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1、1 例谈 （湖南省澧县二中杨明 415500） 数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，是人类思想文化宝库中的瑰宝， 是数学的精髓，它对数学学习具有决定性的指导意义。在直线和圆的方程中，我们会用到数学中的几种常用思想方法，只有 把这几种常用思想融会贯通，才能很好的学习直线及圆的方程。下面，我们就几种常用的思想方法，一一利用例题进行探讨。 1. 分类讨论思想方法 当面临问题不宜用一种方法解决或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论， 再把这几类的结论汇总，得出问题的答案。 分类讨论的关键问题就是：对哪个变量分类，如何分类
2、分类的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求： （ 1） 保证各类对象即不重复又不遗漏 （ 2） 每次分类必须保持同一分类标准 应用分类讨论解决数学问题的一步骤： （ 1） 确定讨论对象和需要分类的全集（2）确定分类标准（3）确定分类方法（4）逐项进行讨论（5）归纳小结 应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论， 要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论 的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。 在直线和圆的方程中，讨论主要是针对直线方程中的系数。例如斜率 的存在性问题
3、，是否过定点的问题。下面通过一个例题来看看分类讨论的一般过程。 例 1：已知集合 A=（x,y ）| 1 l： 3 1 2 y a x 与 B=（x,y ） | 2 l： 2 (1)(1)15axay满足 AB=，求实数 a的值. 解： 1）a=1 时，,bAB; 2)a1 时， A=（x,y ）|(a+1)x-y+(1-2a)=0 B=(x,y)| 2 (1)(1)150axay AB 12 /ll，则 2 1112 1115 aa aa 解得 a=-1; 2 l过（ 2，3） ，而 1 l一定不过（ 2，3）这一点，此时 1 l与 2 l相交为空，即AB= 2 2(1)3(1)15aa解得
4、 a=-4 或 a=5/2 经检练，此时两直线不重合。即当a=-4 或 a=-1 或 a=1 或 a=5/2 时，满足AB=。 在这里，我们首先考虑斜率是否存在的问题，然后再看题目的特征，得出斜率存在时也有两种情况，从而达到不漏的目的。 2. 数形结合的思想方法 数形结合的思想方法是高中数学的重要思想方法，在直线和圆的方程中，数形结合贯穿始末。数形结合，就是通过对 题目的分析，构造出相应的图象或图形，再用几何的方法来求解的方法。如何在一个题目中运用数形结合的思想，是解决 与图形，图象问题的关键，怎样根据数的特征，构造出与之相对应的几何图形，并利用图形的特征和规律，来解决数的问 题，或将图形部分
5、或全部转化为代数信息，削弱或清除形的推理部分，使之要解决的问题转化为数量关系的讨论。 例 2：过点 P (2 , 3)且被两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+8=0 截得线的长为32 的直线方程是 _. 解：如图，已知直线3x+4y-7=0 与直线 3x+4y+8=0相互平行， 2 则两平行线间的距离为：3 43 87 22 d, DE=3, 又两直线截得线段长为EF=32 DF=3 则 45DFE k k 3 4 1 3 4 45tan k= 7 1 或k= -7 由点斜式得：y 3 = 7 1 (x - 2) 或y 3 = -7(x - 2) 则:x - 7y + 19 = 0或 7
6、x + y 17 = 0为所求。 3化归的思想方法 转化与化归就是把未知问题转化为已知问题，把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题转化为常规问题得到解决的 思想。一般在直线与圆的方程中，化形为数或化数为形来解决问题。 例 3：求函数841)( 22 xxxxf的最 解：841)( 22 xxxxf 2222 )20()2()10()0(xx 令 A ( 0 , 1 ) B ( 2 , 2 ) P ( x , 0 )则问题转化为求点P到 A,B 两点距离为最小， 即: PBPA最小 A 关于x轴对称点为A1 ( 0 , -1 ) 132120 22 min PBPA 即:13)(xf 注：此问题
7、如从代数角度考虑比较复杂，如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易。 4函数的思想方法 函数所揭示的是两个变量之间的对应关系。通俗地讲就是一个量的变化引起另一个量的变化。将几何中点的坐标的对 应关系用解析式、图象和表格表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决。 例 4：已知点M ( -1 , 2 )、直线l1：y = a ( x + 1 ) 、曲线 C： 2 1xy.l 1与 C 交于 A , B两点。线段AB中点为 N，直线l2经过点 M 、N 两点。且在x轴上截距为m，将m表示成a的函数，并求此函数的定义域。 解：曲线C 的方程可化为1 22 yx01y F D E
8、P 3 由1 22 yx10y设 N( x0 , y0 ) )1( xay 可得012)1( 2222 axaxa0 2 )1 1 ( 2 2 y a y a 0 2 2 21 1 2 2 1 2 x a axx 2 1 2 21 yy 0 2 1 1 2 y a a MN可得 :)1)(22(2 2 xaay 当 0y 时：1 22 2 2 aa x 即：1 22 2 2 aa m)0(a 5运动与变化的思想方法 辩证唯物主义认为，运动、变化是绝对的，而静止、不变是相对的，但是人类认识这些运动、变化是在无数相对静止 中逐步认识的。这正如人类从无数相对真理中去认识绝对真理那样，如通过直线认识曲
9、线，通过常量认识变量，通过近似 认识精确，通过具体认识抽象等等。在数学中，我们应该自觉地运用变化的观点去考虑、分析和认识事物，进而揭示事物 的本质属性。如把曲线看作点的运动的轨迹，如果建立坐标系，再引入动点坐标，就可以使曲线与方程发生联系，从而就 由代数与几何发展形成解析几何。所以，在直线与圆的方程中，利用运动与变化的思想是必不可少的。 例：将直线l绕它上面一点P 按逆时针方向旋转角)900(后得到直线 0606yx ，若再继续绕点P旋 转)90(后，得到直线0yx，求原直线的方程。 解：两次旋转后共旋转 90)90(，所在原直线和第二次旋转后的直线垂直，设原直线斜率为k。 则k ( - 1 ) = - 1 所以k = 1 旋转后两直线的交点即为P，且 P在所求直线上 由 6600 0 xy xy 解得 P ( 12 , - 12 ) 所以原直线方程为024yx 我们在教学中必须以数学思想来指导知识、方法的运用， 整体把握各部分知识的内在联系。只有加强数学思想方法的 教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生解题水平和应试能力。因此，数学思想的教学必不可少。