系 解答：证明：（ 1） AM MN，BNMN ， AMC= CNB=90 ， ACB=90 ， MAC+ ACM=90 ， NCB+ ACM=90 ， MAC= NCB ， 在AMC 和CNB 中 AMC= CNB MAC= NCB AC=CB ， AMC CNB （ AAS）， AM=CN ，MC=NB ， MN=NC+CM ， MN=AM+BN ； （2）结论： MN=NB-AM ，理由为： 证明： AM MN，BN MN， AMC= CNB=90 ， ACB=90 ， MAC+ ACM=90 ， NCB+ ACM=90 ， MAC= NCB ， 在AMC 和CNB 中 AMC= CNB MAC= NCB AC=CB ， AMC CNB （ AAS）， AM=CN ，MC=NB ， MN=CM-CN ， MN=BN-AM 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键