全国自考历年线性代数试题及答案.pdf

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1、浙 02198# 线性代数试卷第 1 页（共 54 页） 全国 2010 年 1 月高等教育自学考试 线性代数（经管类） 试题及答案 课程代码： 04184 试题部分 说明：本卷中，AT表示矩阵A 的转置， T 表示向量的转置， E 表示单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式， A-1表 示方阵 A 的逆矩阵， r（A）表示矩阵A 的秩 . 一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 30 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均 无分。 1.设行列式 111 10 3 4 222 , 1 111 304 zyx zyx

2、则行列式（） A. 3 2 B.1 C.2 D. 3 8 2.设 A，B，C 为同阶可逆方阵，则（ABC） -1=（ ） A. A -1B-1C-1 B. C -1B-1A-1 C. C -1A-1B-1 D. A -1C-1B-1 3.设 1，2，3， 4是 4 维列向量，矩阵 A=（ 1，2，3， 4）.如果 |A|=2，则 |-2A|=（） A.-32 B.-4 C.4 D.32 4.设 1，2，3， 4是三维实向量，则（） A. 1，2， 3，4一定线性无关 B. 1一定可由 2，3， 4线性表出 C. 1，2， 3，4一定线性相关 D. 1，2， 3一定线性无关 5.向量组 1=（1

3、，0， 0） ，2=（1，1，0） ，3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3 D.4 6.设 A 是 46 矩阵， r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0 的基础解系中所含向量的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设 A 是 mn 矩阵，已知Ax=0 只有零解，则以下结论正确的是（） A.mnB.Ax=b（其中 b 是 m 维实向量）必有唯一解 浙 02198# 线性代数试卷第 2 页（共 54 页） C.r（A）=mD.Ax=0 存在基础解系 8.设矩阵 A= 496 375 254 ，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1， 1，1） T B.（ 1，1，

4、3） T C.（1，1，0） T D.（ 1，0，-3） T 9.设矩阵 A= 111 131 111 的三个特征值分别为1，2，3，则 1+2+3 = （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 10.三元二次型f （x1，x2，x3）= 2 332 2 23121 2 1 912464xxxxxxxxx的矩阵为（） A. 963 642 321 B. 963 640 341 C. 960 642 621 D. 9123 042 321 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 1376 954 321 =_.

5、 12.设 A= 1100 1200 0012 0025 ，则 A-1=_. 13.设方阵 A 满足 A 3 -2A+E=0，则（ A 2-2E）-1=_. 14.实数向量空间V= （x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0 的维数是 _. 15.设1，2是非齐次线性方程组 Ax=b 的解 .则 A（5 2-41）=_. 16.设 A 是 mn 实矩阵，若r（A TA）=5，则 r（A）=_. 浙 02198# 线性代数试卷第 3 页（共 54 页） 17.设线性方程组 2 1 1 11 11 11 3 2 1 x x x a a a 有无穷多个解，则a=_. 18.设 n 阶矩阵 A 有一个

6、特征值3，则 |-3E+A|=_. 19.设向量 =（1，2，-2） ， =（2，a，3） ，且 与 正交，则a=_. 20.二次型 323121 2 3 2 2321 84434),(xxxxxxxxxxxf的秩为 _. 三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分） 21计算 4 阶行列式D= 8765 7654 6543 5432 . 22.设 A= 375 254 132 ，判断 A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A -1. 23.设向量 =（3，2） ，求（ T）101. 24.设向量组 1=（1，2，3，6） ，2=（1，-1，2，4） ，3=（-1，1，-2，-8） ，

7、4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组； （2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. 全国 2010 年 4 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码： 04184 一、单项选择题（本大题共20 小题，每小题1 分，共 20 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知 2 阶行列式 2 2 1 1 b a b a =m , 2 2 1 1 c b c b =n ,则 22 2 11 1 ca b ca b =（） A.m-nB.n-m C.m+nD.- （m+n） 2.设

8、 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB=BA ，AC=CA ，则 ABC= （） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA 3.设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵 ,且行列式 |A|=1，|B|=-2，则行列式 |B|A|之值为（） A.-8 B.-2 C.2 D.8 浙 02198# 线性代数试卷第 4 页（共 54 页） 4.已知 A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa ，B= 333231 232221 131211 3 3 3 aaa aaa aaa ，P= 100 030 001 ，Q= 100 013 001 ，则 B=（）

9、A.PAB.AP C.QAD.AQ 5.已知 A 是一个 3 4 矩阵，下列命题中正确的是（） A.若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为0，则秩（ A）=2 B.若 A 中存在 2 阶子式不为0，则秩（ A）=2 C.若秩（ A）=2，则 A 中所有 3 阶子式都为0 D.若秩（ A）=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为0 6.下列命题中错误 的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 7.已知向量组1,2,3线性无关， 1,2,3， 线性相关，则（ ） A.1必

10、能由 2,3， 线性表出 B.2必能由1,3，线性表出C.3必能由1,2，线性表出D.必能由1,2,3线性 表出 8.设 A 为 m n 矩阵， m n,则齐次线性方程组Ax=0 只有零解的充分必要条件是A 的秩（） A.小于 mB.等于 m C.小于 nD.等于 n 9.设 A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A * 10.二次型 f（x1,x2,x3）= 21 2 3 2 2 2 1 2xxxxx的正惯性指数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确

11、答案。错填、不填均无分。 11.行列式 2010 2008 2009 2007 的值为 _. 12.设矩阵 A= 102 311 ,B= 10 02 ,则 A TB= _. 13.设 4 维向量（ 3,-1,0,2） T, =（3,1,-1,4）T，若向量 满足 2 =3 ，则 =_ . 14.设 A 为 n 阶可逆矩阵，且|A|= n 1 ,则|A -1|=_. 15.设 A 为 n 阶矩阵， B 为 n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0 的解，则 |A|=_. 16.齐次线性方程组 032 0 321 321 xxx xxx 的基础解系所含解向量的个数为_. 17

12、.设 n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵 1 2 3 1 A必有一个特征值为_. 浙 02198# 线性代数试卷第 5 页（共 54 页） 18.设矩阵 A= 002 02 221 x的特征值为4，1，-2，则数 x=_ . 19.已知 A= 100 0 2 1 0 2 1 b a 是正交矩阵，则a+b=_ 。 20.二次型 f（x1, x2, x3） =-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是 _ 。 三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分） 21.计算行列式D= 333 222 ccbbaa cba cba 的值。 22.已知矩阵B=（2，1，3） ，C=（

13、1，2，3） ，求（ 1）A=B T C； （2） A 2。 23.设向量组, T 4 T 3 T 2 T 1 (1,1,1,1)(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极 大线性无关组表示向量组中的其余向量。 24.已知矩阵A= 100 210 321 ，B= 31 52 41 .（1）求 A -1； （2）解矩阵方程 AX=B。 25.问 a 为何值时， 线性方程组 6322 22 432 321 32 321 xxx axx xxx 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用 一个特解和导出组的基础解系表示全部

14、解）。 26.设矩阵 A= 30 30 002 a a的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P，使 P -1AP= 500 020 001 。 浙 02198# 线性代数试卷第 6 页（共 54 页） 四、证明题（本题6 分） 27.设 A，B，A+B 均为 n 阶正交矩阵，证明（A+B） -1=A-1+B-1。 全国 2010年 7 月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示 A 的伴随矩阵； R(A)表示矩阵 A 的秩； |A|表示 A 的行 列式； E 表示单位矩阵。 1.设 3 阶方阵 A= 1，2，3，其中 i(i= 1,2,3

15、)为 A 的列向量， 若|B|=|1+22，2，3|=6，则 |A|=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2计算行列式 3232 0200 05102 0203 （）A.-180 B.-120C.120 D.180 3设 A= 43 21 ，则 |2A*|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设 1，2，3， 4都是 3 维向量，则必有 A. 1，2， 3，4线性无关 B. 1，2，3，4线性相关 C. 1可由 2，3，4线性表示 D. 1不可由 2，3，4线性表示 5若 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组Ax=0 的基础解系中解向量的个数为2，则 R(A)=（ ）A2 B

16、3C 4 D5 6设 A、B 为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（） A A 与 B 相似B|A|=|B|CA 与 B 等价DA 与 B 合同 7设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为2，l，0 则|A+2E|=（）A0 B2C3 D24 8若 A、 B 相似，则下列说法错误 的是（ ）AA 与 B 等价 BA 与 B 合同 C|A|=|B| DA 与 B 有相同特征 9若向量 =(1， -2，1)与= (2，3，t)正交，则t=（）A-2 B0C2 D4 10设 3 阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l，0，则（）AA 正定BA 半正定 CA 负定D A 半负定 二、填空题 (本大题共10

17、 小题 ,每小题 2 分，共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设 A= 42 10 23 ,B= 010 112 ，则 AB=_. 12设 A 为 3 阶方阵，且 |A|=3，则 |3A -l|=_. 13三元方程x1+x2+x3=0 的结构解是 _. 14设 =(-1，2，2)，则与 反方向的单位向量是_ 15设 A 为 5 阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W= x|Ax=0 的维数是 _ 16设 A 为 3 阶方阵，特征值分别为-2， 2 1 ， l，则 |5A -1|=_ 17若 A、B 为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则 R(AB)

18、=_ 18二次型f(x1，x2，x3)= 2 1x -2x1x2+ 2 2x -x2x3所对应的矩阵是 _. 浙 02198# 线性代数试卷第 7 页（共 54 页） 19.设 3 元非齐次线性方程组Ax=b 有解 1= 3 2 1 ，2= 3 2 1 ，且 R(A)=2,则 Ax=b的通解是 _. 20.设= 3 2 1 ，则 A= T 的非零特征值是_. 三、计算题 (本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分) 21计算 5 阶行列式D= 20001 02000 00200 00020 10002 22.设矩阵 X 满足方程 200 010 002 X 010 100 001 = 02

19、1 102 341 求 X. 23.求非齐次线性方程组 0895 4433 13 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的结构解 . 24.求向量组 1=（1， 2，3，4） ，2=（0，-1， 2，3） ，3=（2， 3，8，11） ， 4=（2，3，6，8）的秩 . 25.已知 A= 21 35 212 b a的一个特征向量=（1，1，-1） T，求 a,b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的 全部特征向量 . 26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)= 32 2 3 2 2 2 1 422xxxxx为标准形，并写出所用的正交变换. 四、证明题（本大题

20、共1 小题， 6 分） 27设 1，2，3是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系.证明 1，1+2，2+3也是 Ax=0 的基础解系 . 全国 2010 年 10 月高等教育自学考试 线性代数 (经管类 )试题 课程代码： 04184 说明 :在本卷中 ,AT表示矩阵A 的转置矩阵 ,A *表示矩阵 A 的伴随矩阵 ,E 是单位矩阵 ,|A|表示方阵A 的行列式 ,r(A) 表示矩 A 的秩 . 一、单项选择题(本大题共10 小题，每小题2 分,共 20 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设 A 为 3 阶

21、矩阵 ,|A|=1, 则|-2A T |=( ) A.-8 B.-2 C.2 D.8 浙 02198# 线性代数试卷第 8 页（共 54 页） 2.设矩阵 A= 1 1 ,B=(1,1), 则 AB=( ) A.0 B.(1,-1) C. 1 1 D. 11 11 3.设 A 为 n 阶对称矩阵 ,B 为 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵 A 的伴随矩阵A * = 43 21 ,则 A -1= ( ) A. 2 1 12 34 B. 2 1 43 21 C. 2 1 43 21 D. 2 1 13 24 5.下

22、列矩阵中不是 初等矩阵的是 ( ) A. 000 010 101 B. 001 010 100 C. 100 030 001 D. 102 010 001 6.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵 ,则必有 ( ) A.A+B 可逆B.AB 可逆C.A-B 可逆D.AB+BA可逆 7.设向量组1=(1,2), 2=(0,2), =(4,2),则 ( ) A. 1, 2, 线性无关B. 不能由 1, 2线性表示 C. 可由 1, 2线性表示 ,但表示法不惟一 D. 可由 1, 2线性表示 ,且表示法惟一 8.设 A 为 3 阶实对称矩阵 ,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=

23、0的基础解系所含解向量的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.设齐次线性方程组 0xxx 0xxx 0xxx2 321 321 321 有非零解 ,则为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.设二次型f(x)=x T Ax 正定 ,则下列结论中正确的是( ) A.对任意 n 维列向量x,x TAx 都大于零 B.f 的标准形的系数都大于或等于零 C.A 的特征值都大于零D.A 的所有子式都大于零 二、填空题 (本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式 21 10 的值为 _. 浙 02198# 线性代

24、数试卷第 9 页（共 54 页） 12.已知 A= 32 21 ,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_. 13.设矩阵 A= 42 31 ,P= 10 11 ,则 AP 3=_. 14.设 A,B 都是 3 阶矩阵 ,且 |A|=2,B=-2E, 则|A -1B|=_. 15.已知向量组1,=(1,2,3),2=(3,- 1,2), 3=(2,3,k) 线性相关 ,则数 k=_. 16.已知 Ax=b 为 4 元线性方程组,r(A)=3, 1, 2, 3为该方程组的 3 个解 ,且, 9 7 5 3 , 4 3 2 1 311则该线性方程组的通解是 _. 17.已知 P 是 3 阶正交矩

25、 ,向量)P,P(, 2 0 1 , 2 3 1 则内积_. 18.设 2 是矩阵 A 的一个特征值,则矩阵 3A 必有一个特征值为_. 19.与矩阵 A= 30 21 相似的对角矩阵为_. 20.设矩阵 A= k2 21 ,若二次型f=x TAx 正定 ,则实数 k 的取值范围是 _. 三、计算题 (本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分) 21.求行列式D=. 0120 1012 2101 0210 的值 22.设矩阵 A=, 000 012 021 B, 100 001 010 求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵 X. 23.若向量组 k2 0 2 , k 6 2 , 3 1 1

26、, 1 1 1 4321 的秩为 2,求 k 的值 . 24.设矩阵. 0 1 2 b, 121 011 322 A 浙 02198# 线性代数试卷第 10 页（共 54 页） (1)求 A -1; (2)求解线性方程组Ax=b, 并将 b 用 A 的列向量组线性表出. 25.已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2,设 B=A 2+2A-E, 求 (1)矩阵 A 的行列式及A 的秩 . (2)矩阵 B 的特征值及与B 相似的对角矩阵. 26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换 33 3212 3211 y2x yy2y2x yy2y

27、2x 所得的标准形. 四、证明题 (本题 6 分) 27.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2=E,证明 A 的特征值只能是 1. 全国 2011年 1 月 说明： 本卷中， A T 表示矩阵A 转置， det(A)表示方阵A 的行列式， A-1表示方阵A 的逆矩阵， (，)表示向量，的 内积， E 表示单位矩阵 一、单项选择题(本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 1设 A 是 4 阶方阵，且det(A)=4，则 det(4A)=( )A 4 4 B 4 5 C4 6 D 4 7

28、 2已知 A 2+A+E=0，则矩阵 A-1=( )A A+E BA-EC -A-ED-A+E 3设矩阵A，B，C，X 为同阶方阵，且A，B 可逆， AXB =C，则矩阵X=( ) AA -1CB- BCA -1B-1 CB -1A-1C DCB -1A-1 4设 A 是 s n 矩阵 (s n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( ) AA TA 是 s s 对称矩 BA TA=AAT C(A TA)T =AAT D AA T 是 s s 对称矩阵 5设1，2，3，4，5是四维向量，则 ( ) Al，2，3，4，5一定线性无关 B l，2，3，4，5一定线性相关 C5一定可以由1，2，3，4

29、线性表出 D 1一定可以由2，3，4，5线性表出 6设 A 是 n 阶方阵，若对任意的n 维向量 X 均满足 AX=0，则 ( )AA=0 BA=EC秩 (A)=n D0秩(A)n 7设矩阵A 与 B 相似，则以下结论不正确 的是 ( ) 浙 02198# 线性代数试卷第 11 页（共 54 页） A秩 (A)=秩(B) BA 与 B 等价 CA 与 B 有相同的特征值DA 与 B 的特征向量一定相同 8设 1，2，3为矩阵 A= 200 540 093 的三个特征值，则 123=( )A10 B20C24 D30 9二次型f(x1，x2，x3)= 323121 2 3 2 2 2 1222x

30、xxxxxxxx 的秩为 ( )A1 B2C3 D4 10设 A，B 是正定矩阵，则( ) AAB 一定是正定矩阵B A+B 一定是正定矩阵C(AB) T 一定是正定矩阵D A-B 一定是负定矩阵 二、填空题 (本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分) 11 设 A= 11 01 ， k 为正整数，则 Ak= 12 设 2 阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1= 43 21 ， 则矩阵 A=_ 13设同阶方阵A，B 的行列式分别为-3，5，则 det（AB）=_. 14设向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5， 7） ，向量满足 2+=3,则=_. 15实数向量空间V=( x1

31、, x2, , xn)|3 x1+ x2+ xn =0 的维数是 _16矩阵 A= 541 420 713 032 的秩 =_. 17设21,是齐次线性方程组Ax=0 的两个解，则A（ 3217）=_. 18设方阵A 有一个特征值为0，则 det(A 3)=_. 19设 P 为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（ x, y）=_. 20设 f(x1，x2，x3)= 3121 2 3 2 2 2 1 2224xxxtxxxx是正定二次型，则t 满足 _. 三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分） 21计算行列式 bacc2c2 b2cabb2 a2a2cba 22判断矩阵A

32、= 7600 6500 0032 0014 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 23求向量组 1=(1， 2，-1，-2),2=(2，5，-6， -5),3=(3，1，1，1), 4=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组， 并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来 浙 02198# 线性代数试卷第 12 页（共 54 页） 24求齐次线性方程组 032 0423 0532 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的一个基础解系及其结构解 25求矩阵A= 3142 281 232 的特征值和特征向量 26写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型 f(x1，x2， x3

33、)= 323121 2 2 2 1 6223xxxxxxxx 四、证明题 (本大题共1 小题， 6 分) 27设方阵A 满足 (A+E) 2=E，且 B 与 A 相似，证明： B 2+2B=0 全国 2011年 4 月高等教育自学考试 说明： A T 表示矩阵 A 的转置矩阵， A*表示矩阵A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。 1.下列等式中，正确的是（） A. 200100 2 001021 B. 123369 3 456456 C. 10 510 02 D. 120120 035035 2. 设矩阵 A= 100 220 340 ，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A

34、.3 B.2C.1 D.0 3. 设向量 1=（-1 ，4） ，2=（1，-2 ） ，3=（3，-8） ，若有常数 a,b 使 a 1-b2-3=0,则（ ） A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2 D.a=1,b=2 4. 向量组 1=（1，2，0） ，2=（2，4，0） ，3=（3，6，0） ，4=（4，9，0）的极大线性无关组为（） A. 1，4B.1，3 C.1，2 D. 2，3 浙 02198# 线性代数试卷第 13 页（共 54 页） 5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（） A. 111 010 001 B. 200 020 002 C. 108 010 0

35、01 D. 108 018 001 6.设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且C= 0B A0 ，则 C -1 是（） A. 1 1 B0 0A B. 1 1 0B A0 C. 1 1 0A B0 D. 1 1 A0 0B 7. 设 A为 3 阶矩阵， A的秩 r( A)=3 ，则矩阵A* 的秩 r( A*)= （） A.0 B.1 C.2 D.3 8. 设=3 是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵 1 1 4 A有一个特征值等于（） A. 4 3 B. 3 4 C. 3 4 D. 4 3 9.设矩阵 A= 100 212 312 ，则 A 的对应于特征值=0 的特征向量为（） A.（0， 0，0）

36、 TB.（0，2，-1）TC.（1， 0，-1）T D.（0，1，1） T 10.下列矩阵中是正定矩阵的为（） A. 12 23 B. 33 36 C. 03 31 D. 10 01 二、填空题（本大题共10 小题，每题2 分，共 20 分） 11.行列式 111 123 149 =_.12. 设矩阵 A= 11 22 31 ，B=（1， 2，3） ，则 BA= _. 13.行列式 3040 1111 0100 5322 中第 4 行各元素的代数余子式之和为_. 14.设 A，B 为 n 阶方阵，且AB=E，A -1B= B-1A=E，则 A2+B2=_. 15.设向量=（1，2，3，4） ，

37、则的单位化向量为_. 16.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A|= 1 2 ，则 |A 3|=_. 17.已知 3 维向量=（1， -3，3） ，=（1， 0，-1）则+3=_. 18.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组Ax=0 的通解为 _. 19.设 1，2， n 是 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，则矩阵A 的行列式 |A|=_. 浙 02198# 线性代数试卷第 14 页（共 54 页） 20.二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为 _. 三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分） 21.已知

38、矩阵A= 111 210 101 ，B= 100 210 021 ，求：（1）A TB； （ 2）| ATB |. 22.设 A= 123 221 343 ，B= 21 53 ，C= 13 20 31 ，且满足AXB=C ，求矩阵 X. 23.求向量组 1=(1,2,1,0) T， 2=（ 1,1,1,2） T， 3=（3,4,3,4） T， 4=（4,5,6,4） T 的秩与一个极大线性无关组. 24.判断线性方程组 1234 1234 134 xx3xx1 2xxx4x2 x4x5x1 是否有解，有解时求出它的解. 25.设向量 1=（ 1，1，0） T， 2=（-1，0，1） T， （1

39、）用施密特正交化方法将 1，2化为正交的1，2； （2）求3，使1，2，3两两正交 . 26.已知二次型f= 222 12313xxx2x x，经正交变换x=Py 化成了标准形f= 22 12y2y，求所用的正交矩阵P. 四、证明题（本大题共6 分） 27.设 A 为 5 阶反对称矩阵，证明|A|=0. 全国 2011年 7 月高等教育自学考试 1设 101 350 041 A ，则 T AA=（）A-49 B-7C7 D49 2设 A 为 3 阶方阵，且4A，则2A（）A -32 B -8C8 D 32 3设 A， B 为 n 阶方阵，且A T=-A，BT=B，则下列命题正确的是（ ） A

40、（A+B） T=A+BB （AB）T=-ABCA2 是对称矩阵DB2+A 是对称阵 4设 A， B，X，Y都是 n 阶方阵，则下面等式正确的是（） A若 A 2=0，则 A=0B （AB）2=A2B2C若 AX=AY，则 X=YD若 A+X=B，则 X=B-A 5设矩阵A= 1131 0214 0005 0000 ，则秩（ A）=（）A1 B 2C3 D 4 浙 02198# 线性代数试卷第 15 页（共 54 页） 6若方程组 0 20 20 kxz xkyz kxyz 仅有零解，则k=（） A-2 B -1C0 D 2 7实数向量空间V= （ x1，x2，x3）|x1 +x3=0 的维数是

41、（）A0 B1C2 D3 8若方程组 123 23 23 21 32 (3)(4)(2) xxx xx xx 有无穷多解，则=（）A 1 B 2C3 D4 9设 A= 100 010 002 ，则下列矩阵中与A 相似的是（） A 100 020 001 B 110 010 002 C 100 011 002 D 101 020 001 10设实二次型 22 12323 (,)f xxxxx，则 f（）A正定 B不定 C负定 D半正定 11设 A=(-1,1,2) T， B=(0,2,3)T,则|ABT|=_. 12设三阶矩阵 123 ,A，其中(1,2,3) i i为 A 的列向量，且|A|=

42、2，则 122123 ,_. 13设 010 0 1 0 2 Aac b ，且秩 (A)=3，则 a,b,c 应满足 _.14矩阵 31 22 13 22 Q 的逆矩阵是 _. 15三元方程x1+x3=1 的通解是 _.16已知 A 相似于 10 02 ，则 |A-E|=_. 17矩阵 001 010 100 A的特征值是 _. 18与矩阵 12 21 A 相似的对角矩阵是_. 19设 A 相似于 100 010 001 ，则 A4_. 20二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是 _.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分 浙 02198# 线性

43、代数试卷第 16 页（共 54 页） 21计算 4 阶行列式D= 1234 2341 3412 4123 .22设 A= 101 020 161 ，而 X 满足 AX+E=A2+X，求 X. 23求向量组： 1234 1253 2101 ,3275 1253 2341 的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余 的向量表示成该极大无关组的线性组合. 24当为何值时，齐次方程组 123 123 123 220 20 30 xxx xxx xxx 有非零解？并求其全部非零解. 25已知 1,1,-1 是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量 1 (1,1,1) T 、 2 (2,2,1) T

44、是 A 的对应于 12 1的特 征向量，求A 的属于 3 1的特征向量 . 26求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形 .四、证明题（本大题 6 分） 27设 123 ，线性无关，证明 11213 23，也线性无关 . 全国 2011 年 10 月自学考试 线性代数 (经管类 ) 试题 课程代码： 04184 说明：在本卷中， AT表示矩阵 A 的转置矩阵， A*表示矩阵A 的伴随矩阵， E 表示单位矩阵。A表示方阵A 的行列式， r(A)表示矩阵 A 的秩。 一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分） 在每小题列出

45、的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选 均无分。 1.设 3 阶方阵 A 的行列式为2，则 1 2 A( ) A.- 1 B. 1 4 C. 1 4 D.1 浙 02198# 线性代数试卷第 17 页（共 54 页） 2.设 212 ( )222122 , 323235 xxx f xxxx xxx 则方程( )0fx的根的个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 3.设 A 为 n 阶方阵，将A 的第 1 列与第 2 列交换得到方阵B，若,AB则必有（） A.0AB. 0AB C. 0AD. 0AB 4.设 A,B 是任意的n 阶方阵，下列命

46、题中正确的是（） A. 222 ()2ABAABBB. 22 ()()ABABAB C.()()()()AEAEAEAED. 222 ()ABA B 5.设 1 1121 3 212223 313233 , a ba ba b a ba ba b a ba ba b A其中0,0,1,2,3, ii abi则矩阵 A 的秩为（） A.0 B.1 C.2 D.3 6.设 6 阶方阵 A 的秩为 4，则 A 的伴随矩阵A* 的秩为（） A.0 B.2 C.3 D.4 7.设向量 =（1，-2，3）与 =（2，k，6）正交，则数k 为（） A.- 10 B.- 4 C.3 D.10 8.已知线性方程组 123 123 12 4 3 224 xxx xaxx xax 无解，则数a=( ) A. 1 2 B.0 C. 1 2 D.1 9.设 3 阶方阵 A 的特征多项式为 2 (2)(3) ,EA则A( ) 浙 02198# 线性代数试卷第 18 页（共