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1、第七章圆 一. 本周教学内容： 第七章圆 三圆和圆的位置关系 学习目标 1. 掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2. 理解并掌握两圆相切的性质定理； 3. 掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明； 4. 理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切 线的条数确定两圆的位置关系； 5. 通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会 在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。 知识回顾 1. 圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征 两圆位置关 系 公共 点个数相对关系数量关系公切线条数圆 外离0 一圆在另一圆 外部 dR+
2、r 4 外切1 除公共点外， 一圆在另一圆 外部 d=R+r 3 相交2 RrdR+r 2 内切1 除公共点外， 一圆在另一圆 内部 d=R r 1 内含0 一圆在另一圆 内部 dR r 0 2. 两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。 3. 两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4. 设两圆公切线长L，两圆半径R、r ，两公切线的夹角 则 有 ： 外 公 切 线 长这 时 外 LdRr Rr d 22 2 ()si n 内 公 切 线 长这 时 内 LdRr Rr d 22 2 ()si n 【典型例题】 例 1. 已知 O1、O2半径分别为15cm和 13
3、cm，它们相交于A 、B 两点， 且 AB长 24cm， 求 O1O2长。 分析： 该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧； 因此，我们必须分两种情况来解。 如图（ 1） O1O2=O1C+O2C=14cm 如图（ 2） O1O2=O1CO2C=4cm 例 1 是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。 例 2. 如图， O1与 O2外切于点 P，AC切 O2于 C交 O1于 B，AP交 O2于 D，求证： （1）PC平分 BPD （2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。 在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线
4、是常见的一条辅助线，利用弦切 角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。 从这道题我们还可以联想到做过的两道题， 当 A、B重合时， 也就是 AC成为两圆的外公切线时，PC AD ，即我们书上的例题（P129 例 4） 当 APD经过 O1、O2时， PB AC ，PC平分 BPD的证法就更多了。 例 3. 如图，以FA为直径的 O1与以 OA为直径的 O1内切于点A， ADF内接于 O ， DB FA于 B，交 O1于 C，连结 AC并延长交 O于 E，求证： （1）AC=CE （2）AC 2=DB2BC2 本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，
5、 应认真体会。 例 4. 如图： O1和 O2相交于 A、B两点，过A 作 O1切线交 O2于点 C，过点 B作两 圆割线交 O1和 O2于 D、E，DE与 AC相交于 P 点， （1）求证： PA PE=PC PD （2）当 AD与 O2相切且 PA=6，PC=2 ，PD=12时，求 AD的长。 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立 联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。 例 5. 如图，已知：O与 B 相交于点M 、 N，点 B 在 O上， NE为 B的直径，点C 在 B 上， CM交 O于点 A，连结 AB并延长交NC于点 D，求证
6、： AD NC 。 例 6. 如图：已知DEC中 DE=DC ，过 DE作 O1交 EC 、DC于 B、A，过 A、B、C作 O 2， 过 B作 BF DC 于 F，延长 FB交 O1于 G，连 DG交 EC于 H， （1）求证： BF过 O2的圆心 O2 （2）若 EH=6 ，BC=4，CA=4.8，求 DG的长。 例 7. 如图： O1与 O2外切于点 P，AB是两圆外公切线，AB与 O1O2延长线交于 CA PE点 ，延 长 线 上 一 点， 满 足 条 件交 于 点， AP AB AC AE PEOD 2 （1）求证： AC EC （2）求证： PC=EC ()34 9 4 若求的值APPD BC EC