中考数学动点题.pdf

《中考数学动点题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学动点题.pdf（68页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 中考数学动点题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用 有关数学知识解决问题. 关键:动中求静 . 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“ 对 称、动点的运动 ” 等研究手段和方法， 来探索与发现图形性质及图形变化，在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的 过程， 以能力立意，考查学生的自主探究能力， 促进培养学生解决问题的能力 图 形在动点

2、的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况， 才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“ 动点” 探究题 的基本思路 ,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动 手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察 学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力 等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合 思想；（ 4）分类思想；（ 5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就 能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向

3、，它有利于我们教师在教 学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质 2 教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区 分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点 专题一：建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数 关系. 那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例 1(2000 年2上海 )

4、如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上, 有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G. (1) 当点 P在弧 AB上运动时 , 线段 GO 、 GP 、 GH中, 有无长度保持不变的线段? 如果有 , 请指出这样的线段 , 并求出相应的长度 . (2) 设 PH x ,GP y, 求y 关于 x的函数解析式，并写出函数的定义域 (即自变 量x的取值范围 ). (3) 如果 PGH 是等腰三角形 , 试求出线段 PH的长. 解: H M N G P O A B 图 1 x y 3 二、应用比例式建立函数解析式 例 2（2006年2山东）如图2,

5、在ABC中,AB=AC=1,点 D,E在直线 BC上运 动. 设 BD= ,x CE=y. (1)如果BAC=30 , DAE=105 ,试确定 y与x之间的函数解析式； (2)如果 BAC的度数为, DAE的度数为, 当,满足怎样的关系式 时,(1) 中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由 . 解: A E D C B 图 2 4 例 3(2005 年2上海 )如图 3(1), 在ABC中, ABC=90 ,AB=4,BC=3. 点 O 是边 AC上的一个动点 , 以点 O为圆心作半圆 , 与边 AB相切于点 D,交线段 OC于 点 E.作 EP ED,交射线 AB于点 P,交射线 CB

6、于点 F. (1) 求证: ADE AEP. (2) 设 OA=x,AP= y ,求 y 关于 x 的函数解析式 ,并 写出它的定义域 . (3) 当 BF=1时, 求线段 AP的长. 解:( P D E A C B 3(2) O F 5 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4（2004 年2上海）如图, 在ABC中, BAC=90 ,AB=AC=22, A的半 径为 1. 若点 O在 BC边上运动 ( 与点 B、C不重合 ), 设 BO=x, AOC 的面积为 y. (1) 求y关于x的函数解析式 , 并写出函数的定义域 . (2) 以点 O为圆心,BO长为半径作圆 O,求当 O与A

7、相切时, AOC 的面积. 解: A B C O 图 8 H 6 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要 把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特 殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探 究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯 形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简 单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题 7 F A B C E D 1（09 年徐汇区） 如图，ABC中，10ACAB，1

8、2BC，点D在边BC上， 且 4BD ，以点 D 为顶点作 BEDF ，分别交边 AB 于点 E ，交射线 CA 于 点 F （1）当6AE时，求AF的长； （2）当以点 C为圆心CF长为半径的C和以点A为圆心AE长为半径的A相 切 时 ， 求BE的长； （3）当以边 AC为直径的O与线段DE相切 时，求BE的长 题型背景和区分度测量点 本题改编自新教材九上 相似形24.5(4) 例六,典型的一线三角 (三等角 )问题,试题在原 题的基础上改编出第一小题,当 E 点在 AB 边上运动时， 渗透入圆与圆的位置关 系(相切问题 )的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切 问题)的

9、存在性的研究形成了第三小题区分度测量点在直线与圆的位置关系和 圆与圆的位置关系 ,从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法 1直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程 2 圆与圆的位置关系的存在性( 相切问题 )的处理方法：利用 d=R r(rR) 建立方程 8 A B C D E O l A 3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段. 解： （二）线动问题 在矩形 ABCD 中，AB3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A重合，

10、求 BC 的长； (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AO 4 1 AC，设 AD 的长为x，五边形 BCDEF 的面积为 S.求 S关于x的 函数关系式，并指出 x 的取值范围； 探索：是否存在这样的 x ， 以 A 为圆心，以 x 4 3 长 为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出 x的值；若 不存在，请说明理由 9 A B C D E O l F 题型背景和区分度测量点 本题以矩形为背景 ,结合轴对称、相似、三角等相关 知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾 股定理三小块知识内容；当直线l沿 AB 边向上平移时， 探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的 位置

11、关系 (相切问题 )的存在性的研究形成了区分度测量 点二 区分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解析式， 规则图形套用公式或用割补法，不规则图形 用割补法 2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程 3解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段. （三）面动问题 如图，在ABC中，6,5 BCACAB，D、E分别是边AB、 AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持BCDE， 以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG. （1）试求 ABC的面积； （2）当边 FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长； （3）设xAD，ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的

12、 函数关系式，并写出定义域； FG E C A B D 10 （4）当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长 题型背景和区分度测量点 本题改编自新教材九上 相似形 24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题, 试题为了形成坡度， 在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当 D 点在 AB 边上运动时，正方形 DEFG整体动起来， GF 边落在 BC 边上时，恰好 和教材中的例题对应， 可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大 边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形 成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存 在性来

13、设置区分测量点二 区分度性小题处理手法 图3-5 图3-4 图3-3 图3-2图3-1 K FG E K FG E FG E U K FG E FG E C A A C A C A C A C B D B D B D B D B D 1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2 重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况 2正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5 用方程 思想解决 3解题的关键是用含 x的代数式表示出相关的线段. 解： 11 一、动手实践，操作确认 例 4（2003 年广州市中考试题）在O 中，C 为弧 AB 的中点， D 为弧 A

14、C 上任一点（与 A、C 不重合），则 （A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CBAD+DB (D) AC+CB 与 AD+DB 的大小关系不确定 分析:本题可以通过动手操作一下,度量 AC、CB、AD、DB 的长度，可以 尝试换几个位置量一量，得出结论（C） 例 5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非 直径的弦 CD，延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B、 E，则下列结论中正确的是（* ） （A） ABDE （B） ABDE （C） ABDE （D） ABDE , 的大小不确定 分析：本题可以通过度量的方法进行，选（B） 本题也可以可以证明得出结论，连结

15、DO、EO，则 在三角形 OED 中，由于两边之差小于第三边，则 OE OD3). 动点 M，N 同时从 B 点出发，分别沿BA ，BC运动，速度是 1 厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB，分别交 AN，CD 于 P，Q.当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动 .设运动时间为 t 秒. (1)若 a=4 厘米， t=1 秒，则 PM=厘米； (2)若 a=5 厘米，求时间 t，使 PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等， 求 a 的取值范围； (4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN

16、 ，梯形 PQDA ，梯形 PQCN 的面积都相等 ?若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理 由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入 18 深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积 等知识点的考查，本题的难点主要是题(3)，解决此题的关键是运用相似三角形 的性质用 t 的代数式表示 PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t 与 a 的函数 关系式，再利用 t 的范围确定的 a 取值范围 . 第(4)小题是题 (3)结论的拓展应用， 在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例 4

17、 (2007 年吉林省 )如图 9，在边长为 82cm 的正方形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两个动点， 它们分别从点 A、C 同时出发，沿对角线以 1cm/s 的相同速度运动，过E 作 EH 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 H；过 F 作 FG 垂直 AC 交 RtACD 的直角边于 G，连结 HG、EB.设 HE、EF、FG、GH 围 成的图形面积为S1 ，AE、EB、BA 围成的图形面积为S2( 这里规定：线段 的面积为 0).E 到达 C，F 到达 A 停止.若 E 的运动时间为 x(s)，解答下列问题： (1)当 0X (2)若 y 是 S1与 S2的和，求 y

18、 与 x 之间的函数关系式；(图 10 为 备用图 ) 求 y 的最大值 . 解 (1)以 E、F、G、H 为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD 的边长 为 82，所以 AC=16 ，过 B 作 BOAC 于 O，则 OB=89 ，因为 AE=x ，所以 S2=4x，因为 HE=AE=x ，EF=16-2x ，所以 S1=x(16-2x)， 当 S1=S2 时， 4x=x(16-2x) ，解得 x1=0(舍去)，x2=6，所以当 x=6 时， S1=S2. (2)当 0x8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x ， 当 8x16 时，AE=x，CE=HE=16-x ，EF=16-

19、2(16-x)=2x-16 ， 19 所以 S1=(16-x)(2x-16) ， 所以 y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当 0x8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当 x=5 时，y 的最大值为 50. 当 8x16 时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以当 x=13 时，y 的最大值为 82. 综上可得， y 的最大值为 82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.要求学 生认真读题、领会题意、画出不同情况下的图形，根据图形建立时间变量与其 它相关变量的关系式，进而构建面积的函数表达式.

20、 本题在知识点上侧重对二 次函数最值问题的考查，要求学生有扎实的基础知识、灵活的解题方法、良好 的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等 思想的灵活运用 . 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的 另一个交点为 B。 求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 xx 4 1 y 2 ） 若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四 点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； 连接 OA、 AB， 如图 2， 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P， 使得

21、OBP 与OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 20 分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角 线来考虑问题以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论: 按 OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边 和角 的特 点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知 三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角， 在未知三角形中利用勾股

22、定理、三角函 数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数解 析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 练习 1、已知抛物线 2 ya xb xc经过 53 (3 3)0 2 PE ， ， 及原点 ( 0 0 )O， （1）求抛物线的解析式（由一般式 得抛物线的解析式为 2253 33 yxx） 21 y x E Q P C B O A （2）过P点作平行于x轴的直线P C交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且 位于直线 P C下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线Q A平行于y轴交x轴 于 A 点，交直线 P C 于 B 点，直线

23、Q A 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 O A B C 是否 存在点Q，使得O P C与P Q B相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说 明理由 （3）如果符合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结O Q，矩形O AB C内的四个 为什三角形 O P CPQ BO Q PO Q A， 之间存在怎样的关系？ 么？ 练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知 折叠 55C E ，且 3 ta n 4 E D A。 （1）判断O C D与A D E是否相似？请说明理由；

24、 （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标； （3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形 和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析 式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。 练习 3、在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数 O x y 练习 2 图 C B E D A 22 2 (0 )yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交 于点 C，其顶点的横坐标为1，且过点( 2 3)，和(31 2 )， （1） 求此二次函数的表达式；（由一般 式 得抛物线的解析式为 2 23y

25、xx） （2）若直线:(0 )lykx k与线段B C交于点D（不与点BC，重合），则是否 存在这样的直线 l，使得以BOD，为顶点的三角形与B A C相似？若存在，求 出 该 直 线 的 函 数 表 达 式 及 点D的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ； (1 0 )(3 0 ),(0 3)ABC， ， （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点， 试比较锐角P C O与A C O的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标 p x的 取值范围 练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线 2 1yx与x轴交于 A、B 两 O y C

26、l x B A 1x 练习 3 图 o C B A x 练习 4 图 P y 23 点，与y轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在 x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使 以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标； 否则，请说明理由 练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中， A B C是直角三角形，9 0A C B， 点 AC，的坐标分别为(3 0)A，(1 0)C， 3 ta n 4 BA C （1）求过点AB，的直线的函数表达式；

27、点(3 0)A， (1 0)C，B (1 3)， 39 44 yx （2）在 x 轴上找一点 D，连接D B，使得A D B与 A BC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如 PQ， 分别是 A B 和 A D 上 的动点，连接 PQ，设APDQm，问是否存在这样的 m使得A P Q与A D B相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由 参考答案 例题、解:由题意可设抛物线的解析式为 1)2x(ay 2 抛物线过原点， 1)20(a0 2 4 1 a. A C O B x y 24 抛物线的解析式为1)2x( 4 1 y 2 ,即xx 4 1 y 2 如图 1,

28、当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四 边形时 ,CD OB, 由1)2x( 4 1 0 2 得4x,0x 21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为 6 将 x6 代入 1)2x( 4 1 y 2 ,得 y3, D(6,3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛 物线上存在点D,使得四边形 ODCB 是平行四 边形,此时 D 点的坐标为 (2,3), 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形 时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO. 若BOP 与AOB 相似,必须有 POB BOABPO 设

29、 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为 x 2 1 y 由 xx 4 1 x 2 1 2 , 得 6x,0x 21 .P(6,3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB 134. E A O A B P y x 图 2 C O A B D y x 图 1 25 PB OB,BOP BPO, PBO 与BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得BOP 与AOB 相似. 练习 1、解：（ 1）由已知可得： 333 7 553 0 42 0 ab ab c 解之

30、得， 253 0 33 abc， 因而得，抛物线的解析式为： 2 253 33 yxx （2）存在 设 Q 点的坐标为 ()mn， ，则 2 253 33 nmm， 要使 , B QP B O C PP B Q C PO C ，则有 33 33 nm ，即 2253 3 3 33 33 mm m 解之得， 12 232mm， 当 1 23m时，2n，即为Q点，所以得(23 2 )Q， 要使 , BQPB O C PQ B P O CC P ，则有 33 33 nm ，即 2253 3 3 33 3 3 mm m 解之得， 12 333mm，当3m时，即为P点， 当 1 33m时，3n，所以得(

31、333 )Q， 故存在两个Q点使得O C P与P B Q相似 Q点的坐标为( 23 2 ) (333)， ， O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 26 （3）在R tO C P中，因为 3 ta n 3 C P C O P O C 所以30C O P 当Q点的坐标为(23 2 )，时，3 0BP QC O P 所以 90O PQO C PBQ AO 因此，O P CPQ BO PQO A Q，都是直角三角形 又在R tO A Q中，因为 3 ta n 3 Q A Q O A A O 所以3 0Q O A 即有 3 0PO QQ O AQ P BC O P 所以 O P CP Q

32、 BO Q PO Q A ， 又因为 Q PO PQ AO A，30PO QAO Q， 所以 O Q AO Q P 练习 2 解：（ 1）O C D与A D E相似。 理由如下： 由折叠知， 9 0C D EB， 129 0，139 023. ， 又9 0C O DD A E， O C DA D E 。 （2） 3 ta n 4 A E E D A A D ，设 AE=3t， 则 AD=4t。 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 27 由勾股定理得 DE=5t。 358O CABAEEBAED Ettt。 由（1） O C DA D E ，得 O CC D A DD

33、 E ， 8 45 tC D tt ， 1 0C Dt。 在D C E中， 222 C DD EC E， 222 (10 )(5 )(55 )tt，解得 t=1。 OC=8，AE=3，点 C 的坐标为（ 0，8）， 点 E 的坐标为（ 10，3）， 设直线 CE 的解析式为 y=kx+b， 1 03 8 kb b ， ， 解得 1 2 8 k b ， ， 1 8 2 yx，则点 P 的坐标为（ 16，0）。 （3）满足条件的直线l 有 2 条：y=2x+12， y=2x12。 如图 2：准确画出两条直线。 练习 3 解：（ 1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和(31 2 )，

34、 28 由 1 2 423 9321 2. b a abc ab ， ，解得 1 2 3. a b c ， ， 此二次函数的表达式为 2 23yxx （2）假设存在直线 :(0)lykx k与线段B C交于点D（不与点BC，重合），使 得以BOD，为顶点的三角形与BA C相似 在 2 23yxx中，令0y，则由 2 230xx，解得 12 13xx， (1 0 )(3 0 )AB， ， 令 0x，得3y(0 3)C， 设过点 O的直线l交B C于点D，过点D作D Ex轴于点E 点B的坐标为(3 0 )，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为(1 0 )， 434 5 .A BO BO CO B

35、C ， 22 3332B C 要使B O DB A C 或B D OBA C ， 已有BB，则只需 B DB O B CB A ， 或 . B OB D B CB A 成立 若是，则有 33292 44 BOB C B D B A 而4 5O B CBED E， 在R tB D E中，由勾股定理，得 2 222292 2 4 B ED EB EB D y x B E A O C D 1x l 29 解得 9 4 B ED E（负值舍去） 93 3 44 O EO BBE 点D的坐标为 39 44 ， 将点D的坐标代入(0 )ykx k中，求得3k 满足条件的直线 l的函数表达式为3yx 或求出

36、直线 A C的函数表达式为33yx，则与直线A C平行的直线l的函数表 达式为3yx此时易知B O DB A C ，再求出直线B C的函数表达式为 3yx联立33yxyx，求得点D的坐标为 39 44 ， 若是，则有 34 22 32 BOB A B D B C 而 4 5O B CBED E， 在R tB D E中，由勾股定理，得 2222 2 2(22 )B ED EB EB D 解得 2B ED E （负值舍去） 321O EO BBE 点D的坐标为 (1 2 )， 将点 D 的坐标代入 (0 )ykx k 中，求得 2k 满足条件的直线l的函数表达式为2yx 存在直线:3lyx或2yx

37、与线段B C交于点D（不与点BC，重合），使得以 BOD，为顶点的三角形与BA C相似，且点D的坐标分别为 39 44 ，或(1 2)， （3）设过点(0 3)(1 0)CE， ，的直线3(0 )ykxk与该二次函数的图象交于点P 将点 (1 0)E，的坐标代入3ykx中，求得3k 30 此直线的函数表达式为33yx 设点 P的坐标为(33)xx，并代入 2 23yxx，得 2 50xx 解得 12 50xx，（不合题意，舍去） 51 2xy， 点P的坐标为(51 2)， 此时，锐角P C OA C O 又二次函数的对称轴为 1x ， 点C关于对称轴对称的点 C的坐标为( 2 3)， 当5 p

38、 x时，锐角P C OA C O； 当 5 p x时，锐角P C OA C O； 当2 5 p x时，锐角PC OAC O 练习四 解： （1）令 0y，得 2 10x解得1x 令 0x，得1y A( 1, 0)B(1, 0 )C(0 ,1) （2）OA=OB=OC=1BAC=ACO=BCO=4 5 APCB，PAB=4 5 过点 P 作 PE x 轴于 E，则APE 为等腰直角三角形 令 OE=a，则 PE=1aP(,1)a a 点 P 在抛物线 2 1yx上 2 11aa 解得 1 2a， 2 1a（不合题意，舍去） PE=3 x B E A O C 1x P C 2 图 1 C P B

39、y A o x 31 四边形 ACBP 的面积S= 1 2 AB?OC+ 1 2 AB?PE= 11 21234 22 (3) 假设存在 PAB=BAC =4 5PAAC MGx轴于点 G，MGA=PAC =90 在 RtAOC 中，OA=OC=1AC= 2 在 RtPAE 中，AE=PE=3AP= 32 设 M 点的横坐标为 m，则 M 2 (,1)m m 点 M 在 y 轴左侧时，则 1m () 当AMG PCA 时，有 A G P A = M G C A AG= 1m，MG= 2 1m即 2 11 322 mm 解得 1 1m（舍去） 2 2 3 m（舍去） () 当MAG PCA 时有

40、 A G C A = M G P A 即 2 11 232 mm 解得：1m（舍去） 2 2m M( 2 , 3) 点 M 在y轴右侧时，则1m () 当AMG PCA 时有 A G P A = M G C A AG=1m，MG= 2 1m 2 11 322 mm 解得 1 1m（舍去） 2 4 3 m M 47 (,) 39 () 当MAGPCA 时有 AG C A = M G P A G M 图 3 C B y P A o x G M 图 2 C B y P A o x 32 即 2 11 232 mm 解得： 1 1m（舍去） 2 4m M( 4,1 5 ) 存在点 M，使以 A、M、G

41、 三点为顶点的三角形与PCA 相似 M 点的坐标为(2,3)， 47 (,) 39 ，( 4,1 5 ) 练习 5、 解：（ 1）点 (3 0 )A，(1 0 )C， 4AC， 3 ta n43 4 B CB A CA C，B点坐标为(1 3)， 设过点 AB， 的直线的函数表达式为 ykxb， 由 0(3) 3 kb kb 得 3 4 k， 9 4 b直线A B的函数表达式为 39 44 yx （2）如图 1，过点B作B DAB，交x轴于点D， 在R tA BC和R tA D B中， B ACD A BR tR tA B CAD B， D点为所求又 4 ta nta n 3 AD BAB C

42、， 49 tan3 34 C DB CAD B 1 3 4 O DO CC D， 1 3 0 4 D ， （3）这样的 m 存在 在R tA BC中，由勾股定理得5A B如图 1，当PQB D时，A P QA BD 则 1 3 3 4 1 3 5 3 4 m m ，解得 2 5 9 m 如图 2，当P QA D时，A PQA D B A B C D QO y x 图 1 P A B C D Q O y x 图 2 P 33 则 1 3 3 4 1 3 5 3 4 m m ，解得 1 2 5 36 m 例 1(2008福建福州 )如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q

43、同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度 是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运 动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由； （2）设 BPQ 的面积为 S（cm 2），求 S与 t 的函数关系式； （3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APRPRQ？ 分析:由 t2 求出 BP 与 BQ 的长度 ,从而可得 BPQ 的形状 ; 作 QEBP 于点 E,将 PB,QE用 t 表示,由 BPQ S= 2 1 BP

44、QE 可得 S 与 t 的函数关系式 ;先证得四边形 EPRQ为平行四边形 ,得 PR=QE, 再由 APRPRQ,对应边成比例列方程 ,从而 t 值可求 . 解:(1)BPQ 是等边三角形 , 当 t=2 时,AP=2 1=2,BQ=2 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP.又因为 B=600,所以 BPQ 是等边三角形 . (2)过 Q 作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2t sin60 0= 3t, 由 AP=t,得 PB=6-t,所以 BPQ S= 2 1 BP QE= 2 1 (6-t) 3t= 2 3 t 2+3 3t； (3)因为 QRB

45、A,所以QRC=A=600， RQC=B=600， 又因为 C=600, 所以 QRC 是等边三角形 ,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos60 0= 2 1 2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 所 以EP=QR,又EPQR, 所 以 四 边 形EPRQ 是 平 行 四 边 形 ,所 以 34 PR=EQ=3t, 由APRPRQ,得到 RQ PR PR AP ,即 t t t t 26 3 3 ,解得 t= 5 6 , 所以当 t= 5 6 时, APRPRQ. 点评 : 本题是双动点问题 . 动态问题是近几年来中

46、考数学的热点题型.这类 试题信息量大 , 对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高; 解题时需要用 运动和变化的眼光去观察和研究问题, 挖掘运动、变化的全过程 , 并特别关注运 动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静 , 静中求动 . 例 2(2008浙江温州 )如图，在 R tAB C中，90A，6A B，8AC，DE， 分别是边 A BAC，的中点，点P从点D出发沿D E方向运动，过点P作PQB C于 Q， 过点Q作Q RB A交A C于R， 当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx， Q Ry（1）求点D到B C的距离D H的长； （2）求 y关于x的函数关系式（不要求写出自变

47、量的取值范围）； （3）是否存在点 P，使P Q R为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由 分析:由BHDBAC,可得 DH;由RQCABC,可得 y关于x的函数关系式 ; 由腰相等列方程可得x的值; 注意需分类讨论 . 解：（1） R tA，6A B，8AC，1 0B C 点D为A B中点， 1 3 2 B DA B 90D H BA，BBB H DB AC ， D HB D ACB C ， 5 12 8 10 3 AC BC BD DH （2）Q RA B， 9 0Q R CACC，R Q CA BC ， R QQ C A BB C ， 1 0 61 0

48、yx ，即y关于x的函数关系式为： 3 6 5 yx （3）存在. 按腰相等分三种情况： 当 PQP R时，过点P作P MQ R于M，则Q MRM 129 0，290C， 1C 84 co s1cos 1 05 C， 4 5 Q M Q P ， A B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E R P H Q 35 13 6 425 1 2 5 5 x ， 18 5 x 当 PQR Q时， 312 6 55 x， 6x 当 PRQ R 时，则R为 P Q 中垂线上的点， 于是点 R为E C的中点， 11 2 24 C RC EA C ta n Q RB A C C RC A ， 3 6 6 5 28 x ， 1 5 2 x 综上所述，当x为 1 8 5 或 6 或 1