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1、1 例 谈 中 学 数 学 中 的 向 量构 造 法 http:/www.DearEDU.com 河 南 汤 阴 一 中杨 焕 庆王 国 伟 向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学知识的 一个重要的交汇点，是联系众多知识的媒介。它广泛应用于函数、三角函数、 数列、 不等式、 解析几何、 立体几何等知识。利用向量这个工具解题，可以简洁、规范的处理数学中的许多 问题。特别是处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题；运用 向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研 究。 构造向量除有坚实的基础知识外，还特别要知
2、道实现构造的理论基础： （1）. |bababa （2） | |baba 。 一. 证明不等式 通过构造向量， 利用向量的重要不等式：| |abab， 或| |baba， 以达证明不等式之目的。 例 1. 设 a、b、c、d 均为正数，求证abcdacbd 222222 ()() 证明：构造向量mab ()，ncd()，由| |mnmn 得 abcdacbd 222222 ()() 例 2. 若abc1，求证：abc 222 1 3 证明：构造向量mabc ()， ， nbca()， ， pcab()， 则mnpabcbcacab ()()，111 于是由| | |mnpmnp 有33 222
3、 abc 得abc 2221 3 将例 1 推广到更一般的形式，即有 例 3. 若 aaa an 123 ， 和 b bbn 12 ，都是正数，则 aaabbbababab nnnn1 2 2 22 1 2 2 22 11 2 22 22 ()()() 证明：构造向量maaan() 12 ，nbbbn () 12 ， 于是，由| |mnmn得 aaabbbababab nnnn1 2 2 22 1 2 2 22 11 2 22 22 ()()() 从上述证明，发现条件aaa n12 ， 和 b bbn 12 ，是正数是多余的。 而且利用| |mnmn还可以推出 aaabbbababab nnn
4、n1 2 2 22 1 2 2 22 11 2 22 22 ()()() 例 4. 设任意实数x，y 满足|x1，|y1， 求证： 1 1 1 1 2 1 22 xyxy 2 证明：构造向量 a xy () 1 1 1 1 22 ， ，bxy()11 22 ， 由向量数量积性质 ()| |abab 222 得 4 1 1 1 1 11 22 22 ()() xy xy 所以 1 1 1 1 4 2 4 22 2 1 2222 xyxyxyxy() 即 1 1 1 1 2 1 22 xyxy 例 5. 设 a，b 为不等的正数，求证 ()()()ababab 4422332 证明：构造向量mab
5、 () 22 ，nab ()， ，则 ()()abmn 3322 | | cos | | mn mn 222 22 ()()abab 4422 因为 a，b 为不相等的正数，所以mn，即0， 所以()()()ababab 4422332 例 6. 已知 x0,y0 ，且 x+y=1，求证：9) 1 1)( 1 1( yx 。 证明：构造向量) 1 ,1(), 1 , 1( y b x a，则 xy ba 1 1，而 ) 1 1)( 1 1( 1 1 1 1| yxyx ba， 由| |baba，得 222 | |baba 所以9) 2 1() 1 1() 1 1)( 1 1( 22 yx xy
6、 yx 例 7. 求证：)()( 22222 dcbabdac 证明：设),(),(dcOBbaOA （1）当 OBOA ,至少有一个为零时，所证不等式 00成立； （2）当 OBOA ,都不是零向量时，设其夹角是，则有 2222 | cos dcba bdac OBOA OBOA ， 因为1|cos|，即)()( 22222 dcbabdac 点拨：只要实质上，甚至形式上和向量沾点边的，都是向量的亲戚，用向量去思考，没错！ 二. 研究等量关系 3 例 8. 已知：)0,0( 1cossin 44 ba bab x a x 。 证明：对于任何正整数n 都有 11 2 1 2 )( 1cossi
7、n nn n n n bab x a x 分析：借助向量不等式 |baba 等号成立的条件，构造向量，可化难为易。 证明：构造向量 ),(), cos , sin ( 22 baq b x a x p ，则 1cossin 22 xxqp 1 cossin | 44 ba b x a x qp，所以 |qpqp，故qp,同向， 则qp 即b b x a a x 22 cos , sin ，所以 b x a x 22 cossin 代入题设得： baba xx 11 )cos(sin 22 ， 于是 1 11 2 21 2 2 1 2 1 2 )( 1 ) cos (cos) sin (sin
8、cossin n nnn n n n n ba b x x a x x b x a x 所以 11 2 1 2 )( 1cossin nn n n n bab x a x 例 9. 已知 2 3 )cos(coscos，求锐角 , 。 分析：本题如果直接进行三角恒等变换，较难求出 , 的值。换一种思路，引入向量，问 题迎刃而解。 解：由已知得cos 2 3 sinsincos)cos1(， 构造向量)sin,(cos),sin,cos1(ba， 则cos 2 3 sinsincos)cos1(ba，cos22|ba 由 222 | |baba，得 cos22)cos 2 3 ( 2 ，即0)
9、2 1 (cos 2 32 1 cos，则 3 1) 6 sin( 三. 求值域或最值 例 10. 求函数 2 9103xxy的最大值。 分析： 本题是求无理函数的最值问题，按常规方法求解有一定的难度，若正确构造向量，利 用向量数量积的性质|baba解答，将会使求解非常容易。 解：原函数可变为 2 9103 3 1 3xxy，设 2 9103 3 1 )(xxxf，因为 10)910()3( 222 xx ，所以构造向量)910,3(),1 , 3 1 ( 2 xxba由 | |baba 得 3 10 )910()3(1) 3 1 (|9103 3 1 | 222222 xxxx， 4 从而
10、3 1 3 10 3y，当且仅当 3 1 ,3 3 910 2 xx x 时， 3 1 max y 例 11. 求函数11 22 xxxxy的值域。 分析：分析函数解析式的特征，结构上接近两个向量的差，于是构造向量。 解：设) 2 3 , 2 1 (), 2 3 , 2 1 (xbxa ， |bay ， ba , 不共线 1|baba，即11y 例 12. 已知 x0,y0 ，且 x+y=1，求1212yx的最大值 .22121222812112x1 )1212)(11()12112x(1 |)( )12,12(,)1,1( 2 222 为最大值故即 得：根据 证明：构造向量 yxy yxy baba yxba 利用向量数量积的一个重要性质| |baba，变形为 222 | |baba可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的 题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时提高了学生的观察分析能力和想象能力 总之， 构造向量法， 为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，体现了知识的交 汇和联系，是高层次思维的反映, 常用构造法解题 , 能起到发展思维, 提高能力 , 挖掘潜力之 功效 .