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1、知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心1 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 构造函数证明不等式 函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带. 在不等式的证明中，我们可根据不等式 的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式. 一、 二次函数型： 1.作差构造法 . 例 1.( 新教材第二册（上） （以下同） 16P习题 1（2）) 求证 : 222 .abcabbcca 分析 : 将a视为变量 , 考察函数 222 .faabc abbcc由于该二次函数的图象开口向上, 且 2 30,bc故0.fa结论获证 . 例 2.( 教材 31.
2、P复习参考题6) 设,a b c为ABC的三条边 ,求证 : 222 abc2abbcca. 分析 : 构造函数 2 2 2.fxxbcxbcfx图象开口向上, 对称轴xbc. fx 在,bc 上单调递减. ,a b c为ABC的三条边, bcabc ( 不妨设bc) fafbc. 22 240.fbcbcbcbcbcc bc 0.fa即结论成立 . 2.判别式构造法. 例 3.( 教材 27. P例 1)已知,a b c d都是实数 , 且 22 1,ab 22 1.cd求证 :1.acbd 分析：所证结论即是 2 2222 240.acbdabcd 故可构造函数 22222 2.fxabx
3、acbdxcd 由于 222222 22fxaxacxcb xbdxd 22 0.axcbxd 当且仅当 cd x ab 时取“ =”号 . 又因为fx的图象开口向上, 故必有0.结论成立 . 练习 1.( 教材 16. P练习 2) 求证 : 2 2222 .acbdabcd 点拨 : 证法同例3. 该题是柯西不等式的特殊情形. 其一般形式是: 2 22 111 . nnn iiii iii a bab可构造函数 222 111 2 nnn iiii iii fxaxa bxb证之 . 练习 2.( 教材 17. P习题 6) 已知,a b是不相等的两个正数, 求证 : 2 3322 .ab
4、abab 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心2 点拨 : 构造函数 22233 2fxabxabxab 22 axabxb证之 . 练习 3. (教材 17. P习题 7) 已知,a b都是正数 ,x yR且1ab, 求证 : 2 2 2 .axbyaxby 点拨 : 构造函数 222 2fzabzaxbyzaxby 22 azxbzy证之 . 练习 4. (教材 31. P复习参考题5)求证 : 2 242 3 11.aaaa 点拨 : 构造函数 2224 32 11fxxaaxaa 2 22 2 1xxaxa证之 . 二、 分式函数型 : 例 4. (教材 1 2. P例 2) 已
5、知,a b m都是正数 , 并且,ab求证 :. ama bmb 分析 : 构造函数0,. xa fxx xb 由于当0,x时， 2 0. ba fx xb 故fx在 0,上是增函数. fx在0x处右连续，fx在0,上是增函数. 0m 0fmf即. ama bmb 例 5. (教材 22. P例 3) 已知1,1,ab求证 :1. 1 ab ab 分析 : 构造函数 1,1 . 1 ax fxx ax 由于当1,1x时， 2 2 1 0. 1 a fx ax 故fx在1,1上是增函数 . fx在1x处右连续，在1x处左连续 . fx在1,1 上 是增 函数 . 11b11ffbf , 即11
6、1 ab ab , 即 1. 1 ab ab 例 6. (教材 14 P练习 5) 已知,a b c d都是正数 , 且,bcad求证 :. aacc bbdd 分 析 :联 想 定比 分 点坐标 公 式 , ac bd 可 写 成. 1 acd bdb d b 故 可构 造 函数 fx,0,. 1 ac x bd x x 当0,x时， 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心3 22 0. 11 ca bcad db fx xbdx fx在0,上是增函数. fx在0x处右连续， fx在0,上是增函 数.又 d b 0.0lim. x d fffx b 而 0, a f b , dac f
7、bbd lim. x c fx d 故原不等式成立. 练习 5. (教材 14. P练习 4) 已知0,cab求证 :. ab cacb 点拨 : 构造函数0, x fxxc cx 练习 6. (教材 17. P习题 9) 已知ABC的三边长分别是,a b c. 且m为正数 . 求证 : . abc ambmcm 点 拨 : 构 造 函 数,0,. x fxx xm 易 证fx为 增 函 数 . 由 于,abc故 .fabfc即. abc abmcm 而. ababab ambmabmabmabm 故 有. abc ambmcm 练习 7. (教材 23. P习题 4) 求证 :. 11 ab
8、ab abab 分析 : 构造函数,0, 1 x fxx x 证之 . 三、 幂函数型： 例 7 . 如果,a b都是正数，且,ab求证： 553223 .aba ba b 分析： 5532233322 .aba ba babab 考察函数, n fxx (nN * ) 在,0上的单调性，显然fx在,0上为增函数 . 若ab, 则 33 ab, 22 ab, 所以 3322 0abab； 若ab, 则 33 ab, 22 ab, 所以 3322 0abab。 所以 553223 .aba ba b 利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为: 若 a、b 是正数且 ab, 求证：. mnmnmn
9、nm ababa b (m,nN * ) 四、 一次函数型： 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心4 例 8. 设,0,1,a b c 求证 :1.abcabbcca 分析 : 构造函数11,0,1 .fabc abcbca 01110,fbcbccb1110.fbcbcbcbc 对任意0,1,a 恒有0.fa故原不等式成立. 五、 三角函数型： 例 9.( 同例 3) 分析 : 设cos,sin,abcos,sin.cd则co sco ssinsinacbd co s1. 练习 8. 设,x yR且 22 1,xy求证 : 22 222.xxyy 点拨 : 设cos,sin.xryr其
10、中 2 1.r以下略 . 六、指数函数型 : 例 10已知等差数列 n a和等比 数列 n b，其中 11 ba， 22 ba，0 1 a 2 a，证明当n3时， na nb . 分析 : 设数列 n a的公差为,d数列 n b的公比为.q由条件可得0,1,dqqada 11 ，即 1 1 a d q. 所以，当3n时， n b 1 1 n qa 1 1 1 1 n a d a 1 1 1 1 1 a d Ca n 1 1 1 1 1 a d Ca n.1 1n adna 这儿 , 我们用二项式定理进行放缩 , 完成了证明 . 七、构造函数,利用函数图象的凸性： 例 11. (教材 15. P
11、例 6) 求证3+725 分析 : 考察函数f(x)=x的图象 , 特征是上凸函数. 对任意 12 ,0,xx 且 12, xx都有：)()( 2 1 21 xfxf) 2 ( 21 xx f . 所以 , 1 375 . 2 fff 即 2 1 （3+7）5. 两条结论 : （1）上凸函数，区间中点相同时，两端“距离”区间中点越近两端点的函数 5 3 7 x y o 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心5 值之和越大 . 例:21131052276及213aaaa (2) 下凸函数 , 区间中点相同时, 两端“距离”区间中点越近, 两端点函数值之和越小. 练习9. 已知 :tanfxx
12、,x0, 2 , 若 12 ,xx0, 2 且 12 xx, 试判断 12 1 2 fxfx与 12 2 xx f 的大小，并加以证明（94 年高考理科试题变式题）. 练习10. 已知 :lg1fxxx, 若 120xx, 试比较12 1 2 fxfx 与 12 2 xx f 的大小 (94 年高考文科试题). 练习 11. (教材 23.P习题 5) 求证 : lglg lg0 . 22 ABAB AB 以上表明 , 若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路. 八、构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题： 例 12 （2001 年全国理）已知nmi,是正整数，且1im.n （1
13、）证明 i m i An i n i Am. （2）证明 n m1 m n1. 分析：（1） i m i An i n i Am可化为： i i m m A i i n n A ，即： i i k m km 1 0 i i k n kn 1 0 . 构造函数xf i i k x kx 1 0 . （xi1）. 两边取对数，得：.lnlnln 1 0 xikxxf i k 当,xi时, 两边 求导，得： x i kxxf xf i k 1 0 1 .0 1 1 0x i x i k 由于xf0，故xf0. 这说明xf在, i上是增函数 . fx在xi处右连续 . xf在, i上是增函数 . im
14、n. mfnf. 即 i i m m A i i n n A . 整理，得： i m i An i n i Am. 知识改变命运百度提升自我 用心 爱心 专心6 （2）不等式 n m1 m n1两边取对数，得： n m1ln m n1ln. 整理，得： m m1ln n n1ln . 构造函数2 1ln x x x xg. 求导，得： 2 1ln 1 x x x x xg. 当 2x 时 , 可得： 0 x x 1 1，ln 1ln 3x 1. 故xg0. 所以xg在2,上是减函数 . gx在2x处右连续 . xg在,2上是减函数 . mn，mgng. 即 m m1ln n n1ln . 整理
15、，得： n m1 m n1. 注 ： 不 等 式 n m1 m n1也 可 化 为 ： m m 1 1 n n 1 1. 这 时 ， 可 研 究 函 数 x xxh 1 1 ln 1x x e的单调性证之. 练习 12. 已知n是正整数且n3. 求证： 1n n n n1. 点拨：不等式 1n n n n1两边取自然对数，整理得： n nln 1 1ln n n . 构造函数 x x xf ln 可证之 . 说明 : 根据所构造函数的结构特点, 我们将函数转化为ln fx型或 ln fx e型, 方便了对函数的求导运算. 不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还 可建立向量模型、解析几何模型、 方程模型等， 请读者自行研究、总结. 作者简介 :陈兵 , 男,1976 年 10 月 26 日出生 , 山东省滕州市人, 中教二级 , 学士学位 .