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1、函数最值求解策略 焦景会第 1 页2013-5-3 函数最值问题求解策略 055350 河北隆尧一中焦景会 最值问题遍及代数、三角、 立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。最值问 题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有： 一、配方法 配 方 法 是 求 二 次 函 数 最 值 或 可 转 化 为 二 次 函 数 的 函 数 最 值 的 基 本 方 法 ， 形 如 )()()( 2 cxbfxfaxF的函数最值问题，均可使用配方法。 例1、 已知3,1,log2)( 3 xxf x ，求函数)()( 22 xfxfy最值。 解：由3,1,log2)( 3 xxf x ，得
2、 2 2 2 2 22 l og2)l o g2()()( xx xfxfy 3)3(log6log6)(log 2 33 2 3 xxx 。 又函数 f(x) 定义域 1,3， 所以函数)()( 22 xfxfy定 义域为 31 31 2 x x ，解得31x，所以 2 1 ,0log 3 x 。由二次函数单调性得， 4 37 6y，所求函数 最大值为 3 7 4 ，最小值为6。 评注 : 利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。 二、判别式法 主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数, 把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程 F(x,y)=0
3、有实根，判别式0，当 x 的范围是 R 时, 仅考虑即可 , 当 X 的范围非 R 时, 还需要结合图 形另解不等式。特别的，形如 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa y 22, (aa不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值 常用此法。 例2、求下列函数最值 （1） 4 3 2 x x y； （2） 32 742 2 2 xx xx y。 解； （1）由 4 3 2 x x y，得 043 2 yxyx。 当 y=0 时, x=0; 当0y时,由 0 得 4 3 4 3 y, 故原函数最小值为 3 4 ，最大值为 3 4 。 （2）将已知函数式变形为74232 22 xxyy
4、xyx, 函数最值求解策略 焦景会第 2 页2013-5-3 即073)2(2)2( 2 yxyxy，显然 2y ，将上式视做关于x 的一元二次方程。 Rx,即上述关于x 的一元二次方程有实根，所以 0)73)(2(4)2(2 2 yyy， 解得2 2 9 y。又2y，函数最小值为 9 2 。 评注 : 若在解的过程中经过变形, 从而扩大了的取值范围, 利用判别式求出的范围后，应综合函数的 定义域 , 将扩大部分剔除。 三、换元法 主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时, 要特别关注中间变量的取值范围。特别的，形如 dcbadcxbaxy,(均为常数，且0a）的函数常用此法求解。 例3、
5、求函数122xxy最小值。 解：令)0(21txt，则 2 1 2 t x，则 4 5 4 5 ) 2 1 (1 22 ttty， 所以，所求函数最小值为 5 4 。 注： （1）换元前后的等价性。题中021txt，而不是看解析式有意义的t 取值范围； （2）换元后可操作性。 例 4 、求函数 234 24 12 12 xxxx y xx 的最大值和最小值。 解: 243 2424 12 1212 xxxx y xxxx 2 2 22 1 11 xx xx ，令 x=tan 2 ，则 f(x)=f()= 2 1 cossin 2 2 1 sinsin1 2 2 117 sin 416 ， 当
6、sin = 1 4 时,()fx最大值为 1 7 16 ，当 sin=-1时, ()fx最小值为 1 2 。 四、数形结合法 主要适用于具有几何意义的函数, 通过函数的图象求最值。 例 5、已 知 x 2 +y 2-2x+4y-20=0 求 x 2+y2 的最值。 分析 : 本题已知条件转化为(x-1) 2+(y+2)2=25 , 可用三角代换转化为三角函数最值问题处理 , 也可借 助几何图形数形结合处理。 解 :作 x 2+y2-2x+4y-20=0 的图形 ,它是圆心在P(1,-2)半径为5 的圆 ,依题意有x 2+y2 =2x-4y+20, 设 函数最值求解策略 焦景会第 3 页2013
7、-5-3 x 2 +y 2=z,则 z=2x-4y+20 即 120 24 z y,其图形是斜率为 1 2 且与已知圆相交的一簇平行线,于是求 z 的最 值问题就是求这簇平行线中在y 轴的截距最大或最小问题。由平面几何知识知,圆心P(1,-2) 到切线 2x-4y+20-z=0的 距 离 小 于 或 等 于 半 径 , 即 22 | 214(2)20| 5 2(4) z ， 即 | 3 0|1 05z ， 故 3010530105z，故 x 2+y2 最小值为 1 30105z ，最大值为 2 30105z 。 五、函数的单调性法 （1）关于自变量x 的一次根式，如cdxbaxy，用换元法求解
8、,当 ad0 时，也可利用单调 性求最值； （2）形如)0(k x k xy的函数常考虑利用单调性，当x0 时，函数单调减区间,0(k， 单调增区间为),k，因其函数图象形如“”，故称为对号函数，其分界点为)2,(kk。对于 x-1 ，a0) 的最小值。 解: 2 1 1 axx y x =(1) 1 a axa x (1)12 1 a axa x 2(1)121 1 a a xa x ，当(1) 1 a a x x , 即 x=0 时等号成立 ,=1。 七、导数法 设函数 f(x) 在a,b上连续在 (a,b) 上可导 , 则 f(x)在a,b上的最大值和最小值应为f(x)在(a,b) 内的
9、各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。 例 9、动点 P(x,y) 是抛物线y=x 2 -2x-1上的点 ,O 为原点 , 当 x=2 时， 2 OP取得极小值 , 求 2 OP 的最小值。 解: 2 OP=x 2+y2=x2+( x2-2x-1)2=x4 -4x 3+3x2+4x+1，令 f(x)= x4 -4x 3 +3x 2 +4x+1, 则()fx=4x 3-12x2 +6x+4=4(x-2)(x- 13 2 )(x- 13 2 , 令()fx=0, 得 x=2, 13 2 , 13 2 x 13 , 2 13 2 1313 , 22 13 2 13 , 2 2 2 (2,) f(x ) - 0 + 0 - 0 + f(x) 极小值极大值极小值 因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f( 13 2 )= 1163 4 ，f(2)=5,故 f(x) 的最小值，即 2 OP的最小值为 1163 4 。