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1、九年级期末数学试卷（西城北区）第1 页（共15 页） 北京市西城区 20112012 学年度第一学期期末试卷（北区） 九年级数学2012.1 考 生 须 知 1本试卷共6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。考试时间120 分钟。 2试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题（本题共32 分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的 1抛物线 2 (1)1yx的顶点坐标为 A(1,1)B(1, 1) C( 1,1) D( 1,1) 2若相交两圆的半径分别为4 和
2、7，则它们的圆心距可能是 A2 B3 C 6 D11 3在 RtABC 中， C90 ，若 BC 1，AB=5，则 tanA 的值为 A 5 5 B 25 5 C 1 2 D2 4如图，在 O 中，直径AB弦 CD 于 E，连接 BD，若D=30 ， BD =2，则 AE 的长为 A2 B 3 C4 D5 5若正六边形的边长等于4，则它的面积等于 A483B243C123D43 6如图，以点D 为位似中心，作ABC 的一个位似三 角形 A1B1C1，A，B，C 的对应点分别为A1，B1，C1， DA1与 DA 的比值为 k，若两个三角形的顶点及点D 均在如图所示的格点上，则k 的值和点C1的坐
3、标分 别为 A 2，(2,8)B 4，(2,8) C 2，(2, 4)D2，(4, 4) 九年级期末数学试卷（西城北区）第2 页（共15 页） 7如图，抛物线 2 yaxbxc与 x 轴交于点(1,0)，对称轴为 1x ，则下列结论中正确的是 A0a B当1x时， y 随 x 的增大而增大 C0c D3x是一元二次方程 2 0axbxc的一个根 8如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2, 0)A，(0, 2)B，C 的圆 心为点(1,0)C，半径为1若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点E，则 ABE 面积的最大值是 A2 B 8 3 C 2 2 2 D 2 2 2 二、填空
4、题（本题共16 分，每小题4分） 9如图， O 是ABC 的外接圆，若 OCB40 ，则A= 10将抛物线 2 yx先向下平移1 个单位长度后，再向右平移1 个 单位长度，所得抛物线的解析式是 11如图，在RtABC 中，ACB=90 ，B=30 ，AB=4 以斜 边 AB 的中点 D 为旋转中心，把ABC 按逆时针方向旋转角 （0120） ，当点 A 的对应点与点C 重合时， B，C 两点 的对应点分别记为E，F，EF 与 AB 的交点为G，此时等于 ，DEG 的面积为 12已知二次函数 21 2 yxx， （1）它的最大值为； （2）若存在实数m，n 使得当 自变量x 的取值范围是m xn
5、 时，函数值y 的取值范围恰好是3m y3n，则 m=， n= 九年级期末数学试卷（西城北区）第3 页（共15 页） 三、解答题（本题共30 分，每小题5分） 13计算： 2 cos 303 tan 602sin45 14已知关于x 的方程 2 2230xxk有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根 15已知抛物线 2 45yxx. （1）直接写出它与x 轴、 y 轴的交点的坐标； （2）用配方法将 2 45yxx化成 2 ()yaxhk的形式 16已知：如图，在菱形ABCD 中，E 为 BC 边上一点， AED= B （1）求证： ABE
6、DEA； （2）若 AB=4，求AEDE的值 17学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另 三边用总长为36 米的篱笆恰好围成（如图所示）设矩形 的一边 AB 的长为 x 米（要求 ABAD ） ，矩形 ABCD 的面 积为 S 平方米 （1）求 S与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？ 18如图，在RtABC 中，90C，AB 的垂直平分线与BC，AB 的交点分别为D，E （1）若 AD=10， 4 sin 5 ADC，求 AC 的长和tan B的值； （2）若 AD= 1，ADC=，参考（ 1）的计算过程直
7、接写 出tan 2 的值（用sin和cos的值表示） 九年级期末数学试卷（西城北区）第4 页（共15 页） 四、解答题（本题共20 分，每小题5分） 19如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向 连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90得到第二个正方 形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90得到第三个正方形，依此 方法继续滚动下去得到第四个正方形，第n 个正方形设滚动过程中的点P 的坐 标为 ( ,)x y （1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)Px y运
8、动的曲线（0x4） ，并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的 面积 20已知函数 2 yxbxc（x 0） ，满足当 x =1 时，1y， 且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等 （1）求函数 2 yxbxc（x 0）的解析式并画出它的 图象（不要求列表） ； （2）若( )fx表示自变量x 相对应的函数值，且 2 (0), () 2 (0), xbxcx fx x 又已知关于x 的方程 ()fxxk有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围 21已知：如图，AB 是O 的直径， AC 是弦， BAC 的平分线与 O 的交点为 D， DEAC，与 AC 的延长线交于点E
9、（1）求证：直线DE 是O 的切线； （2）若 OE 与 AD 交于点 F， 4 cos 5 BAC，求 D F AF 的值 九年级期末数学试卷（西城北区）第5 页（共15 页） 22 阅读下列材料： 题目：已知实数a，x满足a2 且x2，试判断ax与ax的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与ax的差()yaxax，再 说明y的符号即可 . 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将y的代数式整理成(1)yaxa， 要判断y的符号可借助函数(1)yaxa 的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题： 已知 a，b，c 都是非负数， a5，且 2
10、220aabc，2230abc （1）分别用含a 的代数式表示4b，4c； （2）说明 a，b，c 之间的大小关系 五、解答题 （本题共22 分，第 23 题 7 分，第24题 7分，第25 题 8 分） 23已知抛物线 2 (2)2ykxkx（其中0k） （1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含 k 的代数式表示 )； （2）若记该抛物线的顶点坐标为 (, )P m n ，直接写出n的最小值； （3）将该抛物线先向右平移 1 2 个单位长度， 再向上平移 1 k 个单位长度， 随着k的变化， 平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要 求写自变量的取
11、值范围） 24已知：如图，正方形ABCD 的边长为a，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 45M AN，连结 MC，NC，MN （ 1）填空：与 ABM 相似的三角形是，BMD N= ； （用含a 的代 数式表示） （ 2）求M CN的度数； （ 3）猜想线段BM ，DN 和 MN 之间的等量关系并 证明你的结论 九年级期末数学试卷（西城北区）第6 页（共15 页） 25已知：在如图1 所示的平面直角坐标系xOy 中， A，C 两点的坐标分别为(2, 3)A， ( , 3)C n （其中 n0） ，点 B 在 x 轴的正半轴上动点P 从点 O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O
12、AB C 的顺序向点C 移动，当点P 与点 C 重合时停止运动设点 P 移动的路径的长为l， POC 的面积为S ，S与 l 的函数关系的图象如图2 所示，其中 四边形 ODEF 是等腰梯形 （1）结合以上信息及图2 填空：图 2 中的 m= ； （2）求 B，C 两点的坐标及图2 中 OF 的长； （3）在图 1 中，当动点P 恰为经过O，B 两点的抛物线W 的顶点时， 求此抛物线W 的解析式； 若点 Q 在直线 1y 上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以 B， P，Q，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标 九年级期末数学试卷（西城北区）第7 页（共15 页） 北京市西城区
13、 2011 2012 学年度第一学期期末试卷（北区） 九年级数学参考答案及评分标准2012.1 一、选择题（本题共32 分，每小题4分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B B A D C 二、填空题（本题共16 分，每小题4分） 题号9 10 11 12 答案50 2 2yxx60， 3 2 （1） 1 2 ； （2）- 4，0 说明：第10 题写成 2 (1)1yx不扣分；第11 题每空各2 分；第 12 题第（ 1）问 2 分， 第（ 2）问每空各1 分 三、解答题（本题共30 分，每小题5分） 13解：原式 = 232 332() 22 3 分 = 3 2 2 5
14、 分 14解：（1） 2 (2)4(23)8(2)kk 1 分 该方程有两个不相等的实数根， 8(2)k0 2 分 解得2k3 分 （2）当 k 为符合条件的最大整数时， 1k 4 分 此时方程化为 2 210xx，方程的根为 1 12x 2 12x 5 分 15解：（ 1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5, 0) (1, 0)和2 分 抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)， 3 分 九年级期末数学试卷（西城北区）第8 页（共15 页） （2） 2 45yxx 2 (44)9xx4分 2 (2 )9x5 分 16 （1）证明：如图1 四边形 ABCD 是菱形， ADBC 122 分 又 B=
15、AED ， ABEDEA3 分 （2）解： ABEDEA， AEAB D AD E 4 分 AEDEABDA 四边形 ABCD 是菱形， AB = 4， AB =DA = 4 2 16AEDEAB 5 分 17解：（1）四边形 ABCD 是矩形， AB 的长为 x 米， CD=AB=x （米） 矩形除 AD 边外的三边总长为36 米， 362BCx（米）1 分 2 (362)236Sxxxx 3 分 自变量 x 的取值范围是012x 4 分 （说明：由0362xx可得012x ） （2） 22 2362(9)162Sxxx，且9x在012x的范围内， 当 9x 时， S取最大值 即 AB 边的
16、长为9 米时，花圃的面积最大5 分 18解：（1）在 RtACD 中， 90C ，AD=10， 4 sin 5 AD C， （如图 2） 4 sin108 5 ACADAD C 1 分 图 1 图 2 九年级期末数学试卷（西城北区）第9 页（共15 页） 3 c o s1 06 5 C DA DA D C DE 垂直平分 AB， 10BDAD2 分 16BCC DBD 3 分 在 RtABC 中，90C， 81 tan 162 AC B BC 4 分 （2） sin tan 21cos （写成 1cos sin 也可）5 分 四、解答题（本题共20 分，每小题5分） 19解：（1）第三个和第四
17、个正方形的位置如图3 所示 2 分 第三个正方形中的点P 的坐标为(3,1) 3 分 （ 2）点(,)P x y运动的曲线（ 0x4）如图 3 所示 4 分 它与 x 轴所围成区域的面积等于15 分 20解：（1）函数 2 yxbxc（x0）满足当x =1 时，1y， 且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等， 11, 2. 2 bc b 解得4b，2c2 分 所求的函数解析式为 2 42yxx（x 0） 3 分 它的函数图象如图4 所示 4 分 图 3 九年级期末数学试卷（西城北区）第10 页（共15 页） （2）k 的取值范围是22k （如图 5）5 分 21 （1）证明：连接OD
18、（如图 6） AD 平分BAC， 1=21 分 OA=OD， 1=3 2=3 ODAE DEAC， AED =90 18090O D EAED 2 分 DEOD OD 是O 的半径， DE 是O 的切线3 分 （2）解：作OGAE 于点 G （如图 6） OGE=90 ODE=DEG=OGE=90 四边形 OGED 是矩形 OD=GE4 分 在 RtOAG 中， OGA=90， 4 cos 5 BAC，设 AG=4k，则 OA=5k GE=OD =5k AE=AG+GE=9k ODGE， ODF EAF 5 9 D FO D AFAE 5 分 22解：（1） 2 220aabc，2230abc
19、， 图 6 图 7 九年级期末数学试卷（西城北区）第11 页（共15 页） 2 22, 223. bcaa cba 消去 b 并整理，得 2 43ca 1 分 消去 c 并整理，得 2 423baa 2 分 （2） 22 423(3)(1)(1)4baaaaa， 将 4b 看成 a 的函数，由函数 2 4(1)4ba 的性质结合它的图象（如图7 所 示） ，以及 a，b 均为非负数得a3 又 a5， 3a53 分 22 4()63(3)12baaaa， 将4( )ba 看成 a 的函数，由函数 2 4()(3)12baa 的性质结合它的图象 （如图 8 所示）可知，当3a5 时，4( )0ba
20、 ba 4 分 2 4()43(1)(3)caaaaa，a 3， 4()ca0 ca bac5 分 阅卷说明： “ ba，bc，ac” 三者中，先得出其中任何一个结论即可 得到第 4 分，全写对得到5 分 五、解答题 （本题共22 分，第 23 题 7 分，第24题 7分，第25 题 8 分） 23解：（1）令0y，则 2 (2)20kxkx 整理，得 (1)(2)0xkx 解得 1 1x， 2 2 x k 该抛物线与x 轴的交点坐标为 (1,0)， 2 (,0) k 2 分 抛物线 2 (2)2ykxkx的顶点坐标为 2 244 (,) 24 kkk kk 3 分 （2）|n|的最小值为2
21、4 分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为 2 14 (,) 4 kk kk 5 分 图 8 九年级期末数学试卷（西城北区）第12 页（共15 页） 由 1 , 1 4 x k k y 可得 1 1 4 y x 所求新函数的解析式为 1 1 4 y x 7 分 24解： （1）与 ABM 相似的三角形是 NDA ， 2 BMDNa； 2 分 （2）由（ 1）ABMNDA 可得 BMAB D AN D （如图 9） 3 分 四边形 ABCD 是正方形， AB=DC ，DA= BC ，90ABCBC DAD CBAD BMD C BCN D BM，DN 分别平分正方形ABCD 的两个外角， 45CBM
22、N D C BCMDNC4 分 BC MD N C 360M CNBC DBC MD C N 2 7 0()2 7 0( 1 8 0)D N CD C NC D N 5 分 （3）线段 BM ，DN 和 MN 之间的等量关系是 222 BMDNM N （只猜想答案不证明不给分） 证法一： 如图 9，将AND 绕点 A 顺时针旋转90得到 ABF，连接 MF 则 ABF ADN 6 分 13，AF=AN ，BF=DN ，AFBAN D 122345M AFBADM AN M AFM AN 又AM= AM ， AMF AMN MF=MN 可得(1)45(3)4590MBFAFBAND 在 Rt B
23、MF 中， 222 BMBFFM 222 BMDNMN 7 分 九年级期末数学试卷（西城北区）第13 页（共15 页） 证法二：连接BD，作 ME BD，与 DN 交于点 E （如图 10） 可知45BD C，90BD N6 分 ME BD， 18090M ENBD N 90D BMD BCC BM， 四边形 BDEM 是矩形 ME=BD ，BM =DE 在 RtMEN 中，90M EN， 22222 ()MNMEENBDDNDE 2222 (2)()2()aDNBMaDNBM 222 2()BMDNDNBMBMDN7 分 25解：（1）图 2 中的 m=131 分 （2）图 11（原题图2）
24、中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m， 12 ED yy，此时原题图1 中点 P 运动到与点B 重合， 点 B 在 x 轴的正半轴上， 11 312 22 BO CC SO ByOB 解得8O B，点 B 的坐标为(8,0) 2 分 此时作 AM OB 于点 M，CNOB 于点 N （如图 12） 点 C 的坐标为( ,3)C n， 点 C 在直线3y上 又由图 11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12 中的点 C 在过点 九年级期末数学试卷（西城北区）第14 页（共15 页） O 与 AB 平行的直线l 上， 点 C 是直线 3y 与直线 l 的交点，且
25、ABMC ON 又3 AC yy，即 AM= CN ， 可得 ABM CON ON=BM= 6，点 C 的坐标为(6,3)C3 分 图 12 中 2222 3635ABAMBM 图 11 中 35DE ，221335 D O FxD E 4 分 （3）当点P 恰为经过 O， B 两点的抛物线的顶 点时，作 PGOB 于点 G （如图 13） O，B 两点的坐标分别为 (0, 0)O ， (8, 0)B ， 由抛物线的对称性可知点P 的横坐标为4，即 OG=BG= 4 由 3 tan 6 AMPG ABM BMBG 可得 PG= 2 点 P 的坐标为(4, 2)P5 分 设抛物线W 的解析式为
26、(8)yax x （a0） 抛物线过点(4, 2)P， 4(48)2a 解得 1 8 a 抛物线 W的解析式为 2 1 8 yxx 6 分 如图 14 i）当 BP 为以 B，P，Q，R 为顶点的菱 形的边时， 点 Q在直线1y上方的抛物线W 上，点 P 为抛物线W 的顶点，结合抛 物线的对称性可知点Q 只有一种情况， 点 Q 与原点重合，其坐标为 1(0, 0) Q 7 分 ii）当 BP 为以 B，P，Q，R 为顶点的菱形的对角线时， 图 13 图 14 九年级期末数学试卷（西城北区）第15 页（共15 页） 可知 BP 的中点的坐标为(6,1)， BP 的中垂线的解析式为211yx 点 2 Q的横坐标是方程 2 1 211 8 xxx的解 将该方程整理得 2 8880xx 解得4226x 由点 Q 在直线1y上方的抛物线W 上，结合图14 可知点 2 Q的横坐标 为2 264 点 2 Q的坐标是 2 (2264, 42619)Q 8 分 综上所述，符合题意的点Q 的坐标是 1(0, 0) Q ， 2(2 264, 42619)Q