北大版高数答案.pdf

《北大版高数答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北大版高数答案.pdf（169页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、- 1 - 习题 1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 3. 33,.3,3.3, ,3132.961,9124,3 1.3 ,93,3,3., ,. , , pp p qpqp qq ppkpkpkkpkk ppkkqqkqp q pp aa pa bpapb bb 证明为无理数 若不是无理数 , 则为互素自然数除尽 必除尽否则或除 将余故类似得除尽与互素矛盾. 设 是正的素数证明是无理数 设为互素自然数 , 则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 , ., : (1)|1|3.;(2) |3|2. 0,13,22,1,( 1,0); 01,13,13,(0,1)

2、; 1,13,3/ 2,(1,3/ 2). ( 1,0)(0,1) papa apk p kpbpkbpba b xxx xxxxx xxx xxxx X 数 除尽故 除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/ 2). (2)232,15,1 |5,1 |5,(1, 5)(5,1). ,(1)| |;(2)| 1,| |1. (1)| |()| | |,| |. (2) | |() | | | xxxxx a babababab aabbabbabbabab ababbabb 设为任意实数证明设证明 证 4., | 1. (1)

3、|6 | 0.1;(2) |. 60.160.1.5.96.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1,1.11 n n nn xxal xxxxX lXalallxalX a aan n aabaa 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中 为自然数 若显然 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 (1)(1)(1). ( , ),( , ). 1/10. |.( , ),|, 10 |./10 ,(1)/10, /10(1)/101/10 nnnn n nnn nn nnn abbna a ba b nba m A AmAa b

4、ABC BAx xb CAx xa BmmC bamm Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. ( , ),( , ). 1/10.2|. 10 n n n n a ba b m nbaAmZ , 此与 的选取矛盾 . 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题 1.2 - 2 - 642 6 6426426 666 13.1(1,) ( 1)( 1)11 1(1). 1121 13.(,). 1 3 | 13,| 1,3, 11 |3,(,). yxx xxxx yxxx x

5、xxx xxx y x xxxxxxx xx xxx yyx 证明函数在内是有界函数. 研究函数在内是否有界 时,时 证 解 习题 1.4 22 1.- (1) lim(0);(2)lim;(3) lim;(4) lim coscos. |-|-|-| 1)0,|, | ,|.,|,|,lim. (2)0 xa xaxaxaxa xa xa axaeexa xaxaxa xa xaxaa xa xaaaxaxaxa a 直接用说法证明下列各极限等式: 要使由于 只需取则当时故 证( 22 2222 ,|1.| |, | | 2|1| 2|, 1| 2|) |,|.min,1,|, 1| 2|1

6、| 2| |,lim (3)0,.|(1),01),1 xa xaaxaxa a xaxaxaxa xaxaaa axaxaxa aa xaxa xaeeeee e 不妨设要使由于 只需(取则当时 故 设要使即( . 1, 0ln1,min,1,0,|, 1| 2| limlimlim 0,| coscos|2 sinsin2 sinsin|, 2222 ,|,| coscos xa a xa a xaxaxa xaxaxa e e xaxaee ea eeeeee xaxaxaxa xaxa xaxa 取则当时 故类似证故 要使 取则当|时 . (4) 2 0 |,lim coscos. 2

7、.lim(),(,)(,),() . 1,0,0|-|,|()|1, |() | |()| |()|1|. (1)1 (1) limlim 2 xa xa xx xa fxlaaaa aufx xafxl fxfxllfxlllM x x 故 设证明存在的一个空心邻域使得函数在 该邻域内使有界函数 对于存在使得当 时从而 求下列极限 证 3.: 2 00 2 2 2 22 000 00 2 2 1 2 2 0 2 lim(1)1. 22 2sinsin 1cos111 22 (2) limlimlim1. 222 2 1 (3) limlim(0). ()2 22 (4) lim. 2233

8、2 (5) lim 22 x xxx xx x x xxx x xx x x xx xaax a xxxaaa xx xx xx xx 2 . 33 - 3 - 201030 3030 00 22 322 111 2 1 (23)(22)2 (6) lim1. (21)2 112 (7)limlim1. ( 11) 131 32 (8) limlimlim 11(1)(1)(1)(1) (1)(2) limlim (1)(1) x xx xxx xx xx x xxx xxxx xxxx xxxxxxxx xx xxx 2 1 44 4 2 100 (2)3 1. (1)3 123( 123)

9、(2)( 123) (9)limlim 2(2)(2)( 123) (28)(2)2 44 lim. 63(4)( 123) (1) 1(1)1 2 (10)limlimlim. 1 (11)lim xx x n nn xyy x x xx xxxx xxxx xx xx n n nyyy xy n xyy x 22 22 1 01 1 0 01 00 1 01 001 01 4 2 2 11lim0. 11 (12)lim(0). /, (13)lim(0)0, ,. 818 (14) limlim 1 x mm mm n nn x nn mm m nn x n xx x xx a xa x

10、aa b b xb xbb ab mn a xa xa a bnm b xb xb mn x x 4 2 / 1. 1 1/ x x 33 2 0 22 333333 22 02 3333 22 0 3333 22 0 3333 1312 (15)lim ( 1312 )( 13131212) lim ()(13131212) 5 lim (1)(13131212) 55 lim. 3 (1)( 13131212) (16)0, l x x x x xx xx xxxxxx xxxxxx x xxxxxx xxxxx a 222200 0 1 imlim ()()1 lim () xaxa x

11、a xaxaxa xa xaxa xaxa xaxaxaxa - 4 - 0 0 ()1 lim () 11 lim. ()2 xa xa xa xaxaxaxa xa xaxaxaa 000 222 2 00 000 sin1 4.lim1lim 1 sinsin (1)limlimlim cos. tansin sin(2)sin(2)2 (2)limlimlim1 00 323 tan3sin2tan3sin 2 (3)limlimlim sin5sin5 x xx xxx xxx xxx x e xx xx x xx xxx xxx xxx xx 利用及求下列极限: 00 () 1/

12、0 321 . sin5555 (4) limlim2. 1cos 2sin 2 cossin sinsin 22 (5)limlimcos . 2 (6)lim 1lim 1lim 1. (7)lim(15 ) xx xaxa k xx xk kk k xxx y y x x xx x x xaxa xa a xa xa kkk e xxx y 5 1/(5)5 0 100 100 lim(15 ). 111 (8)lim 1lim 1lim 1. 5.lim( )lim( ). lim( ):0,0,0 |-|( ). lim( y y xx xxx xax xa x ye e xxx f

13、 xf x f xAx af xA f x 给出及的严格定义 对于任意给定的存在使得当时 ):0,0,( ).Axf xA对于任意给定的存在使得当时 习题 1.5 - 5 - 2 22 222 22 2222 1. (1) 10 (2)sin 5. (1)0,| 110 |., 1111 ,|,| 110 |,10 555() (2)(1)0,|sin5sin5 | 2|cos|sin|. 22 xx xxa xx xx xx xxxxxx xaxa xa 试用说法证明 在连续 在任意一点连续 要使由于只需 取则当时有故在连续. 要使 由于 证 000 000 555() 2|cos|sin|

14、 5|,5|,|, 225 ,|sin5sin5 |,sin5 5 ( )()0,0|( )0. ( ),() / 2,0| ( xaxa xaxaxa xaxaxxa yf xxf xxxf x f xxf xxx f x 只需 取则当时有故在任意一点连续. 2. 设在处连续且证明存在使得当时 由于在处连续 对于存在存在使得当时证 00000 000 0000 )()|() /2,( )()() /2()/ 20. 3.( )( , ),|( )|( , ),? ( , ),.0,0| |( )() |,|( )|() | |( )() |,|. f xf xf xf xf xf x f x

15、a bf xa b xa bfxxx f xf xf xf xf xf xfx 于是 设在上连续 证明在上也连续 并且问其逆命题是否成立 任取在连续 任给存在使得当时 此时故在连续 其 证 2 2 000 1, ,( ),( ) | 1 1, ln(1),1, 1,0, (1) ( )(2)( ) arccos,1. 0; lim( )lim11(0), lim( )(0) xxx x f xf x x a xx xx f xf x ax x axx f xxff xf 逆命题 是有理数 不真 例如处处不连续 但是|处处连续. 是无理数 4. 适当地选取, 使下列函数处处连续 : 解(1) 0

16、 1111 2 2 sin2 lim sin3 0 1. (2) lim( )lim ln(1)ln 2(1),lim( )limarccos(1)ln 2, ln 2. 5.3: 11 (1)lim coscoslimcos01. (2)lim2 . (3)lim x xxxx xx x x x x x a f xxff xaxaf a xxxx xx x ee 利用初等函数的连续性及定理求下列极限 sin22 sin33 44 22 . 88 (4) lim arctanarctanlimarctan1. 114 x x xx e xx xx - 6 - 000 00 2222 2222

17、( ) ( )(ln( )( ) (5)lim(12) |lim (12) | 3|33 limlim. 2 121 1/12/ 6.lim( )0,lim( ),lim)( ). lim)( )lim) xx xx g xb xxxxxx g xfxg x xxxx xxxxxx x xxxx f xag xbf xa f xe 设证明 证 0 lim (ln( )( ) ln 2 2 . 7., (1) ( )cos ( ), (2)( )sgn(sin ), ,1, (3) ( )1, 1/ 2,1. 1 (4)( ) xx fxg x bab eea f xxxn f xxnn xx

18、f xx x x f x Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值, 使之称为连续函数: 间断点第一类间断点. 间断点第一类间断点. 间断点第一类间断点. ,01 1, sin,12, 1 1 ,01, 2 (5)( ),12,2, 1 ,23. 1 x x x x x x f xxxx x x 间断点第二类间断点. 间断点第一类间断点. 0 0 00 00 8.( ),( ), ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )0, ( )( ). yf xyg xx h xf xg xxf x

19、g xx h xf xg xxx g xf xg xf xxxf x g xx f xg xD x RR设在 上是连续函数而在上有定义 但在一点处间断. 问函数及在点是否一定间断? 在点一定间断 . 因为如果它在点连续, 将在点连续, 矛盾. 而在点 未必间断 . 例如 解 习题 1.6 - 7 - 00 00 1.: ( )lim( ), lim( ),()0,()0, ,(,),()0. 2.01,sin,. ( x x P xP x P xA B AB P AP BPA B xA BP x yyxx f x R 证明 任一奇数次实系数多项式至少有一实根. 设是一奇数次实系数多项式 , 不

20、妨设首项系数是正数 , 则 存在在连续 根据连续函数 的中间值定理存在使得 设证明对于任意一个方程有解 且解是唯一的 令 证 证 0000 000000 0000021 2121212121 )sin,(|1)| 1|, (| 1)| 1|,| 1,| 1, | 1,| 1,()., ()()(sinsin)|0,. 3.( )( , xx fyyyy fyyyyfyy xyyf xyxx f xf xxxxxxxxx f xa b 在连续 由中间值定理存在 设 故解唯一 设在 1212 1122 12 12112 112111221222 12 121212 12 ),( , ),0,0,(

21、 , ) ()() ( ). ()(),.()(), ()()()()()() ()(), , x xa bmma b m f xm fx f mm fxf xxf xfx m f xm f xm f xm f xm f xm f x f xf x mmmmmm x x 连续 又设证明存在使得 如果取即可 设则 在上利用连续函数的中间值定理 证 . 4.( )0,10( )1,0,1.0,1 ( ). ( )( ),(0)(0)0,(1)(1)10.,0 1.,(0,1),( )0, ( ). 5.( )0, 2,(0)(2). yf xf xxt f tt g tf tt gfgft tg

22、t f tt yf xff 即可 设在上连续且证明在存在一点使得 如果有一个等号成立取 为 或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得 即 设在上连续 且证明 证 12 1212 12 0, 2, | 1,()(). ( )(1)( ),0,1. (0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0, (1)(0),0,1.(0)0,(0),(1), ,(0,1)( )(1 xx xxf xf x g xf xf xx gffgffffgg ffxxggg gf 在存在两点与使得 且 令 如果则 取如果则异号 由连续函数的中间值 定理 存在使得 证 12 )( )0,1.

23、fxx取 第一章总练习题 - 8 - 22 1.: 58 12. 3 |58|142 2.| 58| 6,586586,. 355 2 (2)33, 5 2 333,015. 5 (3) |1| |2 | 1 (1)(2) ,2144,. 2 2| 2|,. 2,2,4,2;2,3 x x xxxxx x xx xx xxxxx yxxxy xyxyxyxyx 求解下列不等式 （） 或或 设试将 表示成的函数 当时当时 解 解 解 2. 解 22 23 1 23 1 2,4,(2). 3 2,4 1 (2),4. 3 1 3.11. 2 1. 2 12,4(1)44,0.1,0. 4.: 12

24、32 (1)2. 22222 121 1,. 22 123 222 nn yxy yy x yy xxx xxxxxxxxx nn nn 求出满足不等式的全部 用数学归纳法证明下列等式 当时,2-等式成立 设等式对于成立, 则 解 证 1231 111 1 21 2 1 12 22 11231 222222 2124(1)(1)3 222, 2222 1 1(1) (2)123(1). (1) 1(1 1)1(1) 1, (1)(1) nnn nnnn nn n n nnn nnnnn n nxnx xxnxx x xxx n xx 即等式对于也成立 故等式对于任意正整数皆成立 当时证1, 1

25、 21 2 . 1(1) 123(1)(1) (1) nn nnn n nxnx xxnxnxnx x 等式成立 设等式对于成立, 则 - 9 - 12 2 12 2 112 2 112 2 12 2 1(1)(1) (1) (1) 1(1)(12)(1) (1) 1(1)(2)(1) (1) 1(1)(2)(1) (1) 1(2)(1) , (1) 1 nnn nnn nnnnn nnnnn nn nxnxxnx x nxnxxxnx x nxnxxxxn x nxnxxxxn x nxnx x n即等式对于成立 .,. | 2|2 5.( ) (1)( 4),( 1),( 2),(2);

26、(2)( ); (3)0( ) (4)2 2421 1222422 (1) ( 4)1,( 1)2,( 2)2,(2)0. 4122 4/ ,2 (2)( ) xx f x x ffff f x xfx x ffff x x fx 由归纳原理等式对于所有正整数都成立 设 求的值 将表成分段函数 当时是否有极限: 当时是否有极限? 解 000 222222 22 ; 2, 20; 0,0. (3).lim( )2, lim( )0lim( ). (4). lim( )lim ( 4 / )2, lim( )lim 22lim( ), lim( )2. 6.( )14,( )14 (1)(0),

27、xxx xxxxxx x x fxf xf x f xxf xf xf x f xxfxx f 无因为 有 设即是不超过的最大整数. 求 00 22 3 ,(2); 2 (2)( )0? (3)( )2? 391 (1) (0) 1414,1467. (2) 1212. 244 (2).lim( )lim1414(0). (3).lim( )12, lim( ) xy xx ff fxx f xx fff f xyf f xf x 的值 在处是否连续 在处是否连续 连续因为 不连续因为 解 1111 11. 7.,0,: (1)(1);(2)(1). nnnn nn a babn baba n

28、bna baba 设两常数满足对一切自然数证明 - 10 - 111 1 11 1 ()() (1), (1). 11 8.1,2,3,1,1. :, 11 1,1,7, 1 1 1 nnnnn nnnn nn n nn nn nnnn baba bbaa bbbbnb baba ba na ba nab nn abab ab nn n 类似有 对令 证明序列单调上升而序列单调下降 , 并且 令则由 题中的不等式 证 证= 11 11 11 1 1 1 11 (1) 1, 11 1 1111 11(1) 1 1(1) 1111 111, 1 11 11. 1 1 1 1 (1) 1 1 nn

29、n nnn nnn nn n n n n nn n nnnn n nnnn nn n n n 11 11 11 1 2 1 1 1 11 1 1111 (1) 111 1(1)1 1111 111 11 1111 111. 11 111 11. 11 1 nn nnn nnn nn n nn n nn nnn nnnn nnnn nnn 我们证明 2 2 11 121 11 11(1) 11 (1)(1) 1111 , 1, 1,11. nnnn nnnn n nn neee nnnn 最后不等式显然成立 当时故 9.求极限 - 11 - 2222 2222 2 2 1111 lim 1111

30、 234 1111 1111 234 1 3 2 4 3 51111 (). 2 2 3 3 4 422 10.( )lim(0 0, ( )lim n n n n n n nn n nnn nx f xa nxa xnx f x nxa 作函数)的图形. 解 解 0; 1/,0.x x 11 11.?,( ) , |( )|, , . ,( ), , ,max|,|1, |( ) |, , . ,|( ) |, , ,( ), , . 12. f xa b Mf xMxa b MNf xNxa bMMN f xMxa b Mf xMxa bMf xMxa b 1 在关于有界函数的定义下证明函

31、数在区间上为有界函数的充要条件 为存在一个正的常数使得 设存在常数使得M取则有 反之 若存在一个正的常数使得则 证 121212 12 :( )( ) , ,( )( )( ) ( ) , . ,|( ) |,| ( )|, , .|( )( )| |( )| ( ) |, |( ) ( ) | |( )|( ) |, , . 1 13.:( )cos0 yf xyg xa bf xg xf x g x a b MMf xMg xMxa bf xg xf xg xMM f x g xf xg xM Mxa b f xx xx 证明 若函数及在上均为有界函数则及 也都是上的有界函数 存在 证明在

32、的任一 证 ,0( ). 11 (, ),00,(), 1 ( )(,)0,()(21/ 2)cos(21/ 2)0, 21/ 2 0( ). n xf x MnnMfnM nn f xf xnn n xf x n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量 任取一个邻域和取正整数满足和则 故在无界. 但是x 故当时不是无穷大量 证 - 12 - 1 11 11 000 1 14.lim(1)ln (0). 1ln 1,lnln(1),.limlim10. ln(1) ln(1) limlim ln(1)ln lim(1)ln1, ln (1)ln (). ln(1) 15.( )( ) n n nn

33、 nn nn yy yyy nn n n xx x x xyxy nyx ny y yye y yx n xx n y f xg x 证明 令则 注意到 我们有 设及在实轴上有 证 0000 2 0 2 2 2 2 222 0000 .:( )( ) ,()lim()lim()(). 1cos1 16.lim. 2 2sin 1 cos2sin1sin1 2 limlimlimlim1 422 nnn nn x xxyy f xg x xxxf xf xg xg x x x x xyy xxyy 定义且连续 证明 若与在有理数集合处处 相等, 则它们在整个实轴上处处相等. 任取一个无理数取有理

34、数序列 证明 证 证 00 11 000 0000 0 1 . 2 ln(1) 17.:(1)lim1;(2) lim. ln(1) (1)limlim ln(1)lnlim(1)ln1. (1)11 (2)limlimlimlim ln(1) ln(1) lim 1 . 1 x ax a yx yy yyy xaaaxx aaa xxxy y aa yee e yx y yye y eee eey eee y xxxy y ee 证明 证 011 10 18.( )lim( )0,( ) lim( ) ( )0. |( )|,0|.0,0,0 | |( ) |/.min,0 |,| ( )

35、( ) | |( ) | ( )|,li xa xa yf xaf xyg xa f x g x g xMxaxa f xMxa f x g xf xg xM M 设在 点附近有定义且有极限又设在 点附近有 定义, 且是有界函数 . 证明 设对于任意存在使得当时 令则时 故 证 m( ) ( )0. xa f x g x 19.( )(,),( ) ( )|( ) | ( )( ) ( ) ( ), ( )(,). yfxcg x f xf xc g xcfxc cf xc g x g x 设在中连续 又设 为正的常数定义如下 当 当 当 试画出的略图 并证明 在上连续 - 13 - 00 0

36、0 0000 00 0000 0 00 |()|,0,| lim( )lim( )()(). (),0,|( ) lim( )lim(). (),().0,0, xxxx xxxx fxcxx g xf xfxg x f xcxxf xc g xccg x f xcg xcc 一 若则存在当时|f(x)|0证明 1 0 111 000 1 1 . ( ) 11 ( )( ). ( )( ) 14.ln 111 ()ln1(0) 1 111111 ( )ln1; 23231 n x fx dx dxfxdxfx dxdx fxfx dt x t an nnn bn nn 1 0 证1 =1 1

37、1 1 1 1/1 1/1 1/ 111 1 ( )1. 111 (1)ln 1. 111/1 2 31111 (2)lnlnln 111, 1 2112 1111 lnln 11. 12 n n nnn c ee n dtdtdt nnntn n n nnn n nn 证 - 40 - 1 1 1 1 1/1 1/1 1/ 111 l 1 ( )1. 111 (1)ln 1. 11 1/1 2 31111 (2)lnlnln 111, 1 2112 1111 lnln 11. 12 1 (3) 1 n n nnn n n c ee n dtdtdt nnntn n n nnn n nn e

38、n 证 111 n 1 1 11. n n nn ee 习题 3.1 - 41 - 3/ 2 2 22222 22223/ 2 3/ 22/33/ 22/33/ 2 3/ 22/33 11 1.1 212(1 2 )(1 2 ). 23 3133 2.(1). (1)2(1)2(1) 11 3.2727 (27)(27). 46 2 4. (21)(21) 3 2 1 (21)(2 3 2 xdxxdxxC x dxd xC xxx xxdxxdxxC xxdxxdx xdx 求下列不定积分： / 23/ 25/3 1/ 1/1/ 2 10010099 22 2 22 1 1)(21). 5

39、5.(1/ ). (2)1 6 (2)(2)99(2) 1135/315 7.arctan. 353 1 (5/ 3) 3531 5/ 3 15 173/ 7 8. 37 737 1 3/ 77 1 x xx xC e dxedxeC x dxdx C xxx dxdxdx xC xxx dxdxdx xx 2 22 22 2 13 arcsin. 73 3/ 7 9.22arctan. (1) (1) 11 10.arctan. 2 2 2 11.arcsin. 11() 111 12. 1(1)(1)211 111 ln 21 x xx x x x x xx x xxx xC x dxdx

40、 xC x xx e dxdeeC e e dxde eC ee dxdedu du eeeuuuu u C u 2 2 22 1 ln. 21 lnlnln ln1 13.lnln lnln ln(lnln ). lnln2 2 14.cot. 1 cos2 2sinsin 22 x x e C e xx dxdxxdxxC xxx x d dxdxx C xx x - 42 - 2 14102 55 54544 22 44 2 234 4 12 2 15.cot. 1sin24 1cos 2 11 16.() (1)5(1)5(1) 11 11(1) (1) 5(1)5 1211 2 55

41、 11 53 dx dxx C x x xxu dxdxdu ux xxu uv dudv vu uv vv dvvvvdv v vvv 3515253 21 4 5 555 11 (1)(1)(1). 53 11 17.() 111 1111 1(ln |1|)(ln |1|). 1 1 18.() (2)(2)5(2) 1 11 5 2 nn nn nn nn CxxxC xxu dxdxdu ux xnxnu duuuCxxC nunn dxx dxdu ux x xxxu u 2 arctan2 2 111 ln |ln |2 |ln. 210102 ln(1)ln11 19.(ln(

42、1)ln) (1)1 (ln(1)ln) (lnln(1)(ln(1)ln) (ln(1)ln) 11 ln. 2 ln(1) 20. 1 x u duuuCC uuu xx dxxxdx x xxx xx dxxxx dxx x C x exx dx x arctan2 22 arctan22 arctan22 ln(1) 11 1 arctanln(1) ln(1) 2 1 ln (1). 4 x x x exx dxdx xx edxxdx exC - 43 - 2 223 222 2 2 11 21. sin2 cos2sin2sin 2sin 2. 24 2 22. sincos2

43、sinsinsin. 222232 111 23. sin5 sin6(coscos11 )sinsin11. 2211 2121 24. 111 (1) arcs 1 xxdxxdxxC xxxxx dxdC xxdxxx dxxxC xx dxdxdx xxx dx x 2 33 222 22 2 22 2222 2 23/ 22 223/ 2 223/ 2 in2 1arcsin. 25. 111 11(1) 22 11 111 1(1)1 22 1 1 (1)2 1. 3 26.(0) () sin ,(/ 2,/ 2),cos, () xCxxC xxxx dxdxdx xxx xd

44、x dx xx x dxdxx x xxC dx a ax xat tdxatdt ax 33 223/ 2222 2 2222 cos , 1 tan ()cos 1/ . 1( /) at dxdt dxtC axata x ax CC a x aaax 2222 22 2222 22 0,0, arccos arccosarccos arccos. xxy y yaxaa dxdyyaaC xyy aa xaaCxaaC xx a xaaC x 时 令 - 44 - 22 22 22 22 2 2 22 27.(0).0,sec ,(0,/ 2). tan sec,tan , tan(s

45、ec1)(tan) ( sec1arccos )(1arccos ) arccos. xa dx axxat t x dxattdtxaat xa dxatdtatdtattC x axa atCaC xax a xaaC x 时 令 2 222 2222 2 222 2 22 3 /23/2 3 /23 333 33 3 28. 1 arcsinarcsin 22 1 arcsin. 22 22 29.ln(1) 33 111 22( 11)( 1 ln(11)ln 33 xx xx xxx x x xdx dxax dxa axax axx xaxaC aa ax xaxC a dxedx

46、de eeC eee ee exC 3 3 34 4 882 248 1) 11 2 ln( 11). 3 11 30.() 44 111 11 ln(1)ln(1). 44 x x x xC e exC xdxdu dxux xxu uuCxxC - 45 - 22 2 627242 22 1/21/ 2 3/ 21/ 21/ 2 531 222 531 22 222 111 31.() 22 1 111 1(1)121 (1) 22 1 (2) 2 1 22 22 2 53 11211 111 53 dxdxdxu du u x u xxxxxx vvv dvdv vu vv vvvdx

47、vvv xxx 2 53 222 53 111 . 53 C xxx C xxx 2 33 333 352 24 3 5/32/3 32.()(1,1) 1 11 13 3 ()3 52 1 33 (1)(1). 52 xx xx xx xx eeu dxdedu ueuv uv u ee uvvv duv dvvv dvC v u eeC 222 1 2 33. 3 11131 3 2442 1 21 2 arcsinarcsin. 1313 2 d x dxdx xx xx x x CC 22 2 2 2 112911 34.77 24422 1 1129129 2 arcsin 2242

48、829 2 212921 7arcsin. 48 29 xx dxxdxxd x x xxC xx xxC - 46 - 2 2 35.,11,1 (1) ,2(1), 11 ,11,1(1) ,2(1), 11 2(1) 2(ln )2(11)ln(11) 11 21ln(11). dx xu xudxudu x dx xu xudxudu x dxudu uuCxxC u x xxC 习题 3.2 2 22 2222 2 22222 22 222 2 11 1.lnlnlnln 222 111 lnlnln. 222224 11112 2. 12122 12 axaxaxaxaxax ax

49、axaxaxax ax x xxdxxdxxx dx xxxx xxdxxxdxxC x x e dxx dex ee dxx exe dx aaaaa x x exdex eee dx aaaaa x e a 求下列不定积分： 2 223 2 23 2 2 2 122 122 . 111 3.sin2cos2cos2cos2 222 11 cos2sin2. 24 4. arcsinarcsinarcsinarcsin 1 1(1) arcsin 2 1 axaxaxax ax x xdex eeeC aaaa x exC aaa xxdxxdxxxxdx xxxC xdx xdxxxxdxxx x dx xxx x 2 arcsin1.xxC - 47 - 2 2 2 2 2222 2222 5. arctanarctanarctanarctan 1