上海交通大学概率论与数理统计习题全解.pdf

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1、上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 1 习题 1 解：(1)1,2,3 ； (2)2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12 ； (3)n n为自然数； (4)1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5； (5),合格 合格合格 不合格不合格 不合格； (6) 1212 ,9,19t ttt； (7)02 ,ddr r为圆半径； (8)02ll。 解：(1) ABC 表示不是运动员的三年级男生； (2)当所有三年级男生都是运动员时，ABCC成立； (3)当运动员都是三年级学生时，CB是正确的。 (

2、2) ABC ； (3) ABC ； (4)ABC； (5)ABC； (6)ABBCCA； (7) ABCABCABC ； (8) ABCABCABC ； (9) ABC ； (10) ABC ； (11)ABCABCABCABC 。 解：(1) ABC 表示非平装的中文数学书； (2)若 CB ，则说明非平装图书都是中文图书； (3) ABAB，即所有数学书都不是中文版的。 证：(1),ABAB AABA ABA ABAAABABAB， 所以 ABAAB 。 (2) ABABAB。 解：将 5 本书排列到书架上共有 5 5!120P种排法，卷号自左向右或自右向左 恰好为 12345顺序共有

3、2 种排法，故所求概率为 1 60。 解：从八张卡片中任取两张共有 2 8 28C种取法，两个数字组成既约分数共有18 种取法，故所求概率为9 14。 解： 13个字母随机排列共有13!种排法， 组成MATHEMATICAN共有3!2!2!2!48 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 2 种排法，故所求概率为48 13!。 解： 7 位乘客在 210层的离开情况共有 7 9种， 没有 2位乘客在同一层离开共有 7 9 P 种情况，故所求概率为 77 9 9P。 解：把全班学生任意地分成人数相等的两组共有 2 4 n n C种分法，每组中男女人数相 等共有 22 nn nn C

4、 C种分法，故所求概率为 2 2 24 nn nn CC。 解：从 n双鞋子中任取2r只共有 2 2 r n C种取法。 (1)所取2r只鞋子应分属 n 双中的2r双，而每双中又可任取其中一只，即取 法有 22 2 rr n C，故所求概率为 222 2 2 rrr nn CC。 (2) 所取2r只鞋子中有 2 只属于 n 双中的某一双，其余22r只分属1n双 中的22r双， ，即取法有 12222 1 2 rr nn C C，故所求概率为 22222 12 2 rrr nn nCC。 (3)将一双鞋子视为一个整体，则2r只鞋子中恰成 r 对共有 r n C 种取法，故所 求概率为 2 2 r

5、r nn CC。 解：将2n根小棒接成 n根新棒共有21233 121 !nnn种接法。 (1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求概率为 121 !n。 (2)全部新棒的长度都与原来的一样共有12 1!nnn 种情况， 故所求概 率为!21 !nn。 1. 在三角形ABC中任取一点P， 证明：ABP与ABC面积之比大于1nn的 概率为 2 1 n 。 证明： 如图，由 1 ABP ABC Sn Sn ，得 11 , A B CABP ABCABC hhn hnhn 。 显然，当P落在A B C中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发 生的概率为 2 2 1 A B C

6、A B C ABCABC Sh Shn 2. 两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到达。设两船 停靠泊位的时间分别为1 小时与 2 小时，求两艘船都不需要等候泊位空出的 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 3 概率。 解： 设两艘船的到达时刻为,x y， 则0,2 4x y， 两船相会的条件为01xy， 02yx。如图，由几何概率知，所求概率为 22 2 11 2322 22 0.879 24 。 3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午1 点与 2 点之间到达相会地点，求 一个至少要等候另一个人十分钟的概率。 解： 设两人的到达时刻分别为,x y，则0,

7、1x y，一人至少等候十分钟的条件 为1 6xy。如图，由几何概率知，所求概率为 2 2 1 1 256 136 。 4. 圆内有一内接正方形，随机地向圆内投10 点，求其中 4 点落在正方形内， 3 点落在一个弓形内，其余3 点分别落在其他 3 个弓形内的概率。 解： 不妨设圆半径为1，则圆面积为，内接正方形的面积为2，弓形面积为 24 ，点落在内接正方形内的概率为2，点落在一个弓形内的概率为 24。 符合题意的点的落法有许多方式， 在一种方式中，概率显然为 46 22 4 。 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 4 而这种方式应有 43 10642 10! 3! C C

8、P，故所求概率为 46 2 10!22 4 3! 。 解：设,A B C居民订甲、乙、 丙三种报纸，则0.45,0.35,0.3P AP BP C， 0.1,0.05,0.08,0.03P ABP BCP ACP ABC。 (1)因为 P ABCP ABCP A ，故所求P ABCP AP ABAC 0.450.10.080.0330%P AP ABP ACP ABC。 (2)因为PABCPABCPAB，故 所求PABCPABPABC 0.10.037%。 (3)类似(1)计算可得，0.23,0.2P ABCP ABC，故所求 P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC 0.30.2

9、30.20.73。 (4) 类似(2)计算可得，0.02,0.05P ABCP ABC，从而所求 P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC 0.020.050.0714%。 (5) 所 求 PABCP APBPCPA BPB CPC AP 0.450.350.30.1 0.080.050.0390%ABC。 (6)所求110.910%P ABCP ABC。 5. 某年级有 100 个学生进行测验， 数学成绩得优的有70 人，语文成绩得优的有 75 人，英语成绩得优的有80 人，政治成绩得优的有85 人，证明： 4 门课程 全部得优的学生至少有10 人。 证明： 由 4 1 1234

10、1 1 1 k k k P AAAAP AP A，得 3 1 12341 2 2.11 k k k P A A A AP AP A 3412 12233414 2.10.1P A A AA A AP A A AA A A， 故 4 门课程全部得优的学生至少有10%即 10 人。 6. 某班级有 n 个人365n，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？ 解： n个人的生日共有365 n 种情况，所有人生日都不在同一天共有 365 n P种情况， 故所求概率为 365! 1 365365! n n 。 解：设A表示至少有一件废品，B表示两件都是废品，C表示至少有一件正品， D表示两件中一件正品

11、一件废品，则 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 5 112112 22 , MmmmMmmMm MM CCCCCC P AP C CC ， 211 22 , mMmm MM CCC P ABP BP CDP D CC 。 (1)所求为 1 21 P ABm P B A P AMm ； (2)所求为 2 1 P CD m P D C P CMm 。 解： 设A表示任选一名射手能通过选拔，1,2,3,4 i Bi表示此射手为i级，则 1 5, 2 5, 7 20,1 20,0.9, 0.7, 0.5, 0.2 ii P BP A B。 由全概率公式 4 1 0.645 ii i

12、 P AP A B P B。 解：设A表示朋友迟到了，1,2,3,4 i Bi分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、 飞机，则0.3,0.2,0.1,0.4,1 4,1 3,1 2,0 ii P BP A B。 由全概率公式 4 1 0.15 ii i P AP A B P B，再由贝叶斯公式 11 1 0.5 P A BP B P B A P A 。 解： 设A表示被抽取之人是色盲，1,2 i Bi分别表示此人为男性、女性，则 0.51,0.49,0.05,0.025 ii P BP A B。 由全概率公式 2 1 0.03775 ii i P AP A B P B，再由贝叶斯公式 11 1 0.

13、6755 P A BP B P B A P A 。 解： 设1,2,3 i Ai表示在第i个图书馆能借到， 根据题意，1 2 1 21 4 i P A。 所求为 123123123 11P AAAP A A AP AP AP A 3 13 437 64。 解：设至少要装 n个产品，X表示 n个产品中废品数，则,0.03XB n。 由题意和泊松近似，1000.9P Xn， 0.03 99 0.03 0.1 ! k n n kn en k 。 0. 0 3 ,9 9 ,0nxnp，即2.970.03x，根据泊松分布表，满足上 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 6 述关系最小的6

14、,3.15x，从而105n，即至少要装 105 个产品。 解： 由题意知，0.92,0.93,0.85P AP BP B A， 得P A BP BA P A 0.068，0.862P ABP BP AB，故 (1)所求为0.988P ABP AP BP AB； (2)0.058P ABP APAB，所求为0.829 P AB P A B P B 解：设,A B C分别表示第一、二、三道工序不出废品，则,A B C相互独立，且 0.9,0.95,0.8P AP BP C，所求为0.684P ABCP A P B P C。 解：设X为贡献正确意见的顾问数，则9,0.7XB。 所求为 5546637

15、728819 9999 50.7 0.30.7 0.30.7 0.30.7 0.30.7P XCCCC 0 . 9 0 1 2。 习题 2 解：X的取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ，对应的概率为 67 36 i P Xi。 1 11 1 22 67 111 543210123451 36636 ii i P Xi。 解：X的取值为8,11,21,23,27 ，对应的概率为 232323 675747 3 7,2 7,CCCCCC 2323 3727 6 35,3 35,1 35CCCC，所以分布律为 X8 11 21 23 27 p 3 72 76 353 351 3

16、5 分布函数为 08 3 7811 5 71121 31 352123 34 352327 127 x x x Fx x x x 。 解：X=0,1,2,3,4,5， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 7 58 100 4156 595100 3254 595100 2352 595100 145 595100 55 95100 011.328 10, 16.30910, 25.93 10, 31.8410, 40.21, 50.77, P XC P XC CC P XC CC P XC CC P XC CC P XCC 故 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P

17、8 1.328 10 6 6.309 10 4 5.93 10 2 1.84100.210.77 分布函数 8 6 4 2 0,0 1.32810,01 6.32210,12 ( ) 5.994 10,23 1.8410,34 0.23,45 1,5 x x x F x x x x x 。 解：X的分布律为113,1,2,13P Xkk。 (1) 155 13PX 。 (2) 6 1 66 13 k FP Xk。 解：(1) 2 1 11 41 2,4,6, 21 1 43 k k P X。 (2) 3 11 81 3 21 1 24 k k P X。 解： 由分布律性质知， 1 11 (1)

18、1 k kk P XkApp， 即 1 1 ,1 11 ApA p 。 解：设同时被使用的取款机数为X，则 4 4 4,0.1 ,0.1 0.9 kkk XBP XkC。 (1) 所求为 224 2 4 20.1 0.90.0468P XC。 (2) 所求为 4113222 44 20.90.10.90.1 0.90.9963P XCC。 (3) 所求为 222334 44 20.1 0.90.1 0.90.10.0523P XCC。 解：(1) 设X表示 4 人中血型为A的人数，则4,0.4XB，所求为 222 4 20. 40. 60. 3 4 5 6PXC。 (2) 设X表示 4 人中血

19、型为B的人数，则4,0.2XB，所求为 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 8 4 00.80.4096P X。 解：设X为击中次数，则 (1)3,0.3XB， 22 3 20.3 0.70.330.216P XC。 (2)5,0.3XB， 223332 55 230.3 0.70.3 0.70.441PXCC。 解：设,X Y为甲、乙投中次数，则2,0.6 ,2,0.5XBYB。 (1)0,01,12,2P XYP XYP XYP XY 221122 22 0.4 0.5C 0.6 0.4 C 0.5 0.50.60.50.37。 (2)1,02,02,1P XYP XYP

20、 XYP XY 122122 22 C 0.6 0.4 0.50.6C 0.5 0.50.60.50.39。 解： 0.6 0.6 ! k t te P Xk k 。 (1)6t， 0 0.6 60.6 6 0.6 6.50.6 6 10.1257 0!1! ee P X。 (2)5.5t， 0 0.6 5.50.6 5.5 0.6 5.50.6 5.5 210.8414 0!1! ee P X。 解：设 n为配备的维修人员数，X为同时报修的业主数，则1000,0.05XB， 用泊松近似得，5X。 由题意，0.95P Xn，经查表得9n。 解：(1)由概率密度性质，1fx dx，即 2 1 1

21、 A dx x ，得 1 A。 (2) 2 111 arctan 12 xx Fxft dtdtx t 。 (3) 31 11,0330 43 P XFPXFF， 331 33 332 PXFF。 解：(1)由分布函数的性质，1,0000FFF，得1,1ab。 (2) 2 exp,0 2 0, x xx fxFx 其它 。 (3) ln 4ln16ln16ln 4PXFF 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 9 22 ln16ln 4 1 1exp1exp 224 。 解： 2 0 1 ,0, 1 1 0, x x x dtx x tFxft dt 其它 。 解：(1) 1

22、2 0.70.7 0.71210.0837P Xfx dxxxdx。 (2) 0.850.85 2 0.650.65 0.650.851210.1145PXfx dxxxdx。 解：K的概率密度为 1 ,2,4 6 0, x fx 其它 ，实根的概率为 14 2 23 111 4812013 663 PKKP KKdxdx。 解： 600 1 ,0 600 0,0 x ex fx x 。 (1) 1 600 600600 1 600 600 x P Xfx dxedxe。 (2) 900900 11.5 600 600600 1 600900 600 x PXfx dxedxee。 (3) 由

23、(1)、(2)知，手机的寿命不超过600 的概率为 1 1e，超过 900 天的概率 为 1.5 e，所以当一只手机的寿命不超过600时，另一只手机寿命超过900 天的概率 11.5 1ee。 解：设打电话的时间为X，打电话时间超过10 min 的次数为Y，则0.5Xe， 0.55 10 100.50.006738 x pP Xedxe。282,YBp ， 由泊松近似， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 10 2821.9p， 1.91.9 211.90.56625P Yee。 解：(1) 65 69.51.51.50.9332 3 X P XP。 (2) 65 60701

24、.671.6721.6710.905 3 X PXP。 解：(1) 90 892120.0228 0.5 X P XP。 (2) 8080 800.99,10.99 0.50.50.5 Xddd P XP， 8080 0.1,2.33,81.165 0.50.5 dd d 。 解：8120.9PX， 21022 210.9 X P， 2 0. 9 5 ,1. 2 1 2。 解：(1) Y0 2 e 2 4e p 0.2 0.4 0.4 (2) Y1 ln 2eln 3eln 4e p 0.1 0.2 0.3 0.4 解：(1)X的分布律为 X-1 1 2 p 0.3 0.5 0.2 (2)Y的

25、分布律为 Y1 2 p 0.8 0.2 解：X的概率密度函数为 2 2 1 2 x X fxe。 (1) 11 21 22 YX yy FyP YyPXyPXF， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 11 2 1 8 111 , 22 2 2 y YYX y fyFyfey。 (2) X Y FyP YyP ey。 当0y时，0 Y Fy； 当0y时，ln1ln YX FyP XyFy ， 2 ln 2 11 ln 2 y YYX fyFyfye yy ，从而 2 ln 2 1 ,0 2 0, y Y ey fy y 其它 。 (3)yXPyYPyFY 2 )(。 当0y时，

26、0)(yFY，0)()(yFyf YY ； 当0y时，yFyFyXyPyF XXY )(， y yf y yf y yfyFyf XXXYY 1 2 1 2 1 )()(，故 1 22 1 ,0 ( ) 2 0,0 y Y yey fy y 。 解：X的概率密度函数为 1 ,0, 0, X x fx 其它 。 (1) 22 2ln yy YX FyP YyPXyPXeFe， 2 22 1 ,2ln1 2 2 0, y yy YYX ey fyFyfee 其它 。 (2)cos Y FyP YyPXy 。 当1y时，0 Y Fy；当1y时，1 Y Fy；从而0 YY fyFy。 当11y时，ar

27、ccos1arccos YX FyP XyFy ， 22 11 arccos 11 YYX fyFyfy yy ，从而 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 12 2 1 ,11 1 0, Y y fyy 其它 。 (3)sin Y FyP YyPXy 。 当0y时，0 Y Fy；当1y时，1 Y Fy；从而0 YY fyFy。 当01y时，arcsinarcsinarcsin1 YX FyP XyXyFy arcsin X Fy ，得 222 112 arcsinarcsin 111 YYXX fyFyfyfy yyy ， 从而 2 2 , 01 1 0, Y y fyy 其

28、它 。 习题 3 解：3 正 0 反2 正 1 反1 正 2 反0 正 3 反 )3 ,0()1 , 1()1 ,2()3, 3(),(YX 显然，)21, 3( BX， 8 1 0 2 1 3 2 1 3 3 33, 3CXPYXP， 8 3 1 2 1 2 2 1 2 3 21, 2CXPYXP， 8 3 2 2 1 1 2 1 1 3 12, 1CXPYXP， 8 1 3 2 1 0 2 1 0 3 03,0CXPYXP， 故X与Y的联合分布律为 解：放回抽样： 17 1728917351 0,0,0,1 20204002020400 P XYP XY， 3 17513 39 1,0,1

29、,1 20204002020400 P XYP XY， X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 Y 3 2 1 0 3 1 8 1 00 8 1 0 8 3 8 3 0 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 13 0 289 40051 400 1 51 4009 400 不放回抽样： 17 1627217351 0,0,0,1 20 1938020 19400 P XYP XY， 3 1751326 1,0,1,1 20 1938020 19380 P XYP XY， X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 272 38051 380 1 51 3806 380 解：(1)由

30、,1fx y dxdy，得 1 641, 64 AA。 (2) 21 00 113 1,28 6464 P XYxy dxdy。 (3) 42 00 15 28 648 P Xxy dxdy。 (4) 33 00 127 38 6464 y P XYxy dxdy。 解：X和Y的联合分布律以及(,)X Y的边缘分布律为 Y X0 1 2 3 4 5 j p 0 1 322 321 320 0 0 4 32 1 0 3 326 323 320 0 12 32 2 0 0 3 326 323 320 12 32 3 0 0 0 1 322 321 324 32 i p1 325 3210 3210

31、 325 321 321 解：(1)由,1fx y dxdy，得 1 1,8 8 AA。 (2) 1 2 841,01 , 0, x X xydyxxx fxfx y dy 其它 ， 3 0 84,01 , 0, y Y xydxyy fyfx y dx 其它 。 解： ,0 , 0, yx x X e dyex fxfx y dy 其它 ， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 14 0 ,0 , 0, y yy Y e dxyey fyfx y dx 其它 。 解： 111 , 1010 91 P XiP Xi Yk i ，所以条件分布律为 1 , 10 0, ki P Y

32、k Xi i ki 。 解：(1) 00!()! n mn mnn mmn m n mm eab ea be P XnC a b m nmnn ， ! mnmmnmbm nmnm ea beabea P Ym mnmmnmm 。 (2) , ! bn m P Xn Ym e b P Xn Ym P Ymnm ， ,! ! mnm n P Xn Yma bn P Ym Xn P Xn abmnm 。 解：(1)边缘分布律 i p 、 j p 见表格。 (2)从表格中易得条件分布律为 k 30 31 32 33 34 33P Yk X1 122 125 123 12112 解：(1) 2 2 ,1

33、,01 , 0, X Y Y x xyx fx y yfx y fy 其它 。 (2) 2 2 ,1,01, 1 0, Y X X y xyxfx y fy x x fx 其它 ， 91 ,1 1 43 3 0, Y X y y fy 其它 。 (3) 1 11 42 1118 1 4223 Y X y P YXfydydy。 解： 2 0 33, 01 , 0, x X xdyxx fxfx y dy 其它 ， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 15 1 2 3 31, 01 , 2 0, y Y xdxyy fyfx y dx 其它 ， 1 ,0, 01, 0, X Y

34、 Y yxxfx y fx yx fy 其它 ， 2 2 , 0, 01 , 1 0, X Y Y x yxx fx y yfx y fy 其它 。 解：(1)从计算表格中易看出，放回时独立，不放回时不独立。 (2)因为, XY fx fyfx y ，所以X和Y不独立。 解：(1) 1, 01 0, X x fx 其它 ， 2 1 ,01,0 , 2 0, y XY exy fx yfx fy 其它 。 (2) 2 1 22 2 00 1 4400.8556 2 y x PXYP XYdxedy。 解：因YX ,独立，所以X和Y的联合概率密度为 22 1 ,exp 22 xy fx y。 2

35、22 2 22 02 4 1 0, 2 r xy P Zfx y dxdyderdre， 2 22 22 21 22 01 14 1 1, 2 r xy P Zfx y dxdyderdree， 2 22 21 21 2 00 1 1 2,1 2 r xy P Zfx y dxdyderdre， Z的分布律为 Z 0 1 2 k p 2 e 1 2 2 ee 1 2 1 e 解：(1)因YX ,独立，所以 2 ,0 0,0 x XX Y xex fx yfx x ； (2) 11,011,0 , 0,00,0 xy XY xexyey FxFy xy ， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版

36、 ) 习题全解 16 1111,0 ( )( ) 0,0 zz UXY zezez FzFz Fz z ， 111,0 11( ) 1( ) 0,0 z VXY zzez FzFzFz z ， 22222 ,0 0,0 zzz U zezezz ez fz z ， 222 ,0 0,0 z V zz ez fz z 。 解：因YX ,独立，故 2 0 1 ( )( )()() 2 ZXYYfzfx fzx dxfzx dx， 令xzt，则 2 1 ( )( ) 2 z ZY z fzft dt。 当0z时，0)(,0)(zftf zY ； 当02z时， 0 200 1111 ( )( )( )

37、1 2222 zz tz ZYY z fzft dtft dte dte； 当1z时， 2 2 11 ( )1 22 z tz Z z fze dtee； 故 2 00 1 ( )102 2 1 12 2 z Z z z fzez eez 。 解：(1)因为各周需要量相互独立，所以两周需要量ZXY的概率密度为 3 0 ,0 ( )( )() 6 0, z zx xz ZXY z xezx edxez fzfx fzx dx 其它 。 (2)类似可得，三周需要量的概率密度为 5 ,0 ( ) 120 0, z Z z ez fz 其它 。 解：(1) 0 11 1,0 ,22 0, xyx X

38、xy edyxex fxfx y dy 其它 ， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 17 同理， 1 1,0 2 0, y Y yey fy 其它 ，显然X和Y不相互独立。 (2) 2 0 11 ,0 ( )( ,)22 0, z zz Z ze dxz ez fzf x zx dx 其它 。 证：因X和Y相互独立，故 22 2 2 2 1 , 2 xy XY fx yfx fye。 设G表示区域 222 xyz ，则 22 ( ) Z FzP ZzPXYz 。 当0z时，( )0,( )0 Zz Fzfz； 当 0z 时， 22 2 222 2 2 1 ( ), 2 xy

39、 Z GG FzP XYzfx y dxdyedxdy 22 22 2 22 2 00 1 1 2 rz z derdre， 2 2 2 2 ( )( ) z ZZ z fzFze，故 2 22 exp,0 2 0, Z zz z fz 其它 。 18. 设某种型号的节能灯的寿命(以小时计 )近似地服从 2 2000,200N分布，随机 地选取 5 只，求其中没有一只寿命小于1900 的概率。 解：设节能灯的寿命的为X，则 2 2000,200XN， 200019002000 19000.510.50.6915 200200 X P XP。 再设 5 只中寿命小于 1900 的节能灯数为Y，则

40、5,0.6915YB，所求为 5 00.69150.1581P Y。 21. 对某种电子装置的输出测量了5 次，得到的结果为 125 ,XXX 。设它们是 相互独立的随机变量且都服从参数2的瑞利分布。 (1)求 125 max,ZXXX的分布函数； (2)求4P Z。 解：(1) 22 22 0 exp1exp 28 i xx X ttx Fxft dtdt， 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 18 2 15 5 8 1,0 0, z ZXX ez FzFzFz 其它 。 (2) 2 5 4 8 414110.5167 Z P ZFe。 22. 设随机变量X和Y相互独立，且

41、服从同一分布，密度函数为 2 1 , 1 fxx x 。 试证： 0.5 XY 也有同样形式的密度函数。 证：令0.5ZXY ，记2Gxyz为区域，则Z的分布函数 ( )0.5 Z FzP ZzPXYz 2 ( , )( , ) zy G f x y dxdyxyf x y dx dy 先 后 22 ( , )( ) zyzy fx y dy dxg x dx 记为， 故 ( )( )2 ()2(2, )2( ,2) ZZ fzFzg zyfzy y dyf xzx dx或。 若X与Y独立，即)()(),(yfxfyxf YX ，则 ( )2(2)( )( )2( )(2) ZXYZXY fz

42、fzy fy dyfzfx fzx dx或。 222 111 ( )2( )(2)2 11 12 ZXY fzfx fzx dxdx xz zx 即 0.5 XY 也有同样形式的密度函数。 23. 设随机变量X和Y是相互独立的，其分布律分别为 ,1,2,1,2,P Xkp kkP Yrq rr， 证明：随机变量ZXY的分布律为 0 ,1,2, i k P Zip k q iki。 证：因为X和Y相互独立，所以 00 , ii kk P ZiP Xk YikP Xk P Yik 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 19 0 ,1 , 2 , i k pkqiki。 24. 设X

43、和Y是相互独立的随机变量， 12 ,XY，证明：ZXY 12 Z。 证：, 2, 1 ,0, ! , ! 21 21 ji j e jXP i e iXP ji ， k i ikik iik e i e ikYPiXPkZP 0 21 0)!(! 21 ,2, 1 , 0, ! 1 2121 21 0 21 ke k eC k k k i ikii k ， 即 21 Z。 25. 设随机变量X和Y相互独立，且 12 ,XY，这里的 12 , 均大于 0，则 12 ,XY。 注：如,X，则分布的密度函数为 1 ,0 0,0 x xe x fx x 。 证：因YX ,独立，故( )( )() ZX

44、Y fzfx fzx dx 1111 2 2 11 1 1 1 11 0 12 ,0 0, z zx x z ze z zxexe dx 其它 ， 所以 12 ,XY。 26. 设随机变量,X Y 的分布律如下表所示： Y 0 1 2 3 4 0 0.00 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.02 0.03 0.06 0.07 0.08 2 0.02 0.04 0.06 0.06 0.07 3 0.03 0.03 0.05 0.07 0.07 (1)求22 ,30P XYP YX。 (2)求max,VX Y 的分布律； (3)求min,UX Y 的分布律； (4)求WXY的分布律。

45、 X Y 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 20 解：(1) 20.25,2,20.06,22P YP XYP XY 2 ,2 6 225 PXY P Y 。 0,3 3 00.07,0,30.03,30 07 P XY P XP XYP YX P X 。 (2)V的取值为 0,1,2,3,4。 00,00P VP XY， 10,11,01,10.08P VPXYXYXY， 同理，20.23,30.38,40.31P VP VP V，V的分布律为 V 0 1 2 3 4 p 0 0.08 0.23 0.38 0.31 (3)U的取值为 0,1,2,3。 00,00,14,0

46、P UPXYXYXY 0.030.050.070.090.020.020.030.31， 同理，10.31,20.24,30.14P UP UP U，U的分布律为 U 0 1 2 3 p 0.31 0.31 0.24 0.14 (4)W的取值为 0,1,2,3,4,5,6,7 。 00,00P WP XY， 同理，10.05,20.1,30.2,40.25P WP WP WP W， 50.19,50.14,70.07P WP WP W，W的分布律为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 p 0 0.05 0.1 0.2 0.25 0.19 0.14 0.07 习题 4 1. 在一副去掉大、小王的

47、扑克牌中，随意抽取一张，记录花色后放回，洗一下 牌，再抽取一张，记录花色，如此循环，直至抽到红桃为止，求抽取次数的 期望。 解：随意抽取一张，抽到红桃的概率显然为1 4p。 设X为第一次抽到红桃时的抽取次数，则X服从参数为p的几何分布，即 1 1,1,2, k kP Xkppp k。 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 21 1 1 1111 1 14 1 k kk k kkkk q EXkpkpppkqpqp qp 。 2. 射击考核中规定，射击5 发子弹，其中 5 发都不命中目标得0 分，命中k发 得k分1,2,5k。一射手每次击中目标的概率为0.7，求这一射手的期望 得

48、分。 解：设X为射手的得分，依题意知，5,0.7XB，故3.5E Xnp。 3. 一机器生产瓶装饮料， 每瓶饮料质量的误差不超过2%。检验员每天两次检查 瓶装饮料的质量， 每次随机取 50 瓶。如其中有两瓶或两瓶以上质量的误差超 过 2%，则要调整机器， 一周(共 5 天)中调整设备的次数为X，求 E X 。 （设 各瓶饮料的误差相互独立） （缺条件） 解： 设Y为每次检验时发现的次品数，则10,0.1YB，调整设备的概率p 109 110.9100.90.10.2639P Y。 4 ,XBp，41.0556E Xp。 4. 高一(1)班和高一 (2)班用同一张试卷进行数学测验，成绩分为不及格

49、、及格、 中、良、优五等，这五等成绩分别用1、2、3、4、5 表示。用X表示(1)班任 一同学的成绩，Y表示(2)班任一同学的成绩， 统计两班成绩得下面概率分布： X1 2 3 4 5 p0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 Y1 2 3 4 5 p0.37 0.1 0.09 0.09 0.35 问一般认为哪个班级的成绩较好? 解：因为3,2.95E XE Y，所以 (1)班成绩较好。 5. 设随机变量X的概率分布为 1 2,1,2, 2 k k PXk， 证明： E X 不存在。 证：因为 11 1 2 2 k k k kk E Xkp，不收敛，所以 E X 不存在。 6. 设随机变量X的概率密度函数为 2 1 ,1 1 0, x fx x 其它 ， 求 E X 。 上海交通大学概率论与数理统计( 第二版 ) 习题全解 22 解： 1 21 1 0 1 EXxfx dxxdx x 。 7. 气体分子的速度服从麦克斯威尔分布，概率密度函数为 2 2 2 exp,0 0, x Axx fxa 其它 ， 其中0a是常数，确定系数A，并计