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1、用心爱心 专心118 号编辑- 1 - 掌握基本图形学好立体几何 立体几何的研究对象是立体图形，它是平面图形的延伸和拓展, 是中学数学的一个飞跃，同时还是学生学习的难点。 作为初学立体几何的同学，就需要特别注意图形的学习和运用，对立体几何中的一些基本图形要了如指掌，一些基本 图形，如正方体与四面体等，其特有的数量关系和位置为大多数学生所熟悉。如果掌握这些基本图形，那么，我们就 会发现，有相当多的题目实际上就是以这些图形为背景的，我们完全可以从基本图形中进行联想，从而学好立体几何。 值得一提的是，在近几年的高考中，也有相当一部分题目，就是这些基本图形中进行命题的。本文就立体几何的一些 基本图形（
2、正四面体和正方体），进行一些简单的归纳： 一、基本图形正四面体的性质（正方体的性质略） 设正四面体的棱长为a，高为 h，全面积为S，体积为V，相邻两面的二面角为，内切球的半径为r ，外接球的 半径为 R，则有： ah 3 6 ； 2 3aS； 3 12 2 aV； 3 22 sin; 3 1 cos； ar 12 6 ；aR 4 6 。 正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一球，球的直径等于正方体的对角线。 正四面体内任意一点到四个平面的距离之和为该四面体的高。 二、基本图形性质的应用 、基本图形正方体性质的应用 1、展开 例 1（2001 年春季高考题）右图是正方体的平面展开图在这个正方体
3、 中： EDBM 与平行CN与BE是异面直线 CN与BM成60角DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是( ) （A）（B）（C ）（D） 简析：自己做个实验就能解决这个问题，以ABCD为底，用纸片把正方体拼出来，画上对应的线，一看便知： 正确。 2、射影 例 2 (2000年全国高考题 ) 如图， E 、F 分别为正方体的面ADD 1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的 面上的射影可能是_。 用心爱心 专心118 号编辑- 2 - （ 要求： 把可能的图的序号都填上） 简析：根据题目的各种可能情形进行分类，四边形BFD1E在正方体的面上的射影分三类：I ）在
4、上、下两个面上的射 影为； II ）在前后两个面上的射影为；III）在左右两个面上的射影为，故应填。 3、相关球 例 3（2001 年春季高考题）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_ 简析：由性质可知正方体的对角线为球的直径，由正方体的表面积为S，易得正方体的对角线为 2 2 S ，所以球的 半径为 4 2S ，则球的体积为 24 2SS 。 4、截面 例 5(2003 年全国高考题 ) 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M 、 N、P分别为其所在棱的中点， 能得出l面 MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号） 简析： 本题给出的平面是正方体内的部分截面
5、，对考生的空间想象能力要求较高， 所以考生在解答过程中，漏选是极为普遍的现象。显然由三垂线定理可得图形符号要求，若再直接采用线面垂直的 方法进行证明，则其余几个不容易判断。若考生在解题过程中注意化归，不难联想，在正方体中有一组线面垂直的关 系较为熟悉，即IJKl，如图，将截面IJK 进行平移，使A、B、C、D、E、F 是正方体中相应各棱的中点，可知截面 ABCDEF 为正六边形，显然面IJK 截面 ABCDEF ，且同垂直于正方体的一条对角线l, 而图、中的截面分别为正六边 形上对应的3 点 BCE ，ACE所在的平面，又图、中截面MNP 都与正六边形ABCDEF 相交与一条直线，即截面MNP
6、 与 对角线 l 均不垂直，故应填。 、基本图形正四面体性质的应用 1、空间距离 用心爱心 专心118 号编辑- 3 - 例 6（2001 东城区模拟题）已知A，B，C，D为同一球上的四点，且连接每两点间的线段长都等于2，则球心O到 平面 BCD的距离为（） (A) 3 6 (B) 6 6 (C) 12 6 (D) 18 6 简析：如图，正四面体内接一球，则球心位于正四面体的中心O，AH为正四面体的高， 且 O在 AH上，由上述性质可知AHOH 4 1 ， 而 3 62 AH 。 6 6 3 62 4 1 OH 。 故应选 B。 2、空间角 例 7 正三棱锥S-ABC侧棱与底面边长相等，若E、
7、F 分别为 SC、AB的中点，那么异面直线EF与 SA所成的角等于。 简析：此正三棱锥即为正四面体，将它转移到正方 体中，如右图：易得EF 与 SA所成的角为 45 。 3、相关球 例 8(2003 年全国高考题 ) 一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( ) (A)3 (B)4 (C) 33 (D)6 简析：因为四面体的所有棱长都为 2 ，所以该四面体为正四面体。首先将正四面体补成正方体，然后再利用性质： 正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一球，球的直径等于正方体的对角线。就会有意想不到的解题功效。 略解：将正四面体补成正方体，由上述结论可知正四面体的外接球即为正方体的外接球。 正四面体的棱长为 2 ，正方体的棱长为1。正方体的外接球的半径为 2 3 。 S外接球34 2 r 。故选 A 。 通过以上例子可以看出正方体、正四面体等基本图形及两者之间的联系，在考查学生空间想象能力、逻辑思维能 力等方面有着许多独到之处. 如果我们在平时的学习过程中, 能对这些基本图形了如指掌，那么解题时，我们只要按图 索骥，就能找到解题的有效途径和方法。我们将会收到理想的解题效果.